12.2. Modelo SIR estocástico

O modelo SIR é um modelo compartimental clássico, em que três estágios epidemiológicos são considerados, dividindo a população entre suscetíveis, infectados e recuperados/removidos. Cada grupo é tratado uniformemente, com os mesmos parâmetros epidemiológicos. Na versão determinística, a taxa é uniforme, com a mesma proporção de suscetíveis se tornando infectados, dependendo da proporção de infectados existentes correntes e com a mesma proporção de infectados se tornando recuperados.

É natural, no entanto, que essas taxas não sejam tão precisas assim. Há um alto grau de aleatoriedade no comportamento social e nas características imunológicas dos indivíduos.Uma maneira de introduzir alguma aleatoriedade no sistema é assumir que esses parâmetros sejam perturbados estocasticamente em torno de um valor base. Dependendo da modelagem, isso pode nos levar a uma equação aleatória ou estocástica. Vejamos, aqui, uma versão estocástica do modelo SIR. Vamos começar, na verdade, relembrando e fazendo a versão determinística. Em seguida, acrescentamos os termos estocásticos.

Carregando os pacotes necessários

Nas simulações, vamos usar o ambiente SciML, da linguagem Julia. Como vamos simular tanto sistema determinísticos como estocásticos, carregamos o SciML/OrdinaryDiffEq e o SciML/StochasticDiffEq.

using OrdinaryDiffEq
using StochasticDiffEq

using Plots

Modelo SIR compartimental clássico

Esse é o modelo clássico, com a população toda dividida em três compartimentos: suscetíveis, infectados e recuperados. A população em cada compartimento, em cada instante de tempo \(t,\) é dada por \(S(t),\) \(I(t),\) \(R(t),\) respectivamente. A evolução dessas quantidades é dada pelo sistema

\[ \begin{cases} S' & = - \beta \frac{I}{N}S, \\ I' & = \beta \frac{I}{N}S - \gamma I, \\ R' & = \gamma I. \end{cases} \]

Os parâmetros \(\beta\) e \(\gamma\) são positivos e determinam as taxas de infeção e recuperação, respectivamente. A população total \(N = S(t) + I(t) + R(t)\) é constante ao longo do tempo; não há natalidade nem mortalidade, no intervalo de tempo considerado. Por conta disso, podemos escrever \(R(t) = N - S(t) - I(t)\) e reduzir o sistema a um modelo bidimensional

\[ \begin{cases} S' & = - \beta \frac{I}{N}S, \\ I' & = \beta \frac{I}{N}S - \gamma I. \end{cases} \]

Implementando a lei de evolução

Definimos a função SIR!(du, u, p, t) como o lado direito do sistema. Como é um sistema, consideramos a versão inplace, que recebe o vetor du de derivadas e altera os seus elementos.

function SIR!(du, u, p, t)
    S, I = u
    N, beta, gamma = p
    du[1] = -beta * S * I / N 
    du[2] = beta * S * I / N - gamma * I
end

Parâmetros

Fixamos a população total e os parâmetros epidemiológicos, além do número inicial de infectados e o intervalo de tempo de interesse. Com isso em mãos, definimos o problema de valor inicial via ODEProblem().

N = 100_000
beta = 0.2
gamma = 0.15

parm_sir = (N, beta, gamma)

t0 = 0.0
tf = 360.0
tspan = (t0, tf)

inf0 = 10
u0 = Float64[N - inf0, inf0]

SIR_prob = ODEProblem(SIR!, u0, tspan, parm_sir)

Solução

Com o problema montado, resolvemos o via solve, com o algoritmo Tsit5(), que é um método Runge-Kutta 5/4 de Tsitouras.

SIR_sol = solve(SIR_prob, Tsit5())

plot(
    SIR_sol, ylims = (0.0, N),
    xlabel = "time (days)", ylabel = "population", label = ["suscetíveis" "infectados"]
)

plot(
    SIR_sol, vars = 2, c = :red,
    xlabel = "time (days)", ylabel = "population", label = "Infected"
)

Podemos visualizar a evolução dos dois compartimentos nos gráficos a seguir.

Modelo SIR compartimental estocástico

Aqui, consideramos a versão estocástica do modelo SIR clássico. Assumimos que cada parâmetro epidemiológico é dado de maneira estocástica, como uma perturbação de um valor base por um ruído branco:

\[ \begin{align*} \beta & = \beta_0 + \sigma_\beta \dot \eta_1 \\ \gamma & = \gamma_0 + \sigma_\gamma \dot\eta_2. \end{align*} \]

onde \(\beta_0\) e \(\gamma_0\) são os varlores de base e \(\dot \eta_1\) e \(\dot \eta_2\) representam dois ruídos brancos independentes. Isso é formalmente definido através das equações

\[ \begin{align*} \beta\mathrm{d}t & = \beta_0 \mathrm{d}t + \sigma_\beta \mathrm{d}W^1, \\ \gamma\mathrm{d}t & = \gamma_0 \mathrm{d}t + \sigma_\gamma \mathrm{d}W^2, \end{align*} \]

onde \(\{W_t^1\}_{t \geq 0}\) e \(\{W_t^2\}_{t \geq 0}\) são dois processos de Wiener independentes.

Isso nos leva ao seguinte sistema de equações com ruído não diagonal.

\[ \begin{cases} dS & = - \beta_0 \frac{I}{N}S \mathrm{d}t - \sigma_\beta \frac{I}{N}S \mathrm{d}W_1, \\ dI & = \beta_0 \frac{I}{N}S \mathrm{d}t - \gamma_0 I \mathrm{d}t + \sigma_\beta \frac{I}{N}S \mathrm{d}W_1 - \sigma_\gamma I \mathrm{d}W_2. \end{cases} \]

Em forma vetorial, temos

\[ \mathrm{d}\left( \begin{matrix} S \\ I \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} - \beta_0 \frac{I}{N}S \\ \beta_0 \frac{I}{N}S - \gamma_0 I\end{matrix}\right) \mathrm{d}t + \left[ \begin{matrix} - \sigma_\beta \frac{I}{N}S & 0 \\ \sigma_\beta \frac{I}{N}S & - \sigma_\gamma I \end{matrix} \right] \mathrm{d}\left( \begin{matrix} W_1 \\ W_2 \end{matrix} \right) \]

Implementando a lei de evolução

A parte determinística é a mesma, dada pela função SIR!(du, u, p, t). Falta implementar a parte do ruído. A parte de ruído é uma função matricial, com componentes \((g_{ij})_{i,j=1}^2.\)

function SIR_noise!(du, u, p, t)
    S, I = u
    N, _, _, sigma_beta, sigma_gamma = p
    bW = sigma_beta * S * I / N
    gW = sigma_gamma * I
    du[1, 1] = -bW
    du[1, 2] = 0.0
    du[2, 1] = bW
    du[2, 2] = -gW
end

Parâmetros

sigma_beta = 0.05
sigma_gamma = 0.05
parm_sir_noise = (N, beta, gamma, sigma_beta, sigma_gamma)

Solução

SIR_stochastic_prob = SDEProblem(SIR!, SIR_noise!, u0, tspan, parm_sir_noise, noise_rate_prototype=zeros(2,2))
SIR_stochastic_sol = solve(SIR_stochastic_prob, EM(), dt=0.01)

plot(
    SIR_stochastic_sol, ylims = (0.0, N),
    xlabel = "time (days)", ylabel = "population", label = ["suscetíveis" "infectados"]
)

plot(
    SIR_stochastic_sol, vars = 2, c = :red,
    xlabel = "time (days)", ylabel = "population", label = "Infected"
)

// `\output{solve_sir_noise}`: could not find the relevant output file. //

num_trajectories = 100
SIR_stochastic_ensemble_prob = EnsembleProblem(SIR_stochastic_prob)
SIR_stochastic_ensemble_sol = solve(SIR_stochastic_ensemble_prob, EM(), dt=0.1, EnsembleThreads(), trajectories=num_trajectories)

plot(SIR_stochastic_ensemble_sol, color =  repeat(1:2, 200)', alpha = 0.2)
# plot!(SIR_stochastic_ensemble_sol[2], color = 2, alpha = 0.2)

summ95 = EnsembleSummary(SIR_stochastic_ensemble_sol, 0:1:360)
summ50 = EnsembleSummary(SIR_stochastic_ensemble_sol, 0:1:360; quantiles=[0.25,0.75])
summ3 = EnsembleSummary(SIR_stochastic_ensemble_sol, 0:1:360; quantiles=[0.49,0.51])

plot(summ95, labels=["" "Middle 95%"])
plot!(summ50, labels=["" "Middle 50%"], legend=true)
plot!(summ3, labels=["" "Median"], legend=true)

plot(summ95, labels=["" "Middle 95%"], ylims = (0.0, 5000.0))
plot!(summ50, labels=["" "Middle 50%"], legend=true)
plot!(summ3, labels=["" "Median"], legend=true)

Performance das funções

Aqui, vamos apenas conferir que as funções SIR!(du, u, p, t) e SIR_noise!(du, u, p, t) estão bem construídas e não alocam memória. Fazemos isso com a macro BenchmarkTools.@btime.

using BenchmarkTools

let u = [800.0, 200.0]; p = (1000.0, 0.2, 0.15, 0.15, 0.1); t = 1.0; du = Vector{Float64}(undef, 2); du_noise = Matrix{Float64}(undef, 2, 2)
    println("Benchmark SIR!")
    println(@btime SIR!($du, $u, $p, $t))
    println("\nBenchmark SIR_noise!")
    println(@btime SIR_noise!($du_noise, $u, $p, $t))
end

Benchmark SIR!
  3.406 ns (0 allocations: 0 bytes)
2.0

Benchmark SIR_noise!
  3.406 ns (0 allocations: 0 bytes)
-20.0

Bom, tudo indica que as funções estão em ordem. Mas também podemos usar a macro InteractiveUtils.@code_warntype para verificar se há alguma instabilidade de tipo. Observe que, mesmo usando um vetor de inteiros na variável u e um rational em um dos parâmetros, não há problema de instabilidade de tipo. Isso não quer dizer que isso não afete a performance. Há um certo custo computacional nas conversões entre tipos diferentes, mesmo que para variáveis diferentes, ou seja, sem instabilidade de tipo de uma mesma variável (verifique isso usando @btime com os parâmetros abaixo!).

using InteractiveUtils

let u = [800, 200]; p = (1000.0, 0.2, 0.15, 0.15, 1//10); t = 1.0; du = Vector{Float64}(undef, 2); du_noise = Matrix{Float64}(undef, 2, 2)
    println("@code_warntype for SIR!")
    println(@code_warntype SIR!(du, u, p, t))
    println("\n@code_warntype for SIR_noise!")
    println(@code_warntype SIR_noise!(du_noise, u, p, t))
end

@code_warntype for SIR!
MethodInstance for Main.FD_SANDBOX_9898039245808358067.SIR!(::Vector{Float64}, ::Vector{Int64}, ::Tuple{Float64, Float64, Float64, Float64, Rational{Int64}}, ::Float64)
  from SIR!(du, u, p, t) in Main.FD_SANDBOX_9898039245808358067 at none:1
Arguments
  #self#::Core.Const(Main.FD_SANDBOX_9898039245808358067.SIR!)
  du::Vector{Float64}
  u::Vector{Int64}
  p::Tuple{Float64, Float64, Float64, Float64, Rational{Int64}}
  t::Float64
Locals
  @_6::Int64
  @_7::Int64
  gamma::Float64
  beta::Float64
  N::Float64
  I::Int64
  S::Int64
Body::Float64
1 ─ %1  = Base.indexed_iterate(u, 1)::Core.PartialStruct(Tuple{Int64, Int64}, Any[Int64, Core.Const(2)])
│         (S = Core.getfield(%1, 1))
│         (@_7 = Core.getfield(%1, 2))
│   %4  = Base.indexed_iterate(u, 2, @_7::Core.Const(2))::Core.PartialStruct(Tuple{Int64, Int64}, Any[Int64, Core.Const(3)])
│         (I = Core.getfield(%4, 1))
│   %6  = Base.indexed_iterate(p, 1)::Core.PartialStruct(Tuple{Float64, Int64}, Any[Float64, Core.Const(2)])
│         (N = Core.getfield(%6, 1))
│         (@_6 = Core.getfield(%6, 2))
│   %9  = Base.indexed_iterate(p, 2, @_6::Core.Const(2))::Core.PartialStruct(Tuple{Float64, Int64}, Any[Float64, Core.Const(3)])
│         (beta = Core.getfield(%9, 1))
│         (@_6 = Core.getfield(%9, 2))
│   %12 = Base.indexed_iterate(p, 3, @_6::Core.Const(3))::Core.PartialStruct(Tuple{Float64, Int64}, Any[Float64, Core.Const(4)])
│         (gamma = Core.getfield(%12, 1))
│   %14 = -beta::Float64
│   %15 = S::Int64
│   %16 = (%14 * %15 * I)::Float64
│   %17 = (%16 / N)::Float64
│         Base.setindex!(du, %17, 1)
│   %19 = (beta * S * I)::Float64
│   %20 = (%19 / N)::Float64
│   %21 = (gamma * I)::Float64
│   %22 = (%20 - %21)::Float64
│         Base.setindex!(du, %22, 2)
└──       return %22

nothing

@code_warntype for SIR_noise!
MethodInstance for Main.FD_SANDBOX_9898039245808358067.SIR_noise!(::Matrix{Float64}, ::Vector{Int64}, ::Tuple{Float64, Float64, Float64, Float64, Rational{Int64}}, ::Float64)
  from SIR_noise!(du, u, p, t) in Main.FD_SANDBOX_9898039245808358067 at none:1
Arguments
  #self#::Core.Const(Main.FD_SANDBOX_9898039245808358067.SIR_noise!)
  du::Matrix{Float64}
  u::Vector{Int64}
  p::Tuple{Float64, Float64, Float64, Float64, Rational{Int64}}
  t::Float64
Locals
  @_6::Int64
  @_7::Int64
  gW::Rational{Int64}
  bW::Float64
  sigma_gamma::Rational{Int64}
  sigma_beta::Float64
  N::Float64
  I::Int64
  S::Int64
Body::Rational{Int64}
1 ─ %1  = Base.indexed_iterate(u, 1)::Core.PartialStruct(Tuple{Int64, Int64}, Any[Int64, Core.Const(2)])
│         (S = Core.getfield(%1, 1))
│         (@_7 = Core.getfield(%1, 2))
│   %4  = Base.indexed_iterate(u, 2, @_7::Core.Const(2))::Core.PartialStruct(Tuple{Int64, Int64}, Any[Int64, Core.Const(3)])
│         (I = Core.getfield(%4, 1))
│   %6  = Base.indexed_iterate(p, 1)::Core.PartialStruct(Tuple{Float64, Int64}, Any[Float64, Core.Const(2)])
│         (N = Core.getfield(%6, 1))
│         (@_6 = Core.getfield(%6, 2))
│   %9  = Base.indexed_iterate(p, 2, @_6::Core.Const(2))::Core.PartialStruct(Tuple{Float64, Int64}, Any[Float64, Core.Const(3)])
│         Core.getfield(%9, 1)
│         (@_6 = Core.getfield(%9, 2))
│   %12 = Base.indexed_iterate(p, 3, @_6::Core.Const(3))::Core.PartialStruct(Tuple{Float64, Int64}, Any[Float64, Core.Const(4)])
│         Core.getfield(%12, 1)
│         (@_6 = Core.getfield(%12, 2))
│   %15 = Base.indexed_iterate(p, 4, @_6::Core.Const(4))::Core.PartialStruct(Tuple{Float64, Int64}, Any[Float64, Core.Const(5)])
│         (sigma_beta = Core.getfield(%15, 1))
│         (@_6 = Core.getfield(%15, 2))
│   %18 = Base.indexed_iterate(p, 5, @_6::Core.Const(5))::Core.PartialStruct(Tuple{Rational{Int64}, Int64}, Any[Rational{Int64}, Core.Const(6)])
│         (sigma_gamma = Core.getfield(%18, 1))
│   %20 = (sigma_beta * S * I)::Float64
│         (bW = %20 / N)
│         (gW = sigma_gamma * I)
│   %23 = -bW::Float64
│         Base.setindex!(du, %23, 1, 1)
│         Base.setindex!(du, 0.0, 1, 2)
│         Base.setindex!(du, bW, 2, 1)
│   %27 = -gW::Rational{Int64}
│         Base.setindex!(du, %27, 2, 2)
└──       return %27

nothing