1.7. Aspectos numéricos

"It may very well be said that the best way to understand SDEs is to work with their numerical solutions." - Salih N. Neftci, in An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, 2nd edition (Academic Press, 2000).

Aproximação numérica

Para ilustrar como métodos numéricos podem nos ajudar a entender os modelos acima, vamos considerar aproximações de Euler para as equações descritas na seção anterior, que no caso de equações estocásticas leva o nome de método de Euler-Maruyama.

O método de Euler para equações diferenciais ordinárias

Inicialmente, no caso da equação diferencial ordinária

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(t, x, \lambda), \]

podemos considerar um passo de tempo \(\Delta t\) e os estados discretos \(x(t_n)\), a cada passo de tempo \(t_n = n\Delta t\). Uma aproximação de \(x(t_{n+1})\) a partir de \(x(t_n)\) é dada por

\[ x(t_n + \Delta t) \approx x(t_n) + f(t_n, x(t_n), \lambda)\Delta t. \]

Assim, os estados \(x(t_n)\), para \(n\in \mathbb{N}\), são aproximados pela sequência

\[ x_{n+1}^{\Delta t} = x_n^{\Delta t} + f(t_n, x_n^{\Delta t}, \lambda)\Delta t, \qquad n = 0, 1, \ldots, \]

com a condição inicial \(x_0^{\Delta t} = x(0)\). Observe o superescrito \(\Delta t\) para indicar que cada aproximação depende do passo de tempo escolhido.

É claro que, a cada passo de tempo, essa aproximação acarreta em erros e os erros vão se acumulando. Conforme diminuímos o passo de tempo, reduzimos o erro em cada passo, mas, por outro lado, aumentamos o número de passos. Como os erros se acumulam, não temos, em princípio, uma garantia de que o acúmulo de erros será controlado. Um papel da Análise Numérica é determinar quais métodos numéricos são bons nesse sentido e quão bom cada um é. Isso é visto examinando se a aproximação numérica converge para uma solução exata, correspondente a uma determinada condição inicial. O sentido da convergência, caso ela ocorra, e a taxa de convergência nos permitem comparar os diversos métodos.

No caso da aproximação de Euler, em particular, é possível mostrar que, para um \(T>0\) fixo, as aproximações \(x_n^{\Delta t}\), no intervalo \(0\leq t_n \leq T\), convergem linearmente para a solução exata, ou seja, com erro da ordem \(\mathcal{O}(\Delta t)\).

O método de Euler no caso de equações diferenciais ordinárias com parâmetros aleatórios

Vejamos, agora, o caso de uma equação diferencial aleatória da forma mais simples, onde as realizações não variam com o tempo:

\[ \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = f(t, X_t, \Lambda), \]

com variáveis aleatórias

\[ X_{t = 0}(\omega) = X_0(\omega), \quad \lambda = \Lambda(\omega). \]

Nesse caso, para cada amostra \(\omega\), temos uma realização \(X_0(\omega)\) da condição inicial e uma realização \(\Lambda(\omega)\) do(s) parâmetro(s). A partir daí, temos uma equação diferencial ordinária clássica. O método de Euler nos dá a seguinte aproximação:

\[ x_{n+1}^{\omega, \Delta t} = x_n + f(t_n, x_n^{\omega, \Delta t}, \Lambda(\omega))\Delta t, \qquad n = 0, 1, \ldots, \]

com a condição inicial \(x_0^{\omega, \Delta t} = X_0(\omega)\). Observe que, agora, incluímos a amostra \(\omega\) como parâmetro da família de aproximações.

O método de Euler no caso de equações diferenciais ordinárias aleatórias

Consideremos, agora, o caso em que a variável aleatória \(\Lambda = \Lambda_t\) é um processo estocástico, com as realizações variando com o tempo:

\[ \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = f(t, X_t, \Lambda_t). \]

Nesse caso, a cada passo de tempo, devemos calcular um novo valor para o parâmetro, denotado por \(\lambda_n^{\omega, \Delta t},\) e chegar na aproximação

\[ x_{n+1}^{\omega, \Delta t} = x_n + f(t_n, x_n^{\omega, \Delta t}, \lambda_n^{\omega, \Delta t})\Delta t. \]

Essa é a principal diferença. O parâmetro \(\Lambda_t(\omega)\) está determinado pela escolha da amostra \(\omega\) mas o valor \(\lambda_n^{\omega, \Delta t} = \Lambda_{t_n}(\omega)\) de uma realização sua varia com o instante \(t_n\). É possível mostrar que esse método converge, mas a sua ordem de convergência \(\mathcal{O}(\Delta t^p)\) depende da regularidade do processo, podendo ser menor do que \(1\). Um resultado clássico garante que essa ordem \(p\) é dada pelo expoente de continuidade Hölder do processo \(\Lambda_t\) (muitas vezes esse expoente é 1/2, como no movimento Browniano geométrico, associado à regularidade Hölder do processo de Wiener). Mas, resultados recentes indicam que essa ordem de convergência, na verdade, é muito melhor, sendo também ordem \(1\), em uma ampla gama de tipos de ruídos \(\{\Lambda_t\}_{t\geq 0}\).

O método de Euler-Maruyama para equações diferenciais ordinárias estocásticas

Chegamos, agora, ao caso de equações diferenciais estocásticas. Consideremos uma equação da forma

\[ \mathrm{d}X_t = f(t, X_t, \lambda)\mathrm{d}t + \sigma(t, X_t)\mathrm{d}W_t. \]

Nesse caso, a cada novo instante, fazemos um sorteio de \(W_{t_{n+1}}^{\omega, \Delta t}\) para obter o passo \(\Delta t_n^{\omega, \Delta t} = W_{t_{n+1}}^{\omega, \Delta t} - W_{t_n}^{\omega, \Delta t}\), chegando à sequência

\[ x_{n+1}^{\omega, \Delta t} = x_n + f(t_n, x_n^{\omega, \Delta t}, \lambda)\Delta t + \sigma(t, x_n^{\omega, \Delta t})\Delta W_n^{\omega, \Delta t}. \]

Esse método leva o nome de método de Euler-Maruyama.

Em muitos casos, o processo estocástico é um processo de Lévy, em que os incrementos são estacionários e independentes entre si, ou seja, a distribuição de \(W_{t_{n+1}} - W_{t_n}\) depende apenas do passo \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) e as realizações a cada passo são independentes. Assim, no método de Euler, podemos sortear \(\Delta W_n^{\omega, \Delta t}\) diretamente, a partir de uma determinada distribuição de probabilidades. Esse é o caso do processo de Wiener, associado ao movimento Browniano.

Quanto à ordem de convergência, no caso de um processo de Wiener e no caso multiplicativo, i.e. com \(\sigma(t, X_t)\) dependendo de \(X_t\), a ordem de convergência do método de Euler-Maruyama cai para \(1/2\), como veremos mais pra frente.