6.9. Integral de Stratonovich

A integral de Itô de um processo {Ht}t≥0\{H_t\}_{t\geq 0} é baseada no limite dos somatórias da forma

∑j=1nHtj−1(Wtj−Wtj−1), \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}),

ou seja, onde em cada termo o processo é tomado no instante tj−1t_{j-1} à esquerda de cada subintervalo [tj−1,tj][t_{j-1}, t_j] da malha.

Conforme vimos na Seção 6.4. Limites de somatórios à la Riemann-Stieltjes, podemos ter limites diferentes se tomarmos outros pontos do subintervalo. E comentamos, também, que a escolha do ponto médio de cada subintervalo nos leva à integral de Stratonovich, aproximada por

∑j=1nH(tj−1+tj)/2(Wtj−Wtj−1). \sum_{j=1}^n H_{(t_{j-1} + t_j)/2}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}).

Uma outra fórmula alternativa é a de tomar a média do próprio processo

∑j=1n(1/2)(Htj−1+Htj)(Wtj−Wtj−1). \sum_{j=1}^n (1/2)(H_{t_{j-1}} + H_{t_j})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}).

No que se segue, vamos formalizar essa definição e ver a relação dela com a integral de Itô.

Integrandos permitidos

Como no caso da integral de Itô, pedimos que o integrando {Ht}t≥0\{H_t\}_{t\geq 0} seja não antecipativo ("non-antecipating"), ou adaptado, ao processo {Wt}t.\{W_t\}_t.

Em relação à mensurabilidade, pedimos, também, que {Ht}t≥0\{H_t\}_{t\geq 0} seja progressivamente mensurável em relação à filtração natural do processo de Wiener.

Em relação à integrabilidade, pedimos, ainda, que {Ht}t≥0\{H_t\}_{t\geq 0} seja de quadrado integrável, i.e.

∫0TE[Ht2] dt<∞. \int_0^T \mathbb{E}\left[H_t^2\right] \;\mathrm{d}t < \infty.

Definição

Como no caso da integral de Itô, a ideia é aproximar o processo inicial por processos contínuos ou por processos do tipo escada e, para esses processos em particular, definir a integral de Stratonovich por

∫0THt∘dWt=lim⁡∥M∥→0∑j=1nH(tj−1+tj)/2(Wtj−Wtj−1), \int_0^T H_t\circ\mathrm{d}W_t = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n H_{(t_{j-1} + t_j)/2}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}),

para malhas 0=t0<t1<…<tn=T,0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T, com ∥M∥=max⁡j=1,…,n∣tj−tj−1∣.\|M\|=\max_{j=1, \ldots, n}|t_j - t_{j-1}|.

Observe a notação da integral de Stratonovich com o símbolo ∘dWt,\circ\mathrm{d}W_t, para distinguir da integral de Itô.

Uma forma alternativa, que é, em geral, equivalente à fórmula acima é obtida tomando-se a média do próprio processo, ou seja

∫0THt∘dWt=lim⁡∥M∥→0∑j=1n(1/2)(Htj−1+Htj)(Wtj−Wtj−1). \int_0^T H_t\circ\mathrm{d}W_t = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n (1/2)(H_{t_{j-1}} + H_{t_j})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}).

A diferença entre as duas desaparece no limite de refinamento da malha, ou seja,

∑j=1n(H(tj−1+tj)/2−(1/2)(Htj−1+Htj))(Wtj−Wtj−1)→0, \sum_{j=1}^n \left( H_{(t_{j-1} + t_j)/2} - (1/2)(H_{t_{j-1}} + H_{t_j}) \right) (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \rightarrow 0,

quando ∥M∥→0.\|M\|\rightarrow 0.

Existência

Relação com a integral de Itô

Considere o caso em que Ht=g(Xt)H_t = g(X_t) e {Xt}t≥0\{X_t\}_{t\geq 0} é um processo ...

Escrevendo

g(X(tj−1+tj)/2)=g(X(tj−1+tj)/2−Xtj−1+X(tj−1+tj)/2−Htj−1) g(X_{(t_{j-1} + t_j)/2}) = g(X_{(t_{j-1} + t_j)/2} - X_{t_{j-1}} + X_{(t_{j-1} + t_j)/2} - H_{t_{j-1}})

vemos que

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