6.9. Integral de Stratonovich

A integral de Itô de um processo \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) é baseada no limite dos somatórias da forma

\[ \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}), \]

ou seja, onde em cada termo o processo é tomado no instante \(t_{j-1}\) à esquerda de cada subintervalo \([t_{j-1}, t_j]\) da malha. Conforme vimos na Seção 6.4. Limites de somatórios à la Riemann-Stieltjes, podemos ter limites diferentes se tomarmos outros pontos do subintervalo. E comentamos, também, que a escolha do ponto médio de cada subintervalo nos leva à integral de Stratonovich.

No que se segue, vamos formalizar essa definição e ver a relação dela com a integral de Itô.

Integrandos permitidos

Como no caso da integral de Itô, pedimos que o integrando \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) seja não antecipativo ("non-antecipating"), ou adaptado, ao processo \(\{W_t\}_t.\)

Em relação à mensurabilidade, pedimos, também, que \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) seja progressivamente mensurável em relação à filtração natural do processo de Wiener.

Em relação à integrabilidade, pedimos, ainda, que \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) seja de quadrado integrável, i.e.

\[ \int_0^T \mathbb{E}\left[H_t^2\right] \;\mathrm{d}t < \infty. \]

Definição

Como no caso da integral de Itô, a ideia é aproximar o processo inicial por processos contínuos ou por processos do tipo escada e, para esses processos em particular, definir a integral de Stratonovich por

\[ \int_0^T H_t\circ\mathrm{d}W_t = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n H_{(t_{j-1} + t_j)/2}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}), \]

para malhas \(0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T,\) com \(\|M\|=\max_{j=1, \ldots, n}|t_j - t_{j-1}|.\)

Observe a notação da integral de Stratonovich com o símbolo \(\circ\mathrm{d}W_t,\) para distinguir da integral de Itô.

Existência

Relação com a integral de Itô

Considere o caso em que \(H_t = g(X_t)\) e \(\{X_t\}_{t\geq 0}\) é um processo ...

Escrevendo

\[ g(X_{(t_{j-1} + t_j)/2}) = g(X_{(t_{j-1} + t_j)/2} - X_{t_{j-1}} + X_{(t_{j-1} + t_j)/2} - H_{t_{j-1}}) \]

vemos que