10.6. Método de Heun

Este método melhora a ordem de convergência para p=2,p = 2, no caso determinístico. Em casos especiais de ruídos suaves (e.g. processos de transporte com funções suaves) essa ordem p=2p = 2 também ocorre em equações aleatórias (veja Neckel & Rupp (2013), Seções 7.3.2 e 7.3.4). Quando o ruído não tem regularidade suficiente, a ordem de convergência para equações aleatórias é menor. No caso estocástico, porém, o método não converge (veja Higham & Kloeden (2021), Seção 17.3).

Método de Heun no caso determinístico

No caso de uma equação diferencial ordinária

dxdt=f(t,x), \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(t, x),

o método de Heun é um método explícito dado iterativamente por

xj=xj−1+12(f(tj−1,xj−1)+f(tj,xj−1+Δtf(tj−1,xj−1)))Δt. x_j = x_{j-1} + \frac{1}{2}\left( f(t_{j-1}, x_{j-1}) + f(t_j, x_{j-1} + \Delta t f(t_{j-1}, x_{j-1}))\right)\Delta t.

Ele pode ser visto como uma modificação do método do trapézio, que é um método implícito, tomando a derivada como uma média entre as derivadas no ponto anterior e no seguinte, i.e.

xj=xj−1+f(tj−1,xj−1)+f(tj,xj)2Δt, x_j = x_{j-1} + \frac{f(t_{j-1}, x_{j-1}) + f(t_j, x_j)}{2}\Delta t,

ao substituírmos xjx_j no termo f(tj,xj)f(t_j, x_j) à direita pelo passo do método de Euler, xj≈xj−1+Δtf(tj−1,xj−1).x_j \approx x_{j-1} + \Delta t f(t_{j-1}, x_{j-1}). Nesse sentido, ele pode ser visto, também, como um método de previsão-correção, onde a previsão é dada pelo método de Euler.

Método de Heun no caso aleatório

No caso de equações diferenciais aleatórias, o método de Heun converge de forma forte. Veremos simulações sobre isso a seguir.

Não convergência do método de Heun no caso estocástico

No caso estocástico, no entanto, o método não converge nem fracamante. Para a equação

dXt=f(t,Xt) dt+g(t,Xt) dWt, \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\;\mathrm{d}t + g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t,

o método de Heun toma a forma

Xj=Xj−1+12(f(tj−1,Xj−1)+f(tj,Xj−1+f(tj−1,Xj−1)Δt+g(tj−1,Xj−1))ΔWj−1)Δt+12(g(tj−1,Xj−1)+g(tj,Xj−1+f(tj−1,Xj−1)Δt+g(tj−1,Xj−1)ΔWj−1))ΔWj−1. \begin{align*} X_j = & X_{j-1} + \frac{1}{2} \left( f(t_{j-1}, X_{j-1}) + f(t_j, X_{j-1} + f(t_{j-1}, X_{j-1})\Delta t + g(t_{j-1}, X_{j-1}))\Delta W_{j-1} \right)\Delta t \\ & + \frac{1}{2} \left( g(t_{j-1}, X_{j-1}) + g(t_j, X_{j-1} + f(t_{j-1}, X_{j-1})\Delta t + g(t_{j-1}, X_{j-1})\Delta W_{j-1}) \right)\Delta W_{j-1}. \end{align*}

Para ver que esse método pode não convergir, vamos considerar uma equação em particular, a saber

dXt=2Xt dWt,X0=1, \mathrm{d}X_t = 2X_t\;\mathrm{d}W_t, \quad X_0 = 1,

cuja solução é

Xt=e−2t+2Wt. X_t = e^{-2t + 2W_t}.

Além disso, podemos escrever

Xt=1+∫0t2Xs dWs. X_t = 1 + \int_0^t 2X_s\;\mathrm{d}W_s.

É fácil ver, desta última expressão, que

E[Xt]=1, \mathbb{E}[X_t] = 1,

já que a integral estocástica tem esperança nula.

Já a aproximação pelo método de Heun, considerando que f(t,x)=0f(t, x) = 0 e g(t,x)=2x,g(t, x) = 2x, nos dá

Xj=Xj−1+12(2Xj−1+2(Xj−1+2Xj−1ΔWj−1))ΔWj−1=Xj−1+2Xj−1ΔWj−1+2Xj−1(ΔWj−1)2=Xj−1(1+2ΔWj−1+2ΔWj−12). \begin{align*} X_j & = X_{j-1} + \frac{1}{2} \left( 2X_{j-1} + 2(X_{j-1} + 2X_{j-1}\Delta W_{j-1}) \right)\Delta W_{j-1} \\ & = X_{j-1} + 2X_{j-1} \Delta W_{j-1} + 2X_{j-1}(\Delta W_{j-1})^2 \\ & = X_{j-1}\left(1 + 2\Delta W_{j-1} + 2\Delta W_{j-1}^2\right). \end{align*}

Isso nos dá

Xj=∏i=0j−1(1+2ΔWi+2ΔWi2). X_j = \prod_{i = 0}^{j-1}\left(1 + 2\Delta W_i + 2\Delta W_i^2\right).

Os fatores do produto são independentes entre si, de modo que

E[Xj]=∏i=0j−1E[(1+2ΔWi+2ΔWi2)]=∏i=0j−1(1+2Δt)=(1+2Δt)j. \mathbb{E}[X_j] = \prod_{i = 0}^{j-1}\mathbb{E}\left[\left(1 + 2\Delta W_i + 2\Delta W_i^2\right)\right] = \prod_{i = 0}^{j-1}\left(1 + 2\Delta t\right) = \left(1 + 2\Delta t\right)^j.

Assintoticamente, temos

E[Xj]∼e2jΔt=e2tj \mathbb{E}[X_j] \sim e^{2j\Delta t} = e^{2t_j}

portanto longe de convergir para E[Xt]=1.\mathbb{E}[X_t] = 1. Isso mostra que o método de Heun, até mesmo para uma simples equação estocástica linear, não converge nem fracamente para a solução exata.

(CC BY-NC-ND 4.0) Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International Ricardo M. S. Rosa
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