2.5. Probabilidade condicionada

O conceito de probabilidade condicionada é fundamental. Invariavelmente, quando queremos saber a probabilidade de um determinado evento acontecer, temos outras informações à nossa disposição que podemos aproveitar.

Conceito

A probabilidade condicionada diz respeito à probabilidade de um determinado evento ser realizado, assumindo-se a realização de um outro evento. A probabilidade de um determinado evento \(A\) dado a realização de um outro evento \(B\) é denotada por

\[ P(A | B). \]

Note que isso é diferente da probabilidade conjunta \(A \cap B\). De fato, se \(A\) for o espaço \(\Omega\) todo, então a probabilidade de \(\Omega\) deve ser um. Ou seja, \(\mathbb{P}(\Omega | B) = 1\). Por outro lado, \(\mathbb{P}(\Omega \cap B) = \mathbb{P}(B)\).

Podemos ver a probabilidade condicionada a um evento \(B\) como uma fração da probabilidade do evento \(B\) ocorrer:

\[ \mathbb{P}(A | B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}. \]

É claro que é necessário que \(\mathbb{P}(B) > 0\) para essa fórmula valer. Essa fórmula é conhecida como a lei da probabilidade condicionada.

A definição, propriamente, de probabilidade condicionada é bem mais delicada. Veremos isso posteriormente. No momento, vamos seguir com a intuição.

Exemplos

Seja \(X\) uma variável aleatória com distribuição uniforme em \(\Sigma = \{1, 2, \ldots, 9\}\). Desses, \(\{2, 4, 6, 8\}\) são pares e \(\{3, 6, 9\}\) são múltiplos de \(3\). Assim,

\[ \mathbb{P}(X \textrm{ é par}) = \frac{4}{9}, \quad \mathbb{P}(X \textrm{ é múltiplo de 3}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}, \quad \mathbb{P}(X \textrm{ é par e múltiplo de 3}) = \frac{1}{9}. \]

Agora, sabendo-se que \(X\) é múltiplo de \(3\), quais as chances de \(X\) ser par? Naturalmente, temos uma única possibilidade em três: \(\{6\}\) em \(\{3, 6, 9\}\), ou seja,

\[ \mathbb{P}(X \textrm{ é par } | X \textrm{ é múltiplo de 3}) = \frac{1}{3}. \]

Podemos obter esse mesmo resultado através da lei da probabilidade condicionada:

\[ \mathbb{P}(X \textrm{ é par } | X \textrm{ é múltiplo de 3}) = \frac{\mathbb{P}(X \textrm{ é par e múltiplo de 3})}{\mathbb{P}(X \textrm{ é múltiplo de 3})} = \frac{\displaystyle\frac{1}{9}}{\displaystyle\frac{1}{3}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. \]

E quais as chances de \(X\) ser múltiplo de três dado que é par?

Um outro exemplo importante em que podemos usar probabilidade condicionada é em testes clínicos, como a da eficácia de vacinas, que ficou tanto em evidência com a Covid-19. Considere um certo número de voluntários, digamos 1000, envolvidos em um certo ensaio clínico. Desses, 500 seguem o tratamento e 500 tomam placebo. Dos que tomam placebo, 20 desenvolvem sintomas da doença. Dos que seguem o tratamento, apenas 5 desenvolvem sintomas. Isso pode ser representado pela tabela a seguir.

	adoecem (A)	não adoecem
tratamento (B)	5	495
placebo	40	460

No total, temos \(1000\) voluntários, sendo que \(25\) desse total adoecem e apenas \(5\) seguem o tratamento e adoecem. Denotando por \(A\) o evento de adoecer e por \(B\) o de seguir o tratamento, podemos escrever

\[ \mathbb{P}(A \cap B) = \frac{5}{1000}, \quad \mathbb{P}(B) = \frac{500}{1000}. \]

Com isso, podemos obter a probabilidade de alguém adoecer fazendo o tratamento:

\[ \mathbb{P}(A | B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} = \frac{\displaystyle \frac{5}{1000}}{\displaystyle \frac{500}{1000}} = \frac{5}{500} = 1\%. \]

Também podemos visualizar isso completando a tabela com os totais:

	adoecem (A)	não adoecem	total
tratamento (B)	5	495	500
placebo	40	460	500
total	45	975	1000

Vemos, diretamente, na primeira coluna, que \(5\) adoceram dentre os \(500\) que fizeram o tratamento, ou seja, há \(5/500 = 1\%\) de chance de adoecer se seguirmos o tratamento. Da mesma forma, sem tratamento, temos \(40/500 = 8\%\) de chances de adoecer. Nesse caso, podemos dizer que o tratamento reduziu de \(8\%\) a \(1\%\) as chances de adoecer. Ou seja, houve uma redução relativa de \((8\% - 1\%)/8\% = 7/8 = 87,5\%\).

Eventos independentes

Quando as chances de um evento \(A\) acontecer independem de um outro evento \(B\), podemos expressar isso por

\[ \mathbb{P}(A | B) = \mathbb{P}(A). \]

Essa propriedade é recíproca, ou seja, \(A\) independe de \(B\) se, e somente se, \(B\) independe de \(A\), com

\[ \mathbb{P}(B | A) = \mathbb{P}(B). \]

Observe que, pela lei da probabilidade condicionada, se \(\mathbb{P}(B) > 0\), então, que

\[ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A | B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}, \]

ou seja, assumindo-se \(\mathbb{P}(B) > 0\), temos a caracterização

\[ \mathbb{P}(A | B) = \mathbb{P}(A) \quad \Leftrightarrow \quad \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B). \]

Da mesma forma, se \(\mathbb{P}(A) > 0\), então,

\[ \mathbb{P}(B | A) = \mathbb{P}(B) \quad \Leftrightarrow \quad \mathbb{P}(B \cap A) = \mathbb{P}(B)\mathbb{P}(A). \]

Em particular, se \(\mathbb{P}(A), \mathbb{P}(B) > 0\), então

\[ \mathbb{P}(A | B) = \mathbb{P}(A) \quad \Leftrightarrow \quad \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) \quad \Leftrightarrow \quad \mathbb{P}(B | A) = \mathbb{P}(B). \]

Por exemplo, as chances do resultado de um dado não viciado de seis faces dar um número menor ou igual a quatro é independente do número ser par ou ímpar e é sempre igual a dois terços. Já as chances do número ser menor ou igual a três depende: é igual a meio, se não soubermos a sua paridade, é igual a um terço, se o número for par, é igual a dois terços, se o número for ímpar.

Lei da probabilidade total

Um resultado importante em probabilidade pode ser interpretado como uma estratégia de dividir para conquistar. Digamos que \(\mathbb{P}\) seja uma medida de probabilidade em um espaço amostral \(\Omega\). Suponha que queiramos saber a medida de um determinado conjunto \(A\). Suponha, ainda, que seja razoável dividir o espaço em subconjuntos disjuntos \(B_1, \ldots, B_k\), ou seja, \(\Omega = \cup_{j = 1}^k B_j\) e \(B_i \cap B_j = \emptyset\), \(i\neq j\), \(i, j = 1, \ldots, k\). Então, vale a lei da probabilidade total

\[ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A \cap B_1) + \ldots + \mathbb{P}(A \cap B_k). \]

Juntando com a lei da probabilidade condicionada, podemos escrever

\[ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A | B_1)\mathbb{P}(B_1) + \ldots + \mathbb{P}(A | B_k)\mathbb{P}(B_k). \]

Considerando, novamente, a variável aleatória uniformemente distribuída nos dígitos \(\{1, 2, \ldots, 9\}\), temos

\[ \mathbb{P}(X \textrm{ é múltiplo de 3}) = \mathbb{P}(X \textrm{ é par múltiplo de 3}) + \mathbb{P}(X \textrm{ é ímpar múltiplo de 3}) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. \]

Ou, usando probabilidade condicionada,

\[ \begin{align*} \mathbb{P}(X \textrm{ é múltiplo de 3}) & = \mathbb{P}(X \textrm{ é múltiplo de 3} | X \textrm{ é par })\mathbb{P}(X \textrm{ é par}) \\ & \qquad + \mathbb{P}(X \textrm{ é múltiplo de 3} | X \textrm{ é ímpar })\mathbb{P}(X \textrm{ é ímpar}) \\ & = \frac{1}{4}\times\frac{4}{9} + \frac{2}{5}\times\frac{5}{9} = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} \\ & = \frac{1}{3}. \end{align*} \]

Seguindo na linha de ensaios clínicos, digamos que haja um novo teste para a detecção de alguma doença endêmica que, estima-se, atinge 1% da população. Ensaios clínicos indicam que o teste possui 96% de acerto, ou seja, que, em cada 100 pessoas com a doença, o teste dá resultado positivo em 96 delas. E que ele tem 0,1% de falsos positivos. Ou seja, de cada 1000 pessoas sem a doença, o teste dá positivo em 1 delas. Se uma pessoa qualquer faz o teste, quais as chances dela testar positivo, independentemente de ter ou não a doença?

Vejamos. Se \(D\) indica o evento de se ter a doença e \(P\), do evento do teste dar positivo, a lei da probabilidade total nos diz que

\[ \mathbb{P}(P) = \mathbb{P}(P | D)\mathbb{P}(D) + \mathbb{P}(P | \neg D)\mathbb{\neg D}, \]

onde \(\neg D\) é o complemento de \(D\), ou seja, nesse caso, representa não ter a doença. As informações nos dizem que

\[ \mathbb{P}(P | D) = 0.96, \qquad \mathbb{P}(P | \neg D) = 0.001, \qquad \mathbb{P}(D) = 0.01. \]

Além disso,

\[ \mathbb{P}(\neg D) = 1 - \mathbb{P}(A) = 0.99. \]

Portanto, as chances de uma pessoa qualquer testar positivo é de

\[ \mathbb{P}(P) = 0.96 \times 0.01 + 0.001 \times 0.99 = 0.01059. \]

Ou seja, as chances de uma pessoa qualquer testar positivo são de 1,059%.

Teorema de Bayes

Dados dois eventos \(A\) e \(B\) com probabilidade positiva, temos que

\[ \mathbb{P}(A | B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \]

e

\[ \mathbb{P}(B | A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}. \]

Substituindo, na primeira identidade, a expressão para \(\mathbb{P}(A \cap B)\) obtida da segunda identidade, obtemos o resultado do Teorema de Bayes:

\[ \mathbb{P}(A | B) = \frac{\mathbb{P}(B | A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}. \]

O Teorema de Bayes tem inúmeras aplicações. Pensemos, novamente, no exemplo do ensaio clínico acima, de um teste com 96% de acerto para alguma doença endêmica que atinge 1% da população, com 0,1% de falsos positivos. Se uma pessoa qualquer testar positivo, quais as chances dela realmente estar com a doença?

Vejamos. Se \(D\) indica o evento de se ter a doença e \(T\), o evento do teste dar positivo, então a probabilidade de se ter a doença dado que o teste deu positivo é representada por \(\mathbb{P}(D | T)\). De acordo com o Teorema de Bayes,

\[ \mathbb{P}(D | T) = \frac{\mathbb{P}(T | D)\mathbb{P}(D)}{\mathbb{P}(T)}. \]

Sabemos que \(\mathbb{P}(T | D) = 0.96\) e que \(\mathbb{P}(D) = 0.01\). Vimos, também, usando a lei da probabilidade total, que \(\mathbb{P}(T) = 0.01059\). Logo,

\[ \mathbb{P}(A | B) = \frac{0.96 \times 0.01}{0.01059} \approx 0.9065 \]

Ou seja, as chances de alguém que testou positivo realmente ter a doença são de 90,65%.

Exercício

1. Mostre, na lei da probabilidade total, que basta que \(\mathbb{P}(B_1 \cup \cdots \cup B_k) = 1\) e \(\mathbb{P}(B_i \cap B_j) = 0\), para \(i, j = 1, \ldots, k\), com \(i \neq j\).

2. Em um torneio de xadrez, podemos classificar os jogadores em níveis A, B e C. Além de você, há 3 jogadores de nível A, 4 de nível B e 8 de nível C. O seu primeiro oponente é sorteado aleatoriamente dentre esses. As suas chances de vitória são \(\mathbb{P}(\textrm{vitória} | \textrm{oponente nível A}) = 0.5\), \(\mathbb{P}(\textrm{vitória} | \textrm{oponente nível B}) = 0.65\) e \(\mathbb{P}(\textrm{vitória} | \textrm{oponente nível C}) = 0.8\). Quais as suas chances de vitória no primeiro jogo?

3. No exemplo do teste clínico, suponha, no entanto, que a doença atinge apenas 0,1% da população, mantendo a eficácia do teste em 96% e a taxa de falsos positivos em 0,1%. Encontre as chances de uma pessoa qualquer ser testada positivo e as chances de uma pessoa testada positivo realmente ter a doença. Repita as contas no caso em que a doença atinge 1% e a taxa de falsos positivos sobe para 1%.