6.6. Integral de Itô de processos L²

Vamos, agora, estender a integral estocástica

\[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t \]

a processos \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) adaptados a \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) que sejam progressivamente mensuráveis e de quadrado integrável, mas não necessariamente com caminhos contínuos.

Essa construção ainda pode ser estendida a integrais em relação a processos \(\{Z_t\}_{t\geq 0}\) que sejam martingales, ou, mais geralmente ainda, semi-martingales, i.e. sendo \(\{H_t\}_{t \geq 0}\) progressivamente mensurável em relação a uma semimartingale \(\{Z_t\}_{t\geq 0}\) e de quadrado integrável em \((0, T),\) então a integral de Itô

\[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}Z_t \]

está bem definida no sentido de média quadrática. Mas vamos fazer isso apenas no caso da integral de Itô com relação a \(\{W_t\}_t.\)

Construção

No caso de \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) ser progressivamente mensurável e de quadrado integrável, a ideia é aproximar o processo por processos \(\{H_t^m\}_{t \geq 0}\) adaptados e do tipo escada. Essa aproximação passa antes por aproximá-lo por processos com caminhos contínuous. Mas vamos tratar primeiro de processos do tipo escada.

Processo escada e integral de Itô

Um processo \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) é do tipo escada quando é "constante por partes", i.e. quando existe uma partição \(0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T\) tal que \(H_t\) seja constante, \(H_t = H_{t_{j-1}},\) em cada intervalo \(t_{j-1} \leq t < t_j.\) Para esses processo, define-se, naturalmente, a integral de Itô por

\[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t = \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}). \]

Integral de Itô via aproximação por processo escada

Para um processo \(\{H_t\}_{t \geq 0}\) que seja progressivamente mensurável e em \(L^2((0, T)\times \Omega),\) aproximamos o processo por processos \(\{H_t^m\}_{t \geq 0}\) do tipo escada e adaptados a \(\{W_t\}_{t\geq 0}.\) Por serem processos escada, em particular contínuos à direita, esses processos são progressivamente mensuráveis também. Para estes processos, a integral de Itô está bem definida através do somatório.

O passo seguinte é mostrar que as integrais de Itô dos processos escada convergem em média quadrática. Isso é obtido graças a duas propriedades fundamentais da integral de Itô em relação a \(\{W_t\}_{t \geq 0},\) a saber que o valor esperado é nulo e que a isometria de Itô vale para processos escada (veremos isso em seguida):

\[ \mathbb{E}\left[ \left(\int_0^T H_t^m \;\mathrm{d}W_t\right)^2 \right] = \mathbb{E}\left[ \int_0^T\left(H_t^m\right)^2 \;\mathrm{d}t\right] = \int_0^T\mathbb{E}\left[ \left(H_t^m\right)^2 \right] \;\mathrm{d}t \]

Como a combinação linear de processos escada também é um processo escada, temos

\[ \mathbb{E}\left[ \int_0^T H_t^m \;\mathrm{d}W_t - \int_0^T H_t^k \;\mathrm{d}W_t \right] = 0 \]

e

\[ \mathbb{E}\left[ \left(\int_0^T H_t^m \;\mathrm{d}W_t - \int_0^T H_t^k \;\mathrm{d}W_t\right)^2 \right] = \int_0^T \mathbb{E}\left[ \left(H_t^m - H_t^k\right)^2 \right] \;\mathrm{d}t \]

Com a hipótese de que \(\{H_t^m\}_{t \geq 0}\) converge em média quadrática para \(\{H_t\}_{t \geq 0},\) o lado direito da expressão acima converge para zero:

\[ \mathbb{E}\left[ \left(\int_0^T H_t^m \;\mathrm{d}W_t - \int_0^T H_t^k \;\mathrm{d}W_t\right)^2 \right] \rightarrow 0. \]

Isso mostra que a sequência

\[ \int_0^T H_t^m \;\mathrm{d}W_t \]

converge em média quadrática e em probabilidade para um limite que independe da escolha da sequência de funções escada.

A integral de Itô é, então, definida como o limite das integrais de funções escada:

\[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t = \lim \int_0^T H_t^m \;\mathrm{d}W_t. \]

Propriedades da integral de Itô de funções escada

Vamos ver aqui as duas propriedades fundamentais que utilizamos acima. Suponha que \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) seja um função escada adaptada a \(\{W_t\}_{t \geq 0}\) e com o processo sendo constante nos intervalos de uma malha \(0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T.\)

Calculemos, primeiramente, a esperança da integral de Itô:

\[ \mathbb{E}\left[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t \right] = \mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right] = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right] \]

Pela hipótese de \(\{H_t\}_t\) ser não antecipativo, temos \(H_{t_{j-1}}\) independente de \(\Delta W_j = W_{t_j} - W_{t_{j-1}},\) de modo que

\[ \mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right] = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}\right]\mathbb{E}\left[\Delta W_j\right]. \]

Como um processo de Wiener tem valor esperado nulo, segue que \(\mathbb{E}\left[\Delta W_j\right] = 0,\) de maneira que

\[ \mathbb{E}\left[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t \right] = \mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right] = 0. \]

Calculemos, agora, o momento de ordem dois da integral de Itô:

\[ \begin{align*} \mathbb{E}\left[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t \right] & = \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)^2\right] \\ & = \mathbb{E}\left[\left(\sum_{i=1}^n H_{t_{i-1}}\Delta W_i\right)\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)\right] \\ & = \sum_{i,j=1}^n\mathbb{E}\left[H_{t_{i-1}}H_{t_{j-1}}\Delta W_i\Delta W_j\right] \\ & = 2 \sum_{i < j} \mathbb{E}\left[H_{t_{i-1}}H_{t_{j-1}}\Delta W_i\Delta W_j\right] + \sum_j \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\Delta W_j^2\right] \end{align*} \]

Pela hipótese de \(\{H_t\}_t\) ser não antecipativo e com \(i < j,\) temos \(H_{t_{i-1}},\) \(H_{t_{j-1}}\) e \(\Delta W_i\) independente de \(\Delta W_j,\) de modo que

\[ \begin{align*} \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)^2\right] & = 2 \sum_{i < j} \mathbb{E}\left[H_{t_{i-1}}H_{t_{j-1}}\Delta W_i\right]\mathbb{E}\left[\Delta W_j\right] + \sum_j \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\right] \mathbb{E}\left[\Delta W_j^2\right] \end{align*} \]

Como

\[ \mathbb{E}\left[\Delta W_j\right] = 0, \qquad \mathbb{E}\left[\Delta W_j^2\right] = t_j - t_{j-1}, \]

temos

\[ \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)^2\right] = \sum_j \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\right] (t_j - t_{j-1}) = \mathbb{E}\left[\sum_j H_{t_{j-1}}^2 (t_j - t_{j-1})\right]. \]

Lembrando que \(\{H_t\}_{t \geq 0}\) é um processo escada, o somatório à direita é uma integral e obtemos a seguinte identidade para funções escada, conhecida como isometria de Itô:

\[ \mathbb{E}\left[ \left( \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[ \int_0^T H_t^2 \;\mathrm{d}t\right]. \]

Aproximação por processos contínuos

Dada uma função de quadrado integrável \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\) uma maneira clássica de aproximá-la por funções contínuas é através da convolução \(t \mapsto \int_\mathbb{R} f(s) \varphi_\varepsilon(t-s) \;\mathrm{d}t\) com aproximações da identidade \(\varphi_\varepsilon.\) Essa convolução, no entanto, envolve, tipicamente, olhar para o "passado" e para o "futuro" da função. O mesmo acontece com processos. No entanto, para a integral de Itô, queremos preservar a propriedade de não antecipação do processo. Para isso, usamos aproximações da identidade que considerem apenas o passado da função, por exemplo,

\[ \varphi_\varepsilon(t) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} e^{-t/\varepsilon}, & t \geq 0, \\ 0, & t < 0. \end{cases} \]

Mais especificamente, dado um processo \(\{H_t\}_{t \geq 0}\) de quadrado integrável e progressivamente mensurável em relação a \(\{W_t\}_{t \geq 0},\) estendemos \(H_t = 0,\) para \(t \leq 0\) e definimos

\[ H_t^m = \varphi_{1/m} \star H_t = \int_0^t m e^{-m(t - s)} H_s \;\mathrm{d}s. \]

Como \(H_t^m\) só envolve \(H_s,\) para \(0\leq s \leq t,\) então \(H_t^m\) continua sendo não antecipativo. Além disso, para \(t \geq 0\) e \(\tau > 0,\)

\[ \begin{align*} H_{t+\tau}^m - H_t^m & = \int_0^{t+\tau} m e^{-m(t + \tau - s)} H_s \;\mathrm{d}s - \int_0^t m e^{-m(t - s)} H_s \;\mathrm{d}s \\ & = \int_t^{t+\tau} m e^{-m(t + \tau - s)} H_s \;\mathrm{d}s + \int_0^t m \left(e^{-m(t + \tau - s)} - e^{-m(t - s)}\right) H_s \;\mathrm{d}s \end{align*} \]

Usando que \(e^{-m(t + \tau - s)} \leq 1\) e

\[ \left|e^{-m(t + \tau - s)} - e^{-m(t - s)}\right| = \int_{t - s}^{t + \tau - s} m e^{-m\eta}\;\mathrm{d}\eta \leq m \tau, \]

obtemos

\[ \begin{align*} \left|H_{t+\tau}^m - H_t^m \right| & \leq \int_t^{t+\tau} m |H_s| \;\mathrm{d}s - \int_0^t m^2 \tau |H_s| \;\mathrm{d}s \\ & \leq m \sqrt{\tau} \int_t^{t+\tau} H_s^2 \;\mathrm{d}s + m^2 \tau \sqrt{t}\int_0^t H_s^2 \;\mathrm{d}s \\ & \leq m \sqrt{\tau}\left(1 + m\sqrt{\tau t}\right)\int_0^t H_s^2 \;\mathrm{d}s. \end{align*} \]

Para \(0 \leq \tau < t,\) obtemos, analogamente, a mesma estimativa.

Como \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) é de quadrado integrável em intervalos finitos, segue que, para quase todo caminho amostral,

\[ \int_0^t H_s(\omega)^2 \;\mathrm{d}s < \infty, \]

de modo que

\[ H_{t + \tau}^m(\omega) \rightarrow H_t^m(\omega), \quad \tau \rightarrow 0, \]

mostrando a continuidade quase certamente das aproximações \(\{H_t^m\}_{t \geq 0}.\)

Aproximação por processo escada

Assumindo \(\{H_t\}_{t \geq 0}\) com caminhos contínuous e \(T > 0,\) consideramos as malhas \(\{t_j^n\}_j\) dadas por

\[ t_j^n = \frac{j T}{2^n}, \quad j = 0, \ldots, 2^n, \]

para \(n\in \mathbb{N}.\) Em cada malha, consideramos o processo escada \(\{H_t^n\}_t\) dado por

\[ H_t^n = \begin{cases} H_{t_{j-1}^n}, & t_{j-1}^n \leq t < t_j^n, \; j = 1, \ldots, 2^n, \\ H_{T}, & t \geq T. \end{cases} \]

Para quase todo \(\omega\in\Omega,\) como \(t\mapsto H_t(\omega)\) é um caminho contínuo, portanto uniformemente contínuo em \([0, T],\) temos

\[ H_t^n(\omega) \rightarrow H_t(\omega) \]

uniformemente em \(t \in [0, T].\) Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue,

\[ H_t^n \rightarrow H_t \]

em \(L^2((0, T)\times \Omega),\) ou seja, \(\{H_t^n\}_{0 \leq t \leq T}\) é uma aproximação, em média quadrática, por processos do tipo escada, do processo \(\{H_t\}_{0 \leq t \leq T}.\)

Aproximação no caso de processos com caminhos contínuos

Obtivemos, acima, a convergência das integrais de Itô das aproximações \(\{H_t^n\}_t\) de uma função progressivamente mensurável de quadrado integrável. Mas se os caminhos não forem contínuous, não podemos garantir que \(H_t^n = H_{t_j^n}^n\) em pontos arbitrários \(t_j^n\) das malhas das aproximações-escada do processo. Então, em geral, não podemos dizer que a integral de Itô de \(\{H_t\}_t\) é o limite de somatórios

\[ \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}^n}(W_{t_j^n} - W_{t_{j-1}^n}), \]

nem no sentido de média quadrática.

Mas se os caminhos forem contínuous, ou quase certamente contínuous, então podemos aproximar, em média quadrática, o processo \(\{H_t\}_t\) por \(H_t^n\) obtido através de

\[ H_t^n = \begin{cases} H_{t_{j-1}^n}, & t_{j-1}^n \leq t < t_j^n, \; j = 1, \ldots, 2^n, \\ H_{T}, & t \geq T. \end{cases} \]

Nesse caso, \(H_{t_{j-1}^n}^n = H_{t_{j-1}^n},\) ou seja, nos pontos da malha, os valores do processo aproximado são os valores do próprio processo. Assim, vale a convergência

\[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t = \lim \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}^n}(W_{t_j^n} - W_{t_{j-1}^n}), \]

no sentido de média quadrática. Isso para quaisquer sequências de malhas \(\{t_j^n\}_{j}\) com

\[ \max_{j=1, \ldots, n} (t_j^n - t_{j-1}^n) \rightarrow 0. \]

Além disso, extraindo uma subsequência \(n_k\rightarrow \infty\) tal que

\[ \int_0^T\mathbb{E}\left[ H_t - H_t^{n_k} \right] < \epsilon_k^2, \]

com

\[ \sum_k \epsilon_k < \infty, \]

então esse limite vale quase certamente. De fato, nesse caso, temos

\[ \mathbb{P}\left( \left|\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t - \int_0^T H_t^{n_k} \;\mathrm{d}W_t\right| \geq \sqrt{\epsilon_k} \right) \leq \frac{1}{\epsilon_k}\mathbb{E}\left[ \left(\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t - \int_0^T H_t^{n_k} \;\mathrm{d}W_t\right)^2\right] = \frac{1}{\epsilon_k}\int_0^T\mathbb{E}\left[ (H_t - H_t^{n_k})^2 \right]\;\mathrm{dt} \leq \epsilon_k. \]

Logo,

\[ \sum_{k\in\mathbb{N}} \mathbb{P}\left( \left|\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t - \int_0^T H_t^{n_k} \;\mathrm{d}W_t\right| \geq \sqrt{\epsilon_k} \right) \leq \sum_{k\in\mathbb{N}} \epsilon_k < \infty. \]

Pelo Lema de Borel-Cantelli, isso implica em

\[ \mathbb{P}\left( \limsup_{k\rightarrow \infty} \left|\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t - \int_0^T H_t^{n_k} \;\mathrm{d}W_t\right| \geq \sqrt{\epsilon_k} \right) = 0, \]

ou seja

\[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t = \lim \sum_{j=1}^{n_k} H_{t_{j-1}^{n_k}} (W_{t_j^{n_k}} - W_{t_{j-1}}^{n_k}), \]

quase certamente.

Integral de Itô do processo de Wiener

Como o processo de Wiener tem caminhos quase certamente contínuos, vale o limite

\[ \int_0^T W_t \;\mathrm{d}W_t = \lim \sum_{j=1}^n W_{t_{j-1}^n}(W_{t_j^n} - W_{t_{j-1}^n}), \]

em média quadrática. Por outro lado, já calculamos que o limite do lado direito acima é \(W_T/2 - T/2.\) Portanto, vale, de fato, para a integral de Itô, que

\[ \int_0^T W_t \;\mathrm{d}W_t = \frac{W_T}{2} - \frac{T}{2}. \]