8.5. Limitação e continuidade das soluções

Acabamos de ver condições que garantem a existência e a unicidade de soluções de uma equação diferencial estocástica

dXt=f(t,Xt) dt+g(t,Xt) dWt,t≥0, \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\;\mathrm{d}t + g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t, \qquad t \geq 0,

com uma condição inicial

Xt∣t=0=X0. \left.X_t\right|_{t = 0} = X_0.

Essa equação diferencial é interpretada como a equação integral

Xt=X0+∫0tf(s,Xs) ds+∫0tg(s,Xs) dWs. X_t = X_0 + \int_0^t f(s, X_s)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g(s, X_s)\;\mathrm{d}W_s.

Sob as mesmas condições (continuidade em tt e xx e continuidade Lipschitz global em x,x, uniformemente em tt), vamos mostrar que cada caminho amostral é limitado em intervalos finitos [0,T][0, T] e contínuo no tempo.

Limitação dos caminhos

Primeiramente, lembremos das estimativas

∣f(t,x)∣≤Cf+Lf∣x∣, |f(t, x)| \leq C_f + L_f|x|,

onde Cf=max⁡t∈[0,T]∣f(t,0)∣,C_f = \max_{t\in [0, T]}|f(t, 0)|, e

∣g(t,x)∣≤Cg+Lg∣x∣, |g(t, x)| \leq C_g + L_g|x|,

onde Cg=max⁡t∈[0,T]∣g(t,0)∣.C_g = \max_{t\in [0, T]}|g(t, 0)|.

Com isso,

E[Xt2]≤3E[X02]+3E[(∫0tf(s,Xs) ds)2]+3E[(∫0tg(s,Xs) dWs)2]. \mathbb{E}\left[X_t^2\right] \leq 3\mathbb{E}\left[X_0^2\right] + 3\mathbb{E}\left[ \left(\int_0^t f(s, X_s)\;\mathrm{d}s\right)^2\right] + 3\mathbb{E}\left[ \left(\int_0^t g(s, X_s)\;\mathrm{d}W_s\right)^2 \right].

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwartz na segunda integral e a isometria de Itô na terceira, obtemos

E[Xt2]≤3E[X02]+3t∫0tE[f(s,Xs)2] ds+3∫0tE[g(s,Xs)2] ds. \mathbb{E}\left[X_t^2\right] \leq 3\mathbb{E}\left[X_0^2\right] + 3t \int_0^t \mathbb{E}\left[f(s, X_s)^2 \right]\;\mathrm{d}s + 3\int_0^t \mathbb{E}\left[ g(s, X_s)^2 \right]\;\mathrm{d}s.

Usando as estimativas acima, temos

E[Xt2]≤3E[X02]+3t∫0tE[2Cf2+2Lf2Xs2] ds+3∫0tE[2Cg2+2Lg2Xs2] ds. \mathbb{E}\left[X_t^2\right] \leq 3\mathbb{E}\left[X_0^2\right] + 3t \int_0^t \mathbb{E}\left[2C_f^2 + 2L_f^2 X_s^2 \right]\;\mathrm{d}s + 3\int_0^t \mathbb{E}\left[ 2C_g^2 + 2L_g^2 X_s^2 \right]\;\mathrm{d}s.

Isso nos dá

E[Xt2]≤3E[X02]+6(tCf2+Cg2)+6(tLf2+Lg2)∫0tE[Xs2] ds. \mathbb{E}\left[X_t^2\right] \leq 3\mathbb{E}\left[X_0^2\right] + 6(tC_f^2 + C_g^2) + 6(tL_f^2 + L_g^2) \int_0^t \mathbb{E}\left[X_s^2 \right]\;\mathrm{d}s.

Pela desigualdade de Gronwall, obtemos, finalmente, a limitação da média quadrática da solução:

E[Xt2]≤(3E[X02]+6(tCf2+Cg2))e3(t2Lf2+2tLg2), \mathbb{E}\left[X_t^2\right] \leq \left(3\mathbb{E}\left[X_0^2\right] + 6(tC_f^2 + C_g^2) \right)e^{3(t^2L_f^2 + 2tL_g^2)},

para 0≤t≤T.0\leq t \leq T.

Continuidade temporal em média quadrática

De maneira semelhante, como, para 0≤t≤t+τ≤T,0\leq t \leq t + \tau \leq T,

Xt+τ−Xt=∫tt+τf(s,Xs) ds+∫tt+τg(s,Xs) dWs, X_{t+\tau} - X_t = \int_t^{t+\tau} f(s, X_s)\;\mathrm{d}s + \int_t^{t+\tau} g(s, X_s)\;\mathrm{d}W_s,

temos

E[∣Xt+τ−Xt∣2]≤2τ∫tt+τE[f(s,Xs)2] ds+2∫tt+τE[g(s,Xs)2] ds, \mathbb{E}\left[ |X_{t+\tau} - X_t|^2\right] \leq 2\tau\int_t^{t+\tau}\mathbb{E}\left[f(s, X_s)^2\right]\;\mathrm{d}s + 2\int_t^{t+\tau}\mathbb{E}\left[g(s, X_s)^2\right]\;\mathrm{d}s,

o que nos dá

E[∣Xt+τ−Xt∣2]≤2τ∫tt+τE[2Cf2+2Lf2Xs2] ds+2∫tt+τE[2Cg2+2Lg2Xs2] ds. \mathbb{E}\left[ |X_{t+\tau} - X_t|^2\right] \leq 2\tau\int_t^{t+\tau}\mathbb{E}\left[2C_f^2 + 2L_f^2 X_s^2\right]\;\mathrm{d}s + 2\int_t^{t+\tau}\mathbb{E}\left[2C_g^2 + 2L_g^2 X_s^2\right]\;\mathrm{d}s.

Portanto, sabendo que a média quadrática é limitada, podemos escrever,

E[∣Xt+τ−Xt∣2]≤4τ2(Cf2+2Lf2max⁡t≤s≤t+τE[Xs2])+4τ(Cg2+2Lg2max⁡t≤s≤t+τE[Xs2]). \mathbb{E}\left[ |X_{t+\tau} - X_t|^2\right] \leq 4\tau^2\left(C_f^2 + 2L_f^2 \max_{t\leq s \leq t+\tau}\mathbb{E}\left[X_s^2\right]\right) + 4\tau\left(C_g^2 + 2L_g^2 \max_{t\leq s \leq t+\tau}\mathbb{E}\left[X_s^2\right]\right).

Com isso, vemos que E[∣Xt+τ−Xt∣2]\mathbb{E}\left[ |X_{t+\tau} - X_t|^2\right] é Lipschitz contínuo. Mas observe que essa é a média quadrática. Considerando a norma forte, temos

E[∣Xt+τ−Xt∣]≤E[∣Xt+τ−Xt∣2]1/2≤CTτ1/2, \mathbb{E}\left[ |X_{t+\tau} - X_t|\right] \leq \mathbb{E}\left[ |X_{t+\tau} - X_t|^2\right]^{1/2} \leq C_T\tau^{1/2},

para 0≤t≤t+τ≤T,0\leq t \leq t + \tau \leq T, para uma constante CT>0C_T > 0 apropriada.

Continuidade temporal dos caminhos

(CC BY-NC-ND 4.0) Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International Ricardo M. S. Rosa
Last modified: June 01, 2026. Built with Franklin.jl, using the Book Template.