2.6. Desigualdades fundamentais

Vejamos algumas desigualdades que nos serão úteis.

Desigualdade de Markov

\[ \mathbb{P}(|X| > r) \leq \frac{\mathbb{E}[|X|]}{r}, \quad \forall r > 0. \]

Denotando \(\mathbf{1}_E(x)\) a função característica de um conjunto \(E,\) a desigualdade acima segue de

\[ \mathbb{P}(|X| > r) = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{|X| > r}] = \frac{1}{r}\mathbb{E}[r\mathbf{1}_{|X| > r}] \leq \frac{1}{r}\mathbb{E}[|X|\mathbf{1}_{|X| > r}] \leq \frac{1}{r}\mathbb{E}[|X|]. \]

Desigualdade de Chernoff

Como a exponencial é uma função crescente, temos que \(|X| > r\) é equivalente a \(e^{\lambda |X|} > e^{\lambda r},\) para \(\lambda, r > 0\) arbitrários. Assim, usando a desigualdade de Markov,

\[ \mathbb{P}(|X| > r) = \mathbb{P}(e^{\lambda |X|} > e^{\lambda r}) \leq e^{-\lambda r}\mathbb{E}\left[ e^{\lambda |X|} \right] \]

Desigualdade de Chebyshev

\[ \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}[X]| \geq r) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{r^2}, \quad \forall r > 0. \]

Desigualdade de Lyapunov

\[ \mathbb{E}[X] \leq \sqrt{\mathbb{E}[X^2]}. \]

Estimativas para eventos conjuntos

Considere dois eventos \(A\) e \(B.\) Se eles forem independentes, temos \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B).\)

No casos deles serem dependentes e mutuamente exclusivos, i.e. \(A \cap B = \emptyset,\) então \(\mathbb{P}(A \cap B) = 0.\)

Caso \(A \subset B\) (ou \(B \subset A\)), então \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\) (resp. \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B)\)).

Caso não tenhamos mais informações sobre \(A\) e \(B,\) podemos, pelo menos, obter certas estimativas. Por exemplo, como \(A \cap B \subset A\) e \(A \cap B \subset B,\) temos,

\[ \mathbb{P}(A \cap B) \leq \mathbb{P}(B) \]

e

\[ \mathbb{P}(A \cap B) \leq \mathbb{P}(A). \]

Ou seja,

\[ \mathbb{P}(A \cap B) \leq \min\left\{\mathbb{P}(A), \mathbb{P}(B)\right\}. \]