2.6. Desigualdades fundamentais

Vejamos algumas desigualdades que nos serão úteis.

Desigualdade de Markov

Denotando $\mathbf{1}_E(x)$ a função característica de um conjunto $E,$ a desigualdade acima segue de

Desigualdade de Chernoff

Como a exponencial é uma função crescente, temos que $|X| > r$ é equivalente a $e^{\lambda |X|} > e^{\lambda r},$ para $\lambda, r > 0$ arbitrários. Assim, usando a desigualdade de Markov,

Desigualdade de Chebyshev

Desigualdade de Lyapunov

Estimativas para eventos conjuntos

Considere dois eventos $A$ e $B.$ Se eles forem independentes, temos $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B).$

No casos deles serem dependentes e mutuamente exclusivos, i.e. $A \cap B = \emptyset,$ então $\mathbb{P}(A \cap B) = 0.$

Caso $A \subset B$ (ou $B \subset A$), então $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)$ (resp. $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B)$).

Caso não tenhamos mais informações sobre $A$ e $B,$ podemos, pelo menos, obter certas estimativas. Por exemplo, como $A \cap B \subset A$ e $A \cap B \subset B,$ temos,

e

Ou seja,