6.7. Propriedades da integral de Itô

Vamos ver, aqui, algumas propriedades importantes da integral de Itô. No que se segue, vamos considerar a integral de Itô em relação a um processo de Wiener \(\{W_t\}_{t \geq 0},\) de um processo \(\{H_t\}_{t \geq 0}\) adaptado ao processo de Wiener e com caminhos amostrais quase certamente contínuos.

Para simplificar a notação, dada uma partição \(t_0 < t_1 < \ldots < t_n,\) escrevemos

\[ \Delta W_j = W_{t_j} - W_{t_{j-1}}, \qquad j = 1, \ldots, n. \]

Valor esperado das integrais de Itô

Como vimos antes, temos, para as somas de Riemann,

\[ \mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right] = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right] \]

Pela hipótese de \(\{H_t\}_t\) ser não antecipativo, temos \(H_{t_{j-1}}\) independente de \(\Delta_j = W_{t_j} - W_{t_{j-1}},\) de modo que

\[ \mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right] = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}\right]\mathbb{E}\left[\Delta W_j\right]. \]

Como um processo de Wiener tem valor esperado nulo, segue que \(\mathbb{E}\left[\Delta W_j\right] = 0,\) de maneira que

\[ \mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right] = 0. \]

No limite, obtemos que a integral de Itô de um processo não antecipativo tem valor esperado nulo:

\[ \mathbb{E}\left[\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t\right] = 0. \]

Linearidade

Primeiramente, observe que a integral de Itô é homogênea. Ou seja, sendo \(\lambda\) constante, vale a relação,

\[ \int_0^T \lambda H_t \;\mathrm{d}W_t = \lambda \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t. \]

Isso segue diretamente da homogeneidade das somas parciais e da homogeneidade do limite:

\[ \begin{align*} \int_0^T \lambda H_t \;\mathrm{d}W_t & = \lim \sum_{j=1}^n \lambda H_{t_{j-1}}\Delta W_j \\ & = \lim \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j \\ & = \lambda \lim \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j \\ & = \lambda \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t. \end{align*} \]

Essa relação ainda é válidade no caso de uma variável aleatória \(\Lambda=\Lambda(\omega)\) independente do processo de Wiener. Só precisa ser constante em \(t.\) Nesse caso,

\[ \int_0^T \Lambda H_t \;\mathrm{d}W_t = \Lambda \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t. \]

Da mesma forma, a integral de Itô é aditiva, i.e.se \(\{G_t\}_{t\geq 0}\) e \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) são dois processos não antecipativos, então

\[ \int_0^T \left(G_t + H_t\right)\;\mathrm{d}W_t = \int_0^T G_t \;\mathrm{d}W_t + \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t. \]

Isso segue da aditividade das somas parciais e da aditividade do limite.

Essas duas propriedades são equivalente à linearidade, de modo que, se \(\{G_t\}_{t\geq 0}\) e \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) são dois processos não antecipativos e \(\mu\) e \(\lambda\) são constantes, então

\[ \int_0^T \left(\mu G_t + \lambda H_t\right)\;\mathrm{d}W_t = \mu \int_0^T G_t \;\mathrm{d}W_t + \lambda \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t. \]

Isometria de Itô

Calculemos, agora, o momento de ordem dois das somas de Riemann associadas à integral de Itô. Como visto antes,

\[ \begin{align*} \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)^2\right] & = \mathbb{E}\left[\left(\sum_{i=1}^n H_{t_{i-1}}\Delta W_i\right)\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)\right] \\ & = \sum_{i,j=1}^n\mathbb{E}\left[H_{t_{i-1}}H_{t_{j-1}}\Delta W_i\Delta W_j\right] \\ & = 2 \sum_{i < j} \mathbb{E}\left[H_{t_{i-1}}H_{t_{j-1}}\Delta W_i\Delta W_j\right] + \sum_j \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\Delta W_j^2\right] \end{align*} \]

Pela hipótese de \(\{H_t\}_t\) ser não antecipativo e com \(i < j,\) temos \(H_{t_{i-1}},\) \(H_{t_{j-1}}\) e \(\Delta W_i\) independente de \(\Delta W_j,\) de modo que

\[ \begin{align*} \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)^2\right] & = 2 \sum_{i < j} \mathbb{E}\left[H_{t_{i-1}}H_{t_{j-1}}\Delta W_i\right]\mathbb{E}\left[\Delta W_j\right] + \sum_j \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\right] \mathbb{E}\left[\Delta W_j^2\right] \end{align*} \]

Como

\[ \mathbb{E}\left[\Delta W_j\right] = 0, \qquad \mathbb{E}\left[\Delta W_j^2\right] = t_j - t_{j-1}, \]

temos

\[ \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)^2\right] = \sum_j \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\right] (t_j - t_{j-1}) = \mathbb{E}\left[\sum_j H_{t_{j-1}}^2 (t_j - t_{j-1})\right]. \]

No limite quando a malha é refinada, o somatório no lado direito converge para uma integral de Riemann do processo \(\{H_t^2\}_t,\) nos dando a seguinte identidade, conhecida como isometria de Itô:

\[ \mathbb{E}\left[ \left( \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[ \int_0^T H_t^2 \;\mathrm{d}t\right]. \]

Isometria com dois processos

Estendendo a propriedade de isometria para dois processos não antecipativos \(\{G_t\}_{t\geq 0}\) e \(\{H_t\}_{t\geq 0},\) usando que \(ab = \frac{1}{2}((a + b)^2 - a^2 - b^2)\) e aplicando a isometria a cada termo, obtemos

\[ \mathbb{E}\left[ \left( \int_0^T G_t \;\mathrm{d}W_t\right)\left( \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t\right)\right] = \mathbb{E}\left[ \int_0^T G_t H_t \;\mathrm{d}t\right]. \]

Relação com a definição via dualidade

Na Seção 6.3. Integrais via dualidade, definimos a integral de uma função determinística \(g=g(t)\) continuamente diferenciável em relação a um processo estocástico como um processo de Wiener, cujos caminhos amostrais são quase certamente contínuos, através da dualidade

\[ \int_0^T g(t)\;\mathrm{d}W_t = g(T)W_T - g(0)W_0 - \int_0^t g'(t)W_t \;\mathrm{d}t. \]

Por outro lado, podemos considerar \(g(t)\) como um processo estocástico \(H_t = g(t)\) e interpretar a integral como uma integral de Itô. Sendo \(H_t = g(t)\) determinístico, segue que \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) é não antecipativo. Assim, como integral de Itô, temos

\[ \int_0^T g(t)\;\mathrm{d}W_t = \lim_{\max_j\{t_j - t_{j-1}\} \rightarrow 0} \sum_{j=1}^n g(t_{j-1}) (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}). \]

Agora, observe que, para cada malha,

\[ \begin{align*} \sum_{j=1}^n g(t_{j-1}) (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) & = \sum_{j=1}^n g(t_{j-1}) W_{t_j} - \sum_{j=0}^{n-1} g(t_j) W_{t_j} \\ & = g(t_{n-1})W_{t_n} - g(0)W_0 - \sum_{j=1}^{n-1} W_{t_j} (g(t_j) - g(t_{j-1})) \\ & = g(T)W_T - g(0)W_0 - (g(t_n)- g(t_{n-1}))W_{T} - \sum_{j=1}^{n} W_{t_j} (g(t_j) - g(t_{j-1})). \end{align*} \]

No limite do refinamento da malha, temos

\[ (g(t_n)- g(t_{n-1}))W_{T} \rightarrow 0 \]

e

\[ \sum_{j=1}^{n} W_{t_j} (g(t_j) - g(t_{j-1})) \rightarrow \int_0^T W_t \;\mathrm{d}g = \int_0^T g'(t) W_t \;\mathrm{d}t \]

Portanto, obtemos também para a integral de Itô que

\[ \int_0^T g(t)\;\mathrm{d}W_t = g(T)W_T - g(0)W_0 - \int_0^t g'(t)W_t \;\mathrm{d}t. \]

Isso mostra que a integral de Itô, definida para processos mais gerais, coincide com a integral definida via dualidade.

Propriedade de Martingale

Considerando o processo \(\{S_t\}_{t\geq 0}\) definido por

\[ S_t = \int_0^t H_s \;\mathrm{d}W_s, \]

segue que \(\{S_t\}_{t\geq 0}\) é um Martingale.

De fato, sejam \(t \geq 0,\) \(\tau > 0,\) \(\{\mathcal{F}_t\}_{t\geq 0}\) a filtração natural de um processo de Wiener \(\{W_t\}_{t \geq 0}\) e \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) um processo adaptado a essa filtração. Então,

\[ \begin{align*} \mathbb{E}\left[S_{t + \tau} | \mathcal{F}_t\right] & = \mathbb{E}\left[S_t + \int_t^{t+\tau}H_s\;\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t\right] \\ & = \mathbb{E}\left[S_t | \mathcal{F}_t\right] + \int_t^{t+\tau}\mathbb{E}\left[H_s\;\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t\right]. \end{align*} \]

Como \(H_s\) é independente de \(\mathrm{d}W_s,\) temos

\[ \mathbb{E}\left[H_s\;\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t\right] = \mathbb{E}[H_s | \mathcal{F}_t]\;\mathbb{E}[\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t]. \]

Como \(\mathcal{F}_t\) é a filtração natural de \(\{W_t\}_t,\) então, para \(s \geq t,\) temos \(\mathbb{E}[\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t] = 0,\) de modo que

\[ \int_t^{t+\tau}\mathbb{E}[H_s | \mathcal{F}_t]\;\mathbb{E}[\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t] = 0. \]

Por outro lado,

\[ \mathbb{E}\left[S_t | \mathcal{F}_t\right] = S_t. \]

Portanto,

\[ \mathbb{E}\left[S_{t + \tau} | \mathcal{F}_t\right] = S_t, \qquad \forall t \geq 0, \]

mostrando que \(\{S_t\}_{t\geq 0}\) é uma Martingale.

Não positividade

Uma propriedade clássica das integrais de Riemann e de Lebesgue que tanto a integral de Riemann-Stieltjes quanto a integral de Itô não têm é a de positividade. Na integral de Riemann, se \(H_t \geq 0\) para todo \(t,\) então

\[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}t \geq 0. \]

Porém, não é verdade que

\[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t \]

seja maior do que zero. De fato, se \(H_t = 1,\) por exemplo, então

\[ \int_0^T \;\mathrm{d}W_t = W_T \sim \mathcal{N}(0, T). \]

Consequentemente, a integral de Itô não preserva ordem, i.e. se \(G_t \leq H_t,\) para todo \(t,\) não é verdade que

\[ \int_0^T G_t \;\mathrm{d}W_t \]

seja menor ou igual a

\[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t. \]

Isso também acontece na integral de Riemann-Stieltjes. Por exemplo, se \(g(t) = \sin(t),\) que é de variação limitada, e \(f(t) = 1,\) então

\[ \int_0^T f(t) \;\mathrm{d}g(t) = g(t) - g(0) = \sin(t), \]

que não é positiva.

Para que a positividade valha na integral de Riemann-Stieltjes, é necessário impor condições extras, como \(g\) ser não decrescente ou então \(g\) ser positiva e \(f\) ser estritamente uniformemente positiva.

Movimento Browniano com mudança temporal

A integral de uma função determinística \(g=g(t)\) em relação a um processo de Wiener nos dá um novo processo estocástico

\[ X_t = \int_0^t g(s)\;\mathrm{d}W_s. \]

Sendo um limite de combinações lineares de processos Gaussianos, o processo \(\{X_t\}_{t\geq 0}\) também é um processo Gaussiano. O interessante é que esse processo é como um movimento Browniano com tempo modificado, i.e. \(X_t = {\tilde W}_{\theta(t)},\) para uma certa função \(\theta=\theta(t)\) e para um processo de Wiener \(\{\tilde W_t\}_{t \geq 0}\) possivelmente diferente (Mais significativo ainda é que toda martingale local contínua com \(X_0=0\) é um movimento Browniano com tempo modificado.)

Dada a caracterização do processo de Wiener através das suas correlações e de ser um processo Gaussiano, basta verificarmos que

\[ \mathbb{E}[X_tX_s] = \mathbb{E}[{\tilde W}_{\theta(t)}{\tilde W}_{\theta(s)}] = \min\{\theta(t), \theta(s)\}, \quad \forall t, s \geq 0, \]

para uma função \(\theta=\theta(t)\) apropriada. No caso, veremos que

\[ \theta(t) = \int_0^t g(s)^2 \;\mathrm{d}s, \]

e, para isso, devemos ter \(g\) localmente de quadrado integrável.

Observe que

\[ \mathbb{E}[X_t] = 0, \]

e, pela isometria de Itô,

\[ \mathbb{E}[X_t^2] = \mathbb{E}\left[\left(\int_0^t g(s)\;\mathrm{d}W_s\right)^2\right] = \int_0^t \mathbb{E}[g(s)^2]\;\mathrm{d}s = \int_0^t g(s)^2\;\mathrm{d}s = \theta(t), \]

para todo \(t \geq 0.\) Além disso, para \(t, s \geq 0,\)

\[ \begin{align*} \mathbb{E}[X_tX_s] & = \mathbb{E}\left[\left(\int_0^t g(\tau)\;\mathrm{d}W_\tau\right)\left(\int_0^s g(\xi)\;\mathrm{d}W_\xi\right)\right] \\ & = \mathbb{E}\left[\left(\int_0^{\min\{t, s\}} g(\tau)\;\mathrm{d}W_\tau\right)\left(\int_0^{\min\{t, s\}} g(\xi)\;\mathrm{d}W_\xi\right)\right] + \mathbb{E}\left[\left(\int_{\min\{t,s\}}^{\max\{t, s\}} g(\tau)\;\mathrm{d}W_\tau\right)\left(\int_0^{\min\{t, s\}} g(\xi)\;\mathrm{d}W_\xi\right)\right] \\ & = \mathbb{E}\left[\left(\int_0^{\min\{t, s\}} g(\tau)\;\mathrm{d}W_\tau\right)^2\right] + \mathbb{E}\left[\left(\int_{\min\{t,s\}}^{\max\{t, s\}} g(\tau)\;\mathrm{d}W_\tau\right)\left(\int_0^{\min\{t, s\}} g(\xi)\;\mathrm{d}W_\xi\right)\right] \end{align*} \]

Pela independência de passos disjuntos do processo de Wiener, o segundo termo se anula, enquanto que no primeiro termo usamos a isometria de Itô, obtendo

\[ \mathbb{E}[X_tX_s] = \int_0^{\min\{t, s\}} \mathbb{E}[g(\tau)^2]\;\mathrm{d}\tau = \int_0^{\min\{t, s\}} g(\tau)^2\;\mathrm{d}\tau = \min\{\theta(t), \theta(s)\}. \]

Dessa forma, provamos que

\[ X_t = {\tilde W}_{\theta(t)}, \qquad \forall t \geq 0, \]

ou, mais explicitamente,

\[ \int_0^t g(s)\;\mathrm{d}W_s = {\tilde W}_{\int_0^t g(s)^2\;\mathrm{d}s}, \qquad \forall t \geq 0, \]

para algum processo de Wiener \(\{\tilde W_t\}_{t \geq 0}\) que, em geral, é diferente de \(\{W_t\}_{t\geq 0},\) caso contrário a independência de passos disjuntos seria violada.

Exercícios

1. Mostre que, em geral, a identidade

\[ \int_0^t g(s)\;\mathrm{d}W_s = W_{\int_0^t g(s)^2\;\mathrm{d}s}, \qquad \forall t \geq 0, \]

não vale para o mesmo processo de Wiener \(\{W_t\}_{t \geq 0}.\) (Isso é verdade se, e somente se, \(g^2(t) = 1,\) para todo \(t \geq 0.\))