6.7. Propriedades da integral de Itô

Vamos ver, aqui, algumas propriedades importantes da integral de Itô. No que se segue, vamos considerar a integral de Itô em relação a um processo de Wiener $\{W_t\}_{t \geq 0},$ de um processo $\{H_t\}_{t \geq 0}$ adaptado ao processo de Wiener e com caminhos amostrais quase certamente contínuos.

Para simplificar a notação, dada uma partição $t_0 < t_1 < \ldots < t_n,$ escrevemos

$$\Delta W_j = W_{t_j} - W_{t_{j-1}}, \qquad j = 1, \ldots, n.$$

Valor esperado das integrais de Itô

Como vimos antes, temos, para as somas de Riemann,

$$\mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right] = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right]$$

Pela hipótese de $\{H_t\}_t$ ser não antecipativo, temos $H_{t_{j-1}}$ independente de $\Delta_j = W_{t_j} - W_{t_{j-1}},$ de modo que

$$\mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right] = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}\right]\mathbb{E}\left[\Delta W_j\right].$$

Como um processo de Wiener tem valor esperado nulo, segue que $\mathbb{E}\left[\Delta W_j\right] = 0,$ de maneira que

$$\mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right] = 0.$$

No limite, obtemos que a integral de Itô de um processo não antecipativo tem valor esperado nulo:

$$\mathbb{E}\left[\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t\right] = 0.$$

Linearidade

Primeiramente, observe que a integral de Itô é homogênea. Ou seja, sendo $\lambda$ constante, vale a relação,

$$\int_0^T \lambda H_t \;\mathrm{d}W_t = \lambda \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t.$$

Isso segue diretamente da homogeneidade das somas parciais e da homogeneidade do limite:

$$\begin{align*} \int_0^T \lambda H_t \;\mathrm{d}W_t & = \lim \sum_{j=1}^n \lambda H_{t_{j-1}}\Delta W_j \\ & = \lim \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j \\ & = \lambda \lim \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j \\ & = \lambda \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t. \end{align*}$$

Essa relação ainda é válidade no caso de uma variável aleatória $\Lambda=\Lambda(\omega)$ independente do processo de Wiener. Só precisa ser constante em $t.$ Nesse caso,

$$\int_0^T \Lambda H_t \;\mathrm{d}W_t = \Lambda \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t.$$

Da mesma forma, a integral de Itô é aditiva, i.e.se $\{G_t\}_{t\geq 0}$ e $\{H_t\}_{t\geq 0}$ são dois processos não antecipativos, então

$$\int_0^T \left(G_t + H_t\right)\;\mathrm{d}W_t = \int_0^T G_t \;\mathrm{d}W_t + \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t.$$

Isso segue da aditividade das somas parciais e da aditividade do limite.

Essas duas propriedades são equivalente à linearidade, de modo que, se $\{G_t\}_{t\geq 0}$ e $\{H_t\}_{t\geq 0}$ são dois processos não antecipativos e $\mu$ e $\lambda$ são constantes, então

$$\int_0^T \left(\mu G_t + \lambda H_t\right)\;\mathrm{d}W_t = \mu \int_0^T G_t \;\mathrm{d}W_t + \lambda \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t.$$

Isometria de Itô

Calculemos, agora, o momento de ordem dois das somas de Riemann associadas à integral de Itô. Como visto antes,

$$\begin{align*} \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)^2\right] & = \mathbb{E}\left[\left(\sum_{i=1}^n H_{t_{i-1}}\Delta W_i\right)\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)\right] \\ & = \sum_{i,j=1}^n\mathbb{E}\left[H_{t_{i-1}}H_{t_{j-1}}\Delta W_i\Delta W_j\right] \\ & = 2 \sum_{i < j} \mathbb{E}\left[H_{t_{i-1}}H_{t_{j-1}}\Delta W_i\Delta W_j\right] + \sum_j \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\Delta W_j^2\right] \end{align*}$$

Pela hipótese de $\{H_t\}_t$ ser não antecipativo e com $i < j,$ temos $H_{t_{i-1}},$ $H_{t_{j-1}}$ e $\Delta W_i$ independente de $\Delta W_j,$ de modo que

$$\begin{align*} \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)^2\right] & = 2 \sum_{i < j} \mathbb{E}\left[H_{t_{i-1}}H_{t_{j-1}}\Delta W_i\right]\mathbb{E}\left[\Delta W_j\right] + \sum_j \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\right] \mathbb{E}\left[\Delta W_j^2\right] \end{align*}$$

Como

$$\mathbb{E}\left[\Delta W_j\right] = 0, \qquad \mathbb{E}\left[\Delta W_j^2\right] = t_j - t_{j-1},$$

temos

$$\mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}\Delta W_j\right)^2\right] = \sum_j \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\right] (t_j - t_{j-1}) = \mathbb{E}\left[\sum_j H_{t_{j-1}}^2 (t_j - t_{j-1})\right].$$

No limite quando a malha é refinada, o somatório no lado direito converge para uma integral de Riemann do processo $\{H_t^2\}_t,$ nos dando a seguinte identidade, conhecida como isometria de Itô:

$$\mathbb{E}\left[ \left( \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[ \int_0^T H_t^2 \;\mathrm{d}t\right].$$

Isometria com dois processos

Estendendo a propriedade de isometria para dois processos não antecipativos $\{G_t\}_{t\geq 0}$ e $\{H_t\}_{t\geq 0},$ usando que $ab = \frac{1}{2}((a + b)^2 - a^2 - b^2)$ e aplicando a isometria a cada termo, obtemos

$$\mathbb{E}\left[ \left( \int_0^T G_t \;\mathrm{d}W_t\right)\left( \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t\right)\right] = \mathbb{E}\left[ \int_0^T G_t H_t \;\mathrm{d}t\right].$$

Relação com a definição via dualidade

Na Seção 6.3. Integrais via dualidade, definimos a integral de uma função determinística $g=g(t)$ continuamente diferenciável em relação a um processo estocástico como um processo de Wiener, cujos caminhos amostrais são quase certamente contínuos, através da dualidade

$$\int_0^T g(t)\;\mathrm{d}W_t = g(T)W_T - g(0)W_0 - \int_0^t g'(t)W_t \;\mathrm{d}t.$$

Por outro lado, podemos considerar $g(t)$ como um processo estocástico $H_t = g(t)$ e interpretar a integral como uma integral de Itô. Sendo $H_t = g(t)$ determinístico, segue que $\{H_t\}_{t\geq 0}$ é não antecipativo. Assim, como integral de Itô, temos

$$\int_0^T g(t)\;\mathrm{d}W_t = \lim_{\max_j\{t_j - t_{j-1}\} \rightarrow 0} \sum_{j=1}^n g(t_{j-1}) (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}).$$

Agora, observe que, para cada malha,

$$\begin{align*} \sum_{j=1}^n g(t_{j-1}) (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) & = \sum_{j=1}^n g(t_{j-1}) W_{t_j} - \sum_{j=0}^{n-1} g(t_j) W_{t_j} \\ & = g(t_{n-1})W_{t_n} - g(0)W_0 - \sum_{j=1}^{n-1} W_{t_j} (g(t_j) - g(t_{j-1})) \\ & = g(T)W_T - g(0)W_0 - (g(t_n)- g(t_{n-1}))W_{T} - \sum_{j=1}^{n} W_{t_j} (g(t_j) - g(t_{j-1})). \end{align*}$$

No limite do refinamento da malha, temos

$$(g(t_n)- g(t_{n-1}))W_{T} \rightarrow 0$$

e

$$\sum_{j=1}^{n} W_{t_j} (g(t_j) - g(t_{j-1})) \rightarrow \int_0^T W_t \;\mathrm{d}g = \int_0^T g'(t) W_t \;\mathrm{d}t$$

Portanto, obtemos também para a integral de Itô que

$$\int_0^T g(t)\;\mathrm{d}W_t = g(T)W_T - g(0)W_0 - \int_0^t g'(t)W_t \;\mathrm{d}t.$$

Isso mostra que a integral de Itô, definida para processos mais gerais, coincide com a integral definida via dualidade.

Propriedade de Martingale

Considerando o processo $\{S_t\}_{t\geq 0}$ definido por

$$S_t = \int_0^t H_s \;\mathrm{d}W_s,$$

segue que $\{S_t\}_{t\geq 0}$ é um Martingale.

De fato, sejam $t \geq 0,$ $\tau > 0,$ $\{\mathcal{F}_t\}_{t\geq 0}$ a filtração natural de um processo de Wiener $\{W_t\}_{t \geq 0}$ e $\{H_t\}_{t\geq 0}$ um processo adaptado a essa filtração. Então,

$$\begin{align*} \mathbb{E}\left[S_{t + \tau} | \mathcal{F}_t\right] & = \mathbb{E}\left[S_t + \int_t^{t+\tau}H_s\;\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t\right] \\ & = \mathbb{E}\left[S_t | \mathcal{F}_t\right] + \int_t^{t+\tau}\mathbb{E}\left[H_s\;\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t\right]. \end{align*}$$

Como $H_s$ é independente de $\mathrm{d}W_s,$ temos

$$\mathbb{E}\left[H_s\;\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t\right] = \mathbb{E}[H_s | \mathcal{F}_t]\;\mathbb{E}[\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t].$$

Como $\mathcal{F}_t$ é a filtração natural de $\{W_t\}_t,$ então, para $s \geq t,$ temos $\mathbb{E}[\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t] = 0,$ de modo que

$$\int_t^{t+\tau}\mathbb{E}[H_s | \mathcal{F}_t]\;\mathbb{E}[\mathrm{d}W_s | \mathcal{F}_t] = 0.$$

Por outro lado,

$$\mathbb{E}\left[S_t | \mathcal{F}_t\right] = S_t.$$

Portanto,

$$\mathbb{E}\left[S_{t + \tau} | \mathcal{F}_t\right] = S_t, \qquad \forall t \geq 0,$$

mostrando que $\{S_t\}_{t\geq 0}$ é uma Martingale.

Não positividade

Uma propriedade clássica das integrais de Riemann e de Lebesgue que tanto a integral de Riemann-Stieltjes quanto a integral de Itô não têm é a de positividade. Na integral de Riemann, se $H_t \geq 0$ para todo $t,$ então

$$\int_0^T H_t \;\mathrm{d}t \geq 0.$$

Porém, não é verdade que

$$\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t$$

seja maior do que zero. De fato, se $H_t = 1,$ por exemplo, então

$$\int_0^T \;\mathrm{d}W_t = W_T \sim \mathcal{N}(0, T).$$

Consequentemente, a integral de Itô não preserva ordem, i.e. se $G_t \leq H_t,$ para todo $t,$ não é verdade que

$$\int_0^T G_t \;\mathrm{d}W_t$$

seja menor ou igual a

$$\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t.$$

Isso também acontece na integral de Riemann-Stieltjes. Por exemplo, se $g(t) = \sin(t),$ que é de variação limitada, e $f(t) = 1,$ então

$$\int_0^T f(t) \;\mathrm{d}g(t) = g(t) - g(0) = \sin(t),$$

que não é positiva.

Para que a positividade valha na integral de Riemann-Stieltjes, é necessário impor condições extras, como $g$ ser não decrescente ou então $g$ ser positiva e $f$ ser estritamente uniformemente positiva.

Movimento Browniano com mudança temporal

A integral de uma função determinística $g=g(t)$ em relação a um processo de Wiener nos dá um novo processo estocástico

$$X_t = \int_0^t g(s)\;\mathrm{d}W_s.$$

Sendo um limite de combinações lineares de processos Gaussianos, o processo $\{X_t\}_{t\geq 0}$ também é um processo Gaussiano. O interessante é que esse processo é como um movimento Browniano com tempo modificado, i.e. $X_t = {\tilde W}_{\theta(t)},$ para uma certa função $\theta=\theta(t)$ e para um processo de Wiener $\{\tilde W_t\}_{t \geq 0}$ possivelmente diferente (Mais significativo ainda é que toda martingale local contínua com $X_0=0$ é um movimento Browniano com tempo modificado.)

Dada a caracterização do processo de Wiener através das suas correlações e de ser um processo Gaussiano, basta verificarmos que

$$\mathbb{E}[X_tX_s] = \mathbb{E}[{\tilde W}_{\theta(t)}{\tilde W}_{\theta(s)}] = \min\{\theta(t), \theta(s)\}, \quad \forall t, s \geq 0,$$

para uma função $\theta=\theta(t)$ apropriada. No caso, veremos que

$$\theta(t) = \int_0^t g(s)^2 \;\mathrm{d}s,$$

e, para isso, devemos ter $g$ localmente de quadrado integrável.

Observe que

$$\mathbb{E}[X_t] = 0,$$

e, pela isometria de Itô,

$$\mathbb{E}[X_t^2] = \mathbb{E}\left[\left(\int_0^t g(s)\;\mathrm{d}W_s\right)^2\right] = \int_0^t \mathbb{E}[g(s)^2]\;\mathrm{d}s = \int_0^t g(s)^2\;\mathrm{d}s = \theta(t),$$

para todo $t \geq 0.$ Além disso, para $t, s \geq 0,$

$$\begin{align*} \mathbb{E}[X_tX_s] & = \mathbb{E}\left[\left(\int_0^t g(\tau)\;\mathrm{d}W_\tau\right)\left(\int_0^s g(\xi)\;\mathrm{d}W_\xi\right)\right] \\ & = \mathbb{E}\left[\left(\int_0^{\min\{t, s\}} g(\tau)\;\mathrm{d}W_\tau\right)\left(\int_0^{\min\{t, s\}} g(\xi)\;\mathrm{d}W_\xi\right)\right] + \mathbb{E}\left[\left(\int_{\min\{t,s\}}^{\max\{t, s\}} g(\tau)\;\mathrm{d}W_\tau\right)\left(\int_0^{\min\{t, s\}} g(\xi)\;\mathrm{d}W_\xi\right)\right] \\ & = \mathbb{E}\left[\left(\int_0^{\min\{t, s\}} g(\tau)\;\mathrm{d}W_\tau\right)^2\right] + \mathbb{E}\left[\left(\int_{\min\{t,s\}}^{\max\{t, s\}} g(\tau)\;\mathrm{d}W_\tau\right)\left(\int_0^{\min\{t, s\}} g(\xi)\;\mathrm{d}W_\xi\right)\right] \end{align*}$$

Pela independência de passos disjuntos do processo de Wiener, o segundo termo se anula, enquanto que no primeiro termo usamos a isometria de Itô, obtendo

$$\mathbb{E}[X_tX_s] = \int_0^{\min\{t, s\}} \mathbb{E}[g(\tau)^2]\;\mathrm{d}\tau = \int_0^{\min\{t, s\}} g(\tau)^2\;\mathrm{d}\tau = \min\{\theta(t), \theta(s)\}.$$

Dessa forma, provamos que

$$X_t = {\tilde W}_{\theta(t)}, \qquad \forall t \geq 0,$$

ou, mais explicitamente,

$$\int_0^t g(s)\;\mathrm{d}W_s = {\tilde W}_{\int_0^t g(s)^2\;\mathrm{d}s}, \qquad \forall t \geq 0,$$

para algum processo de Wiener $\{\tilde W_t\}_{t \geq 0}$ que, em geral, é diferente de $\{W_t\}_{t\geq 0},$ caso contrário a independência de passos disjuntos seria violada.

Exercícios

1. Mostre que, em geral, a identidade

$$\int_0^t g(s)\;\mathrm{d}W_s = W_{\int_0^t g(s)^2\;\mathrm{d}s}, \qquad \forall t \geq 0,$$

não vale para o mesmo processo de Wiener $\{W_t\}_{t \geq 0}.$ (Isso é verdade se, e somente se, $g^2(t) = 1,$ para todo $t \geq 0.$)