8.3. Existência de soluções globais

Vamos considerar, agora, o caso geral de uma equação diferencial estocástica da forma

\[ \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\;\mathrm{d}t + g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t, \qquad t \geq 0, \]

com uma condição inicial

\[ \left.X_t\right|_{t = 0} = X_0. \]

Hipóteses iniciais

Como antes, vamos assumir que \(f = f(t, x),\) \(g = g(t, x)\) são funções contínuas \(f:[0, T]\times \mathbb{R} \times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) e \(g:[0, T]\times \mathbb{R} \times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) com a propriedade de serem Lipschitz contínuas na variável \(x,\) mas com a diferença que pedimos agora que essa continuidade Lipschitz seja global.

Mais precisamente, existem \(L_f, L_g > 0\) tais que

\[ \begin{align*} |f(t, x) - f(t, y)| \leq L_f|x - y|, \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}, \\ |g(t, x) - g(t, y)| \leq L_g|x - y|, \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}. \end{align*} \]

Observe que a desigualdade para \(f\) implica em

\[ |f(t, x)| = |f(t, x) - f(t, 0) + f(t, 0)| \leq |f(t, 0)| + L_f|x| \leq C_f + L_f|x|, \]

para \(C_f = \max_{t\in [0, T]}|f(t, 0)|.\) Analogamente,

\[ |g(t, x)| = |g(t, x) - g(t, 0) + g(t, 0)| \leq |g(t, 0)| + L_g|x| \leq C_g + L_g|x|. \]

Também assumimos que a condição inicial tem média quadrática finita:

\[ \mathbb{E}[X_0^2] < \infty. \]

Essa condição global é fundamental, aqui. Por conta da perturbação causada pelo ruído proveniente de um processo de Wiener, os caminhos amostrais podem se afastar rapidamente da condição inicial e perdemos esse controle local. A condição inicial, sendo um processo, também impede a localização espacial das propriedades dos coeficientes.

Essa condição global pode ser relaxada desde que se possa explorar alguma outra propriedade mais estrutural da equação. Em geral, no entanto, conseguimos a existência apenas sob essa condição global.

Existência de solução

A forma integral equivalente é

\[ X_t = X_0 + \int_0^t f(s, X_s)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g(s, X_s)\;\mathrm{d}W_s. \]

A ideia é, novamente, resolver a equação integral via método de Picard, ou seja, via iterações sucessivas. Definimos, para todo \(t \geq 0,\)

\[ \begin{align*} X_t^0 & = X_0, \\ X_t^m & = X_0 + \int_0^t f(s, X_s^{m-1})\;\mathrm{d}s + \int_0^t g(s, X_s^{m-1}) \;\mathrm{d}W_t, \quad m\in \mathbb{N}. \end{align*} \]

A diferença, agora, é que vamos mostrar que a família \(\{X_t^m\}_{0 \leq t \leq T}\) de processos converge em média quadrática, não apenas em probabilidade, para um processo que é solução da equação integral, ao preço de exigir mais da condição inicial (ter média quadrática finita, ao invés de apenas ser finito quase certamente).

Considere, para isso, as funções determinísticas

\[ d^m(t) = \mathbb{E}\left[\left|X_t^{m+1} - X_t^m\right|^2\right], \quad m = 0, 1, 2, \ldots, \; 0 \leq t \leq T. \]

Vamos mostrar, por indução, que

\[ d^m(t) \leq \frac{M K^m t^{m+1}}{(m+1)!}, \]

para \(K = 2(L_f^2 + L_g^2)\) e para alguma constante \(M\) dependendo de \(C_f,\) \(C_g,\) \(L_f,\) \(L_g,\) \(T\) e \(X_0.\)

Primeiramente, temos

\[ \begin{align*} d^0(t) & = \mathbb{E}\left[ \left|X_t^1 - X_t^0\right|^2\right] \\ & = \mathbb{E}\left[ \left| \int_0^t f(s, X_s^0)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g(s, X_s^0) \;\mathrm{d}W_t \right|^2 \right] \\ & \leq 2\mathbb{E}\left[ \left| \int_0^t f(s, X_s^0)\;\mathrm{d}s \right|^2\right] + 2\mathbb{E}\left[\left|\int_0^t g(s, X_s^0) \;\mathrm{d}W_t \right|^2 \right] \end{align*} \]

Estimando a primeira integral de maneira usual e usando a isometria de Itô na segunda integral, obtemos

\[ d^0(t) \leq 2\int_0^t\mathbb{E}\left[ f(s, X_s^0)^2 \right]\;\mathrm{d}s + 2\int_0^t\mathbb{E}\left[ g(s, X_s^0)^2 \right]\;\mathrm{d}t. \]

Usando as estimativas para \(f\) e \(g\) e usando que \(X_s^0 = X_0,\) chegamos a

\[ \begin{align*} d^0(t) & \leq 2\int_0^t\mathbb{E}\left[ \left(C_f + L_fX_0\right)^2 \right]\;\mathrm{d}t + 2\int_0^t\mathbb{E}\left[ \left(C_g + L_gX_0\right)^2 \right]\;\mathrm{d}t \\ & \leq 2t\left(\mathbb{E}\left[ \left(C_f + L_fX_0\right)^2 \right] + 2\mathbb{E}\left[ \left(C_g + L_gX_0\right)^2 \right]\right). \end{align*} \]

Cada valor esperado pode ser estimado de forma apropriada:

\[ \mathbb{E}\left[ \left(C_f + L_fX_0\right)^2 \right] \leq 2C_f^2 + 2L_f^2\mathbb{E}\left[X_0^2\right], \quad \mathbb{E}\left[ \left(C_g + L_gX_0\right)^2 \right] \leq 2C_g^2 + 2L_g^2\mathbb{E}\left[X_0^2\right]. \]

Logo, obtemos a estimativa

\[ d^0(t) \leq 2t\left((C_f^2 + C_g^2) + (L_f^2 + L_g^2)\mathbb{E}\left[X_0^2\right]\right) \leq \frac{Mt}{2}, \]

para

\[ M = 4\left((C_f^2 + C_g^2) + (L_f^2 + L_g^2)\mathbb{E}\left[X_0^2\right]\right). \]

Agora, prosseguindo por indução, assumimos que a estimativa seja válida para \(m-1\) e buscamos prová-la para \(m.\) Temos

\[ \begin{align*} d^m(t) & = \mathbb{E}\left[\left|X_t^{m+1} - X_t^m\right|^2\right] \\ & = \mathbb{E}\left[ \left( \int_0^t (f(s, X_s^m) - f(s, X_s^{m-1}))\;\mathrm{d}s + \int_0^t (g(s, X_s^m) - g(s, X_s^{m-1})) \;\mathrm{d}W_t\right)^2 \right] \\ & \leq \mathbb{E}\left[ 2\left( \int_0^t L_f |X_s^m - X_s^{m-1}|\;\mathrm{d}s \right)^2 + 2\left( \int_0^t L_g |X_s^m - X_s^{m-1}| \;\mathrm{d}W_t\right)^2\right] \\ & \leq 2L_f^2\int_0^T\mathbb{E}\left[ |X_s^m - X_s^{m-1}|^2 \right]\;\mathrm{d}s + 2L_g^2\mathbb{E}\left[\left( \int_0^t |X_s^m - X_s^{m-1}| \;\mathrm{d}W_t\right)^2\right] \end{align*} \]

Usando a isometria de Itô no segundo termo, chegamos a

\[ d^m(t) \leq 2(L_f^2 + L_g^2)\int_0^T \mathbb{E}\left[ |X_s^m - X_s^{m-1}|^2 \right]\;\mathrm{d}s \leq K\int_0^T d^{m-1}(s)\;\mathrm{d}s. \]

Usando a hipótese de indução para \(m-1,\) chegamos na estimativa para \(d^m(t)\):

\[ d^m(t) \leq K\int_0^T \frac{MK^{m-1}s^m}{m!}\;\mathrm{d}s \leq \frac{MK^mt^{m+1}}{(m+1)!}. \]

Agora, podemos fazer somas telescópias, como de costume, e provar que \(\{X_t^m\}_{t \geq 0}\) converge em média quadrática para um processo \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) que é solução da equação integral e, portanto, da equação diferencial estocástica.