8.3. Existência de soluções globais

Vamos considerar, agora, o caso geral de uma equação diferencial estocástica da forma

\[ \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\;\mathrm{d}t + g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t, \qquad t \geq 0, \]

com uma condição inicial

\[ \left.X_t\right|_{t = 0} = X_0. \]

Hipóteses iniciais

Como antes, vamos assumir que \(f = f(t, x),\) \(g = g(t, x)\) são funções contínuas \(f:[0, T]\times \mathbb{R} \times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) e \(g:[0, T]\times \mathbb{R} \times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) com a propriedade de serem Lipschitz contínuas na variável \(x,\) mas com a diferença que pedimos agora que essa continuidade Lipschitz seja global.

Mais precisamente, existem \(L_f, L_g > 0\) tais que

\[ \begin{align*} |f(t, x) - f(t, y)| \leq L_f|x - y|, \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}, \\ |g(t, x) - g(t, y)| \leq L_g|x - y|, \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}. \end{align*} \]

Observe que a desigualdade para \(f\) implica em

\[ |f(t, x)| = |f(t, x) - f(t, 0) + f(t, 0)| \leq |f(t, 0)| + L_f|x| \leq C_f + L_f|x|, \]

para \(C_f = \max_{t\in [0, T]}|f(t, 0)|.\) Analogamente,

\[ |g(t, x)| = |g(t, x) - g(t, 0) + g(t, 0)| \leq |g(t, 0)| + L_g|x| \leq C_g + L_g|x|. \]

Também assumimos que a condição inicial tem média quadrática finita:

\[ \mathbb{E}[X_0^2] < \infty. \]

Essa condição global é fundamental, aqui. Por conta da perturbação causada pelo ruído proveniente de um processo de Wiener, os caminhos amostrais podem se afastar rapidamente da condição inicial e perdemos esse controle local. A condição inicial, sendo uma variável aleatória, também impede a localização espacial das propriedades dos coeficientes.

Essa condição global pode ser relaxada desde que se possa explorar alguma outra propriedade mais estrutural da equação. Em geral, no entanto, conseguimos a existência apenas sob essa condição global.

Existência de solução

A forma integral equivalente é

\[ X_t = X_0 + \int_0^t f(s, X_s)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g(s, X_s)\;\mathrm{d}W_s. \]

A ideia é, novamente, resolver a equação integral via método de Picard, ou seja, via iterações sucessivas. Definimos, para todo \(t \geq 0,\)

\[ \begin{align*} X_t^0 & = X_0, \\ X_t^m & = X_0 + \int_0^t f(s, X_s^{m-1})\;\mathrm{d}s + \int_0^t g(s, X_s^{m-1}) \;\mathrm{d}W_t, \quad m\in \mathbb{N}. \end{align*} \]

A diferença, agora, é que vamos mostrar que a família \(\{X_t^m\}_{0 \leq t \leq T}\) de processos converge em média quadrática, não apenas em probabilidade, para um processo que é solução da equação integral, ao preço de exigir mais da condição inicial (ter média quadrática finita, ao invés de apenas ser finito quase certamente).

Considere, para isso, as funções determinísticas

\[ d_m(t) = \mathbb{E}\left[\left|X_t^{m+1} - X_t^m\right|^2\right], \quad m = 0, 1, 2, \ldots, \; 0 \leq t \leq T. \]

Vamos mostrar, por indução, que

\[ d_m(t) \leq \frac{M K^m t^{m+1}}{(m+1)!}, \]

para \(K = 2(T L_f^2 + L_g^2)\) e para alguma constante \(M\) dependendo de \(C_f,\) \(C_g,\) \(L_f,\) \(L_g,\) \(T\) e \(X_0.\)

Primeiramente, temos

\[ \begin{align*} d_0(t) & = \mathbb{E}\left[ \left|X_t^1 - X_t^0\right|^2\right] \\ & = \mathbb{E}\left[ \left| \int_0^t f(s, X_s^0)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g(s, X_s^0) \;\mathrm{d}W_t \right|^2 \right] \\ & \leq 2\mathbb{E}\left[ \left| \int_0^t f(s, X_s^0)\;\mathrm{d}s \right|^2\right] + 2\mathbb{E}\left[\left|\int_0^t g(s, X_s^0) \;\mathrm{d}W_t \right|^2 \right] \end{align*} \]

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, estimamos a primeira integral da seguinte forma.

\[ \int_0^t f(s, X_s^0)\;\mathrm{d}s \leq \left(\int_0^t \;\mathrm{d}s\right)^{1/2}\left(\int_0^t f(s, X_s^0)^2 \;\mathrm{d}s\right)^{1/2} = t^{1/2}\int_0^t f(s, X_s^0)^2 \;\mathrm{d}s \leq T^{1/2} \left(\int_0^t f(s, X_s^0)^2 \;\mathrm{d}s\right)^{1/2}. \]

Usando esse estimativa e usando a isometria de Itô na segunda integral, obtemos

\[ d_0(t) \leq 2T\int_0^t\mathbb{E}\left[ f(s, X_s^0)^2 \right]\;\mathrm{d}s + 2\int_0^t\mathbb{E}\left[ g(s, X_s^0)^2 \right]\;\mathrm{d}t. \]

Usando as estimativas para \(f\) e \(g\) e usando que \(X_s^0 = X_0,\) chegamos a

\[ \begin{align*} d_0(t) & \leq 2T\int_0^t\mathbb{E}\left[ \left(C_f + L_fX_0\right)^2 \right]\;\mathrm{d}t + 2\int_0^t\mathbb{E}\left[ \left(C_g + L_gX_0\right)^2 \right]\;\mathrm{d}t \\ & \leq 2t\left(T\mathbb{E}\left[ \left(C_f + L_fX_0\right)^2 \right] + 2\mathbb{E}\left[ \left(C_g + L_gX_0\right)^2 \right]\right). \end{align*} \]

Cada valor esperado pode ser estimado de forma apropriada:

\[ \mathbb{E}\left[ \left(C_f + L_fX_0\right)^2 \right] \leq 2C_f^2 + 2L_f^2\mathbb{E}\left[X_0^2\right], \quad \mathbb{E}\left[ \left(C_g + L_gX_0\right)^2 \right] \leq 2C_g^2 + 2L_g^2\mathbb{E}\left[X_0^2\right]. \]

Logo, obtemos a estimativa

\[ d_0(t) \leq 4t\left((TC_f^2 + C_g^2) + (TL_f^2 + L_g^2)\mathbb{E}\left[X_0^2\right]\right) \leq Mt, \]

para

\[ M = 4\left((TC_f^2 + C_g^2) + (TL_f^2 + L_g^2)\mathbb{E}\left[X_0^2\right]\right). \]

Agora, prosseguindo por indução, assumimos que a estimativa seja válida para \(m-1\) e buscamos prová-la para \(m.\) Temos

\[ \begin{align*} d_m(t) & = \mathbb{E}\left[\left|X_t^{m+1} - X_t^m\right|^2\right] \\ & = \mathbb{E}\left[ \left( \int_0^t (f(s, X_s^m) - f(s, X_s^{m-1}))\;\mathrm{d}s + \int_0^t (g(s, X_s^m) - g(s, X_s^{m-1})) \;\mathrm{d}W_t\right)^2 \right] \\ & \leq \mathbb{E}\left[ 2\left( \int_0^t L_f |X_s^m - X_s^{m-1}|\;\mathrm{d}s \right)^2 + 2\left( \int_0^t L_g |X_s^m - X_s^{m-1}| \;\mathrm{d}W_t\right)^2\right] \\ & \leq 2L_f^2T\int_0^T\mathbb{E}\left[ |X_s^m - X_s^{m-1}|^2 \right]\;\mathrm{d}s + 2L_g^2\mathbb{E}\left[\left( \int_0^t |X_s^m - X_s^{m-1}| \;\mathrm{d}W_t\right)^2\right] \end{align*} \]

Usando a isometria de Itô no segundo termo, chegamos a

\[ d_m(t) \leq 2(TL_f^2 + L_g^2)\int_0^T \mathbb{E}\left[ |X_s^m - X_s^{m-1}|^2 \right]\;\mathrm{d}s \leq K\int_0^T d_{m-1}(s)\;\mathrm{d}s. \]

Usando a hipótese de indução para \(m-1,\) chegamos na estimativa para \(d_m(t)\):

\[ d_m(t) \leq K\int_0^T \frac{MK^{m-1}s^m}{m!}\;\mathrm{d}s \leq \frac{MK^mt^{m+1}}{(m+1)!}. \]

Agora, podemos fazer somas telescópias e provar que \(\{X_t^m\}_{t \geq 0}\) converge em média quadrática para um processo \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) que é solução da equação integral e, portanto, da equação diferencial estocástica. De fato, para inteiros positivos \(n > k,\)

\[ \begin{align*} \mathbb{E}[|X_t^n - X_t^k|^2]^{1/2} & = \|X_t^n - X_t^k\|_{L^2(\Omega)} \\ & = \|\sum_{m=k}^{n-1} (X_t^{m+1} - X_t^m)\|_{L^2(\Omega)} \\ & \leq \sum_{m=k}^{n-1} \| (X_t^{m+1} - X_t^m)\|_{L^2(\Omega)} \\ & = \sum_{m=k}^{n-1} d_m(t)^{1/2} \\ & \leq M^{1/2}\sum_{m=k}^{n-1} \left(\frac{K^{m+1}t^m}{(m+1)!}\right)^{1/2} \\ & \leq M^{1/2}K^{1/2}\sum_{m=k}^{n-1} \left(\frac{K^{m}t^m}{m!}\right)^{1/2} \end{align*} \]

Pela fórmula de Stirling,

\[ m! \sim \sqrt{2\pi m}\left(\frac{m}{e}\right)^{m}. \]

Mais precisamente, a razão entre essas duas expressões converge para \(1,\) conforme \(m\rightarrow \infty.\) Com isso, para \(m\) suficientemente grande, podemos escrever

\[ m! \geq \sqrt{\pi m}\left(\frac{m}{e}\right)^{m} \geq \left(\frac{m}{e}\right)^{m}, \]

de modo que

\[ \mathbb{E}[|X_t^n - X_t^k|^2]^{1/2} \leq M^{1/2}K^{1/2}\sum_{m=k}^{n-1} \frac{(K^{1/2} t^{1/2})^m}{(\frac{m}{e})^{m}} = M^{1/2}K^{1/2}\sum_{m=k}^{n-1} \left(\frac{K^{1/2} t^{1/2} e}{m}\right)^m = M^{1/2}K^{1/2}\sum_{m=k}^{n-1} \left(\frac{K^{1/2} T^{1/2} e}{m}\right)^m \]

Considerando \(m\) ainda maior, caso necessário, podemos assumir que

\[ \frac{K^{1/2} T^{1/2} e}{m} \leq \frac{1}{2}, \]

de modo que temos o rabo de uma série convergence, o que implica em

\[ \mathbb{E}[|X_t^n - X_t^k|^2]^{1/2} \leq \frac{M^{1/2}K^{1/2}}{(2\pi)^{1/4}}\sum_{m=k}^{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^m \rightarrow 0. \]

Portanto, \(X_t^m \rightarrow X_t\) em média quadrática, uniformemente em \(t\in [0, T].\) No limite, temos

\[ \int_0^t f(s, X_s^{m-1})\;\mathrm{d}s \rightarrow \int_0^t f(s, X_s)\;\mathrm{d}s, \qquad \int_0^t g(s, X_s^{m-1}) \;\mathrm{d}W_t \rightarrow \int_0^t g(s, X_s) \;\mathrm{d}W_t, \]

de modo que

\[ X_t = X_0 + \int_0^t f(s, X_s)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g(s, X_s) \;\mathrm{d}W_t, \quad m\in \mathbb{N}. \]

Essa é uma identidade entre funções em \(L^2(\Omega),\) o que significa que, a cada \(t,\) a identidade vale para \(\omega\) em \(\Omega,\) a menos de um conjunto de medida nula \(N_t,\) que depende, portanto de \(t.\) Podemos, também, considerar essa identidade em \(L^\infty(0, T; L^2(\Omega)).\) De qualquer forma, isso não garante que, para quase todo \(\omega\in\Omega,\) a identidade valha para todo \(t\geq 0.\) Para isso, podemos mostrar que a solução obtida é, de fato, contínua.

Temos

\[ \mathbb{P}\left( \max_{0\leq t \leq T} |X_t^{m+1} - X_t^m| > \frac{1}{2^m} \right) \leq 2^{2m}\mathbb{E}\left[|X_t^{m+1} - X_t^m|^2\right] \leq 2^{2m}\frac{MT^m}{m!}. \]

Como \(2^{2m}MT^m/m!\) são, também, termos de uma série convergence, segue do Lema de Borel-Cantelli que

\[ \mathbb{P}\left(\max_{0\leq t \leq T} |X_t^{m+1} - X_t^m| > \frac{1}{2^m} \textrm{ infinitas vezes} \right) = 0. \]

Portanto, para quase todo \(\omega\) e para todo \(0\leq t \leq T,\)

\[ |X_t^{m+1}(\omega) - X_t^m(\omega)| \leq \frac{1}{2^m}. \]

Assim, para quase todo \(\omega,\) a sequência \(\{t \mapsto X_t^m(\omega)\}_m\) é uma sequência de Cauchy em \(\Ccal([0, T], \mathbb{R}).\) Portanto, converge uniformemente. Podemos tomar \(\{X_t\}_t\) como sendo, esse limite uniforme, de modo que, quase certamente, a solução \(\{X_t\}_{0\leq t\leq T}\) da equação diferencial é contínua em \(t.\)