8.11. Estabilidade assintótica

Dado um processo \(\{X_t\}_{t\geq 0},\) como em muitos problemas dinâmicos, uma questão de interesse é o comportamento assintótico do mesmo, quando \(t\rightarrow \infty.\) Em particular, em alguns casos, é interessante estudar a estabilidade do processo, i.e. como, e sob que condições, \(X_t \rightarrow 0.\)

Tipos de estabilidade assintótica

Quando

\[ \lim_{t\rightarrow \infty}\mathbb{E}[X_t^2] = 0, \]

dizemos que o processo é assintoticamente estável em média quadrática, ou apenas estável em média quadrática. Analogamente, podemos examinar a estabilidade assintótica em momentos de ordem \(p\) qualquer.

Outra sentido útil é no sentido quase certamente, i.e. se

\[ \lim_{t\rightarrow \infty} X_t = 0 \]

quase certamente. Nesse caso dizemos que o processo é assintoticamente estável quase certamente ou apenas assintoticamente estável.

Nenhum dos dois sentidos implica, necessariamente, no outro.

Estabilidade assintótica do movimento Browniano geométrico

A título de ilustração, considere um movimento Browniano geométrico, definido por

\[ \mathrm{d}X_t = \mu X_t\;\mathrm{d}t + \sigma X_t \;\mathrm{d}W_t, \]

com \(\mu, \sigma\) reais constantes. Já vimos que a solução é dada por

\[ X_t = X_0 e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}. \]

Já vimos, também, que

\[ \mathbb{E}[X_t^2] = \mathbb{E}[X_0]e^{(2\mu + \sigma^2)t}. \]

Portanto,

\[ \lim_{t\rightarrow \infty}\mathbb{E}[X_t^2] = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \mu + \frac{1}{2}\sigma^2 < 0. \]

Ou seja, um movimento Brownian geométrico é assintoticamente estável em média quadrática se, e somente se, \(\mu + \sigma^2/2 < 0.\)

Por outro lado, já vimos que um processo de Wiener tem um crescimento sublinear, i.e.

\[ \lim_{t\rightarrow \infty} \frac{W_t}{t} = 0 \]

quase certamente. Assim, quando \(t\rightarrow \infty,\)

\[ X_t = X_0 e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t} = X_0 e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2 + W_t/t)t} \rightarrow 0, \]

quase certamente se, e somente se,

\[ \mu - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0. \]

Assim, no caso do movimento Brownian geométrico,

\[ \textrm{assintoticamente estável em média quadrática} \quad \Leftrightarrow \quad \mu + \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 \]

e

\[ \textrm{assintoticamente estável quase certamente} \quad \Leftrightarrow \quad \mu - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 \]

sendo que, obviamente,

\[ \mu + \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 \quad \Rightarrow \quad \mu - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0. \]