8.11. Estabilidade assintótica

Dado um processo {Xt}t≥0,\{X_t\}_{t\geq 0}, como em muitos problemas dinâmicos, uma questão de interesse é o comportamento assintótico do mesmo, quando t→∞.t\rightarrow \infty. Em particular, em alguns casos, é interessante estudar a estabilidade do processo, i.e. como, e sob que condições, Xt→0.X_t \rightarrow 0.

Tipos de estabilidade assintótica

Quando

lim⁡t→∞E[Xt2]=0, \lim_{t\rightarrow \infty}\mathbb{E}[X_t^2] = 0,

dizemos que o processo é assintoticamente estável em média quadrática, ou apenas estável em média quadrática. Analogamente, podemos examinar a estabilidade assintótica em momentos de ordem pp qualquer.

Outra sentido útil é no sentido quase certamente, i.e. se

lim⁡t→∞Xt=0 \lim_{t\rightarrow \infty} X_t = 0

quase certamente. Nesse caso dizemos que o processo é assintoticamente estável quase certamente ou apenas assintoticamente estável.

Nenhum dos dois sentidos implica, necessariamente, no outro.

Estabilidade assintótica do movimento Browniano geométrico

A título de ilustração, considere um movimento Browniano geométrico, definido por

dXt=μXt dt+σXt dWt, \mathrm{d}X_t = \mu X_t\;\mathrm{d}t + \sigma X_t \;\mathrm{d}W_t,

com μ,σ\mu, \sigma reais constantes. Já vimos que a solução é dada por

Xt=X0e(μ−12σ2)t+σWt. X_t = X_0 e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}.

Já vimos, também, que

E[Xt2]=E[X0]e(2μ+σ2)t. \mathbb{E}[X_t^2] = \mathbb{E}[X_0]e^{(2\mu + \sigma^2)t}.

Portanto,

lim⁡t→∞E[Xt2]=0⇔μ+12σ2<0. \lim_{t\rightarrow \infty}\mathbb{E}[X_t^2] = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \mu + \frac{1}{2}\sigma^2 < 0.

Ou seja, um movimento Brownian geométrico é assintoticamente estável em média quadrática se, e somente se, μ+σ2/2<0.\mu + \sigma^2/2 < 0.

Por outro lado, já vimos que um processo de Wiener tem um crescimento sublinear, i.e.

lim⁡t→∞Wtt=0 \lim_{t\rightarrow \infty} \frac{W_t}{t} = 0

quase certamente. Assim, quando t→∞,t\rightarrow \infty,

Xt=X0e(μ−12σ2)t+σWt=X0e(μ−12σ2+Wt/t)t→0, X_t = X_0 e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t} = X_0 e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2 + W_t/t)t} \rightarrow 0,

quase certamente se, e somente se,

μ−12σ2<0. \mu - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0.

Assim, no caso do movimento Brownian geométrico,

assintoticamente estaˊvel em meˊdia quadraˊtica⇔μ+12σ2<0 \textrm{assintoticamente estável em média quadrática} \quad \Leftrightarrow \quad \mu + \frac{1}{2}\sigma^2 < 0

e

assintoticamente estaˊvel quase certamente⇔μ−12σ2<0 \textrm{assintoticamente estável quase certamente} \quad \Leftrightarrow \quad \mu - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0

sendo que, obviamente,

μ+12σ2<0⇒μ−12σ2<0. \mu + \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 \quad \Rightarrow \quad \mu - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0.
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