10.4. Não convergência do método de Euler-Maruyama sem condição Lipschitz global

Vejamos, agora, um exemplo de não convergência do método de Euler, mesmo no caso aditivo, quando o termo de drift é apenas localmente Lipschitz. Esse exemplo aparece na Seção 10.5 de Higham & Kloeden (2021) e é feita em detalhes e em maior generalidade em Hutzenthaler, Jentzen & Kloeden (2011).

Interlúdio no caso determinístico

Considere, inicialmente, a equação diferencial ordinária

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = - x^3,$$

com condição inicial $x(0) = x_0 > 0.$ O método de Euler com passo constante tem a forma

$$x_j = x_{j-1} - x_{j-1}^3 \Delta t = x_{j-1}(1 - x_{j-1}^2 \Delta t).$$

Seja $T > 0$ arbitrário e fixe um passo de tempo qualquer $\Delta t = T/N \leq 2,$ para algum $N\in\mathbb{N}.$ Suponha que a condição inicial seja tal que

$$x_0 \geq \frac{2}{\Delta t} \geq 1.$$

Nesse caso,

$$1 - x_0^2 \Delta t \leq 1 - 2x_0 \leq x_0 - 2x_0 = -x_0.$$

Assim, o primeiro passo de Euler nos dá

$$x_1 = x_0 - \Delta t x_0^3 = x_0(1 - \Delta t x_0^2) \leq -x_0^2.$$

Por indução, vamos supor que $|x_j| \geq x_{j-1}^2,$ com sinais alternados, $\mathrm{sgn}(x_j) = (-1)^j.$ Vamos separar em dois casos, dependendo da paridade de $j,$ ou seja, do sinal de $x_j.$

Quando $j$ é par, $x_j$ tem sinal positivo e

$$x_j = |x_j| \geq x_0 \geq \frac{2}{\Delta t} \geq 1,$$

de modo que

$$1 - x_j^2 \Delta t \leq x_j - x_j^2 \Delta t = x_j (1 - x_j\Delta t) \leq x_j (1 - 2) = - x_j.$$

Portanto,

$$x_{j+1} = x_j (1 - x_j^2 \Delta t) \leq - x_j^2,$$

ou seja $x_{j+1}$ é negativo e $|x_{j+1}| \geq x_j^2.$

Quando $j$ é impar, $x_j$ tem sinal negativo e

$$x_j = - |x_j| \leq - x_0 \leq - \frac{2}{\Delta t} \leq -1,$$

de modo que

$$1 - x_j^2 \Delta t \leq - x_j - x_j^2 \Delta t = -x_j (1 + x_j\Delta t) \leq -x_j (1 - 2) = x_j.$$

Portanto, como $x_j$ é negativo,

$$x_{j+1} = x_j (1 - x_j^2 \Delta t) \geq x_j^2,$$

ou seja $x_{j+1}$ é positivo e $|x_{j+1}| \geq x_j^2.$

Assim, em qualquer caso, temos $x_{j+1}$ de sinal contrário ao de $x_j$ e com

$$|x_{j+1}| \geq x_j^2,$$

completando a indução.

Iterando essa relação, obtemos que a aproximação de Euler alterna de sinal e diverge de maneira duplamente exponencial, com

$$|x_j| \geq |x_{j-1}|^2 \geq (|x_{j-2}|^2)^2 \geq \cdots \geq x_0^{2^j},$$

ao invés de convergir para zero, como a solução exata da equação.

No argumento acima, começamos com $x_0$ positivo, mas a mesma ideia se aplica quando $x_0$ é negativo com $x_0 \leq -2/\Delta t.$ Ou seja, mais geralmente, se

$$|x_0| \geq \frac{2}{\Delta t} \geq 1,$$

então vale que o sinal de $x_j$ alterna a cada iteração e

$$|x_j| \geq |x_{j-1}|^2 \geq (|x_{j-2}|^2)^2 \geq \cdots \geq |x_0|^{2^j},$$

Finalmente, observe que fixando $x_0$ e diminuindo o passo de tempo esse problema desaparece. Isso é compatível com o fato de que o método de Euler converge e é de ordem 1 no caso determinístico. Vamos ver agora como o problema acima pode ser explorado para nos dar que, no caso estocásticom o método de Euler-Maruyama não converge.

Não convergência no caso aleatório

Considere, agora, a equação acima mas com uma condição inicial aleatória, i.e.

$$\frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = - X_t^3,$$

com $X_0 = X_0(\omega)$ variável aleatória. Caso $X_0$ tenha suporte compacto, digamos

$$|X_0| \leq r,$$

quase certamente, então basta tormarmos um passo $\Delta t$ suficientemente pequeno tal que

$$\Delta t < \frac{2}{r},$$

para evitar as oscilações das aproximações de Euler para um $\omega$ qualquer. Porém caso $X_0$ não tenha suporte limitado, podemos não ter esse controle global sobre erro. De fato, suponha que

$$X_0 \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2),$$

para algum $\sigma > 0$ e que $T > 0.$ Dado $N\in\mathbb{N},$ seja $\Delta t = T/N$ e defina

$$A_N = \left\{\omega; \;|X_0(\omega)| \geq \frac{2N}{T} \right\}.$$

Como $X_0$ é normal, vale a estimativa

$$\begin{align*} \mathbb{P}(X_0 \geq r) & \geq \mathbb{P}(r \leq X_0 \leq 2r) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_r^{2r} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\;\mathrm{d}x \\ & \geq \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}r e^{-\frac{2r^2}{\sigma^2}}. \end{align*}$$

Em particular,

$$\mathbb{P}(A_N) = 2\mathbb{P}\left(X_0 \geq \frac{2N}{T}\right) \geq \frac{4}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\frac{N}{T} e^{-\frac{8N^2}{\sigma^2T^2}}.$$

Pelas estimativas acima, temos, para as aproximações de Euler $X_j(\omega),$ $j=0, \ldots, N,$ onde $\Delta t = T/N,$ que

$$|X_j(\omega)| \geq |X_0(\omega)|^{2^j},$$

para todo $\omega\in A_N.$ Em particular, para $j=N,$ temos

$$|X_N(\omega)| \geq |X_0(\omega)|^{2^N} \geq \left(\frac{2N}{T}\right)^{2^N}.$$

Assim, estimamos a norma forte por

$$\mathbb{E}\left[|X_N|\right] \geq \left(\frac{2N}{T}\right)^{2^N} \mathbb{P}(A_N) \geq \left(\frac{2N}{T}\right)^{2^N}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\frac{4N}{T} e^{-\frac{8N^2}{\sigma^2T^2}} \rightarrow \infty,$$

quando $N \rightarrow \infty.$ Da mesma forma,

$$|X_N(\omega)|^k \geq |X_0(\omega)|^{k2^N} \geq \left(\frac{2N}{T}\right)^{k2^N},$$

para $k\in\mathbb{N}$ qualquer, de modo que

$$\mathbb{E}\left[|X_N|^k\right] \rightarrow \infty,$$

quando $N\rightarrow \infty,$ também. Isso mostra que os momentos de $X_N$ não convergem para os momentos da solução exata $X_T$ no instante $t=T.$ Em outras palavras, a aproximação de Euler não converge fortemente nem fracamente para a solução exata, nesse caso.

Não convergência no caso estocástico

Consideramos, agora, a perturbação estocástica da equação acima por um ruído aditivo, a saber

$$\mathrm{d}X_t = -X_t^3\;\mathrm{d}t + \;\mathrm{d}W_t.$$

Vamos assumir $X_0 = 0,$ para simplificar, mas o resultado vale de maneira mais geral. Dados $T > 0$ e $N\in\mathbb{N},$ temos o passo de tempo $\Delta t = T/N.$ Consideramos apenas $N$ suficientemente grande tal que

$$\Delta t = \frac{T}{N} \leq \frac{1}{2}.$$

A aproximação de Euler $X_j,$ nos instantes $t_j = j\Delta t,$ $j=0, \ldots, N,$ é dada por

$$X_j = X_{j-1} - X_{j-1}^3\Delta t + \Delta W_{j-1}, \quad j = 1, \ldots, N,$$

onde

$$\Delta W_{j-1} = W_{t_j} - W_{t_{j-1}}.$$

Seja

$$r_N = \frac{N}{T} = \frac{1}{\Delta t} \geq 2.$$

Considere o conjunto amostral

$$A_N = \left\{\omega\in \Omega; \; |\Delta W_0(\omega)| \geq r_N^2 \textrm{ e } \frac{1}{r_N} \leq |\Delta W_j(\omega)| \leq \frac{2}{r_N}, \;j = 1, \ldots, N \right\}.$$

A ideia é que o primeiro passo leva a aproximação para a região de "explosão" e os passos seguintes não são suficientes para tirá-la de lá. Há, na verdade, muita folga nessa construção. A explosão acontece em uma região muito maior. Mas o conjunto acima facilita as contas e é suficiente para mostrar a não convergência do método, nesse caso.

No que se segue, assumimo, então, que $\omega\in A_N.$ No primeiro passo, como $X_0 = 0,$ temos

$$|X_1| = |\Delta W_0| \geq r_N^2.$$

Agora, vamos assumir, por indução, que $|X_j| \geq |X_{j-1}|^2,$ para $j\in\mathbb{N}.$ Para $j=1,$ como $X_0 = 0,$ então isso vale trivialmente. Vamos, então, assumir que $|X_j| \geq |X_{j-1}|^2,$ até um certo $j\in\mathbb{N},$ e mostrar para $j+1.$ Observe que acabamos de ver que $|X_1| \geq r_N^2.$ Como $r_N\geq 2,$ então $|X_1|\geq 4.$ Até $j,$ também temos $|X_j|\geq |X_{j-1}|^2 \geq \ldots \geq |X_1|^{2^{j-1}} \geq r_N^{2^j} \geq 4.$

Agora, para $j+1,$ temos

$$|X_{j+1}| = |X_j (1 - X_j^2\Delta t) + \Delta W_j| \geq |\Delta W_j - X_j^3\Delta t| - |X_j| \geq \max\{|\Delta W_j|, |X_j^3\Delta t|\} - \min\{|\Delta W_j|, |X_j^3\Delta t|\} - |X_j|.$$

Como $\Delta t = 1/r_N$ e

$$\frac{1}{r_N} \leq |\Delta W_j| \leq \frac{2}{r_N},$$

então

$$|X_{j+1}| \geq \max\{1, |X_j^3|\}\frac{1}{r_N} - \min\{2, |X_j^3|\}\frac{1}{r_N} - |X_j|.$$

Pela a hipótese de indução, temos $|X_j| \geq 4 \geq 2,$ de modo que

$$|X_{j+1}| \geq |X_j^3|\frac{1}{r_N} - \frac{2}{r_N} - |X_j|.$$

Como $|X_j| \geq r_N \geq 2,$ então

$$\frac{2}{r_N} \leq \frac{|X_j|}{r_N} \leq \frac{|X_j|^2}{r_N}$$

e

$$|X_j| \leq |X_j|\frac{|X_j|}{r_N}$$

de modo que

$$\frac{2}{r_N} + |X_j| \leq \frac{2|X_j|^2}{r_N}.$$

Com isso,

$$|X_{j+1}| \geq |X_j^3|\frac{1}{r_N} - \frac{2|X_j|^2}{r_N} = |X_j|^2\left(|X_j| - 2\right)\frac{1}{r_N}.$$

Como $|X_j| \geq 4$ e $r_N \geq 2,$ então

$$|X_{j+1}| \geq |X_j^3|\frac{1}{r_N} - \frac{2|X_j|^2}{r_N} = |X_j|^2\frac{2}{r_N} \geq |X_j|^2.$$

Isso completa a indução.

Agora, precisamos estimar a medidade de $A_N.$ Como os passos de um processo de Wiener são independentes, temos

$$\mathbb{P}(A_N) = \mathbb{P}\left(|\Delta W_0(\omega)| \geq r_N^2\right)\prod_{j=1}^N\mathbb{P}\left(\frac{1}{r_N} \leq |\Delta W_j(\omega)| \leq \frac{2}{r_N}\right).$$

Como os passos são normais, $\Delta W_j \sim \mathcal{N}(0, \Delta t),$ com $\Delta t = 1/r_N,$ usamos a estimativa acima, que nos diz que para $Z\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2),$ vale

$$\mathbb{P}(Z \geq r) \geq \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}r e^{-\frac{2r^2}{\sigma^2}}.$$

Assim, com $\sigma^2 = 1/r_N,$

$$\mathbb{P}\left(|\Delta W_0(\omega)| \geq r_N^2\right) \geq \sqrt{\frac{2r_N}{\pi}}r_N^2 e^{-2r_N^3} = \sqrt{\frac{2r_N^5}{\pi}} e^{-2r_N^3}$$

e

$$\mathbb{P}\left(\frac{1}{N} \leq |\Delta W_j(\omega)| \leq \frac{2}{r_N}\right) \geq \sqrt{\frac{2r_N}{\pi}}\frac{1}{r_N} e^{-\frac{2}{r_N^3}} = \sqrt{\frac{2}{\pi r_N}} e^{-\frac{2}{r_N^3}}.$$

Deste modo,

$$\mathbb{P}(A_N) \geq \sqrt{\frac{2r_N^5}{\pi}} e^{-2r_N^3} \left( \sqrt{\frac{2}{\pi r_N}} e^{-\frac{2}{r_N^3}}\right)^N = \left(\frac{2}{\pi}\right)^{(N-1)/2}\frac{1}{r_N^{(N-5)/2}}e^{-2(r_N^3 - N/r_N^3)}.$$

Observe que essa medida vai rapidamente para zero, mas o crescimento de $|X_N|$ nessa região cresce extremamente mais rápido, de forma que

$$\mathbb{E}\left[ |X_N| \right] \geq \mathbb{E}\left[ |X_N| \chi_{A_N} \right] \geq r_N^{2^N}\mathbb{P}\left(A_N\right) \geq r_N^{2^N}\left(\frac{2}{\pi}\right)^{(N-1)/2}\frac{1}{r_N^{(N-5)/2}}e^{-2(r_N^3 - N/r_N^3)} \rightarrow \infty,$$

quando $N\rightarrow \infty.$ Da mesma forma,

$$\mathbb{E}\left[ |X_N|^k \right] \rightarrow \infty,$$

para todo $k\in \mathbb{N}.$ Ou seja, o método de Euler não converge nem fortemente, nem fracamente.

Condições mais gerais

Esse resultado vale para equações estocásticas mais gerais, da forma

$$\mathrm{d}X_t = f(X_t)\;\mathrm{d}t + g(X_t)\;\mathrm{d}W_t,$$

sob condições apropriadas de crescimento em $f$ e $g,$ conforme demonstrado em Hutzenthaler, Jentzen & Kloeden (2011). Mais precisamente, devemos ter

$$\max\{|f(x)|, |g(x)|\} \geq \frac{|x|^\beta}{R}, \quad \min\{|f(x)|, |g(x)|\} \leq R|x|^\alpha, \quad \mathbb{P}\left(g(X_0) \neq 0\right) > 0,$$

para $|x| \geq R,$ com $R \geq 1,$ $\beta > \alpha > 1,$ Isso inclui equações como a equação de Ginzburg-Landau estocástica, a equação de Verhulst estocástica, a equação de difusão de Feller com crescimento logístico, equações cinéticas e outras tantas.