2.4. Média, variância e outros momentos

Valor esperado

O valor esperado, ou média, de uma variável aleatória, é como uma média ponderada dos possíveis valores da variável, ponderados pela probabilidade de cada realização. No caso de uma variável discreta XX (finita ou infinita enumerável) com possíveis valores Σ={xj}j,\Sigma = \{x_j\}_j, respectivas probabilidades 0≤pj≤1,0 \leq p_j \leq 1, com ∑jpj=1,\sum_j p_j = 1, o valor esperado de XX é

E[X]=∑jxjpj. \mathbb{E}[X] = \sum_j x_j p_j.

Nem sempre o valor esperado está definido. Por exemplo, considere a variável aleatória que assume valores inteiros com probabilidades dadas pelos termos da série de Euler (normalizada)

pn=6π2n2. p_n = \frac{6}{\pi^2 n^2}.

Naturalmente,

∑npn=6π2∑n∈N1n2=1, \sum_n p_n = \frac{6}{\pi^2}\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{n^2} = 1,

de modo que XX é uma variável aleatória. O seu valor esperado, no entanto, é indefinido, já que

E(X)=?∑npnn=6π2∑n∈N1n=∞ \mathbb{E}(X) \stackrel{?}{=} \sum_n p_n n = \frac{6}{\pi^2} \sum_{n\in \mathbb{N}} \frac{1}{n} = \infty

é uma série divergente.

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