2.4. Média, variância e outros momentos

Valor esperado

O valor esperado, ou média, de uma variável aleatória, é como uma média ponderada dos possíveis valores da variável, ponderados pela probabilidade de cada realização. No caso de uma variável discreta \(X\) (finita ou infinita enumerável) com possíveis valores \(\Sigma = \{x_j\}_j,\) respectivas probabilidades \(0 \leq p_j \leq 1,\) com \(\sum_j p_j = 1,\) o valor esperado de \(X\) é

\[ \mathbb{E}[X] = \sum_j x_j p_j. \]

Nem sempre o valor esperado está definido. Por exemplo, considere a variável aleatória que assume valores inteiros com probabilidades dadas pelos termos da série de Euler (normalizada)

\[ p_n = \frac{6}{\pi^2 n^2}. \]

Naturalmente,

\[ \sum_n p_n = \frac{6}{\pi^2}\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{n^2} = 1, \]

de modo que \(X\) é uma variável aleatória. O seu valor esperado, no entanto, é indefinido, já que

\[ \mathbb{E}(X) \stackrel{?}{=} \sum_n p_n n = \frac{6}{\pi^2} \sum_{n\in \mathbb{N}} \frac{1}{n} = \infty \]

é uma série divergente.