10.1. Convergências forte e fraca

"Whereas weak convergence measures the 'error of the means,' strong convergence measures the 'mean of the errors.'" - D. J. Higham & P. E. Kloeden, in An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations, (SIAM, 2021).

Processos estocásticos são famílias de variáveis aleatória e qualquer noção de convergência de variáveis aleatórias pode ser utilizada para analisar a convergência de processos estocásticos. No estudo da convergência de métodos numéricos para equações aleatórias e estocásticas, no entanto, uma noção é particularmente utilizada, que é a de convergência em média, que é a convergência do valor esperado do erro absoluto, também conhecida aqui como convergência forte (mas que é diferente da noção de convergência forte de variáveis aleatórias, que diz respeito à convergência quase certamente).

Uma outra noção de convergência é a chamada convergência fraca, que diz respeito apenas à convergência de certas informações estatísticas, como o valor esperado.

Associadas a essas convergências, uma outra questão importante é sobre a taxa de convergência, ou seja, quão rápida se dá a convergência. Vejamos, aqui, mais detalhes sobre essas noções.

Convergência forte

Dado um processo contínuo \(\{X_t\}_{t \in [0, T]}\) e uma aproximação discreta \(\{X_j^{\mathrm{\Delta t}}\}_j\) em instantes \(t_j = j \Delta t,\) \(\Delta t = T/n,\) o erro forte, ou erro médio, é dado por

\[ e_{\Delta t}^{\mathrm{forte}} = \max_{j} \mathbb{E}[|X_{t_j} - X_j^{\mathrm{\Delta t}}|]. \]

Dizemos que o método numérico converge fortemente quando

\[ e_{\Delta t}^{\mathrm{forte}} = \max_{j} \mathbb{E}[|X_{t_j} - X_j^{\mathrm{\Delta t}}|] \rightarrow 0, \qquad \Delta t \rightarrow 0. \]

Um aspecto fundamental em análise numérica é medir essa taxa de convergência, ou seja, quão rápida é a convergência, em função de \(\Delta t.\) Nesse sentido, um método numérico, ou uma aproximação, é dita de ordem \(p > 0,\) ou ordem forte \(p > 0,\) quando existe uma constante \(C > 0\) e um limiar \(\delta > 0\) tais que

\[ e_{\Delta t}^{\mathrm{forte}} = \max_{j} \mathbb{E}[|X_{t_j} - X_j^{\mathrm{\Delta t}}|] \leq C \Delta t^p, \qquad \forall 0 < \Delta t \leq \delta. \]

Erro ao longo dos caminhos amostrais

A convergência forte é um resultado amostral mas tem consequências, também, nos caminhos individuais, ou em uma boa parcela deles. De fato, considerando um método numérico de ordem forte \(p,\) temos, pela desigualdade de Markov, que

\[ \mathbb{P}(\left|X_{t_j} - X_j^{\mathrm{\Delta t}}\right| > r) \leq \frac{\mathbb{E}[|X_{t_j} - X_j^{\mathrm{\Delta t}}|]}{r} \leq C\frac{\Delta t^p}{r}. \]

Escolhendo \(r = \Delta t^{p - \varepsilon},\) com \(0 < \varepsilon < p,\) obtemos

\[ \mathbb{P}(\left|X_{t_j} - X_j^{\mathrm{\Delta t}}\right| > \Delta t^{p - \varepsilon}) \leq C\frac{\Delta t^p}{\Delta t^{p - \varepsilon}} = C \Delta t^\varepsilon. \]

Em particular, escolhendo \(r = p/2,\) temos

\[ \mathbb{P}(\left|X_{t_j} - X_j^{\mathrm{\Delta t}}\right| > \Delta t^{p/2}) \leq C \Delta t^{p/2}. \]

Ou seja, tomando-se \(\Delta t\) pequeno, temos, com probabilidade perto de um, que o erro ao longo de um caminho amostral é pequeno.

Convergência fraca

Em muitos casos, temos um interesse particular no valor esperado de um processo ou de outras informações estatísticas. Se um método numérico converge fortemente, então o valor esperado das simulações converge para o valor esperado da solução da equação que está sendo aproximada. Mas pode ser que, em alguns casos, a convergência do valor esperado seja mais rápida. E também pode acontecer do valor esperado convergir, sem que o método seja fortemente convergente. Por esses motivos, define-se uma noção para a convergência desses momentos generalizados, que é esta chamada de convergência fraca.

Nesse sentido, novamente, dado um processo contínuo \(\{X_t\}_{t \in [0, T]}\) e uma aproximação discreta \(\{X_j^{\mathrm{\Delta t}}\}_j\) em instantes \(t_j = j \Delta t,\) \(\Delta t = T/n,\) o erro fraco é dado por

\[ e_{\Phi, \Delta t}^{\mathrm{fraco}} = \max_{j} |\mathbb{E}[\Phi(X_{t_j})] - \mathbb{E}[\Phi(X_j^{\mathrm{\Delta t}})]|, \]

para uma função real \(\Phi\) em uma classe apropriada (e.g. polinômios, polinômios até uma determinada ordem, funções contínuas limitadas, etc.)

Dizemos que o método numérico converge fracamente quando

\[ e_{\Phi, \Delta t}^{\mathrm{fraco}} = \max_{j} \left|\mathbb{E}[\Phi(X_{t_j})] - \mathbb{E}[\Phi(X_j^{\mathrm{\Delta t}})]\right| \rightarrow 0, \qquad \Delta t \rightarrow 0, \]

para toda \(\Phi\) na classe designada.

Um método numérico, ou uma aproximação, é dita de ordem fraca \(p > 0,\) quando existe uma constante \(C > 0\) e um limiar \(\delta > 0\) tais que

\[ e_{\Phi, \Delta t}^{\mathrm{fraco}} = \max_{j} \left|\mathbb{E}[\Phi(X_{t_j})] - \mathbb{E}[\Phi(X_j^{\mathrm{\Delta t}})]\right| \leq C_\Phi \Delta t^p, \qquad \forall 0 < \Delta t \leq \delta. \]

Observe que, para cada \(n,\) considerando \(\Phi(x) = x,\) i.e. a função identidade \(\Phi = I,\)

\[ \left| \mathbb{E}[X_{t_j}] - \mathbb{E}[X_j^{\mathrm{\Delta t}}] \right| = \left| \mathbb{E}[X_{t_j} - X_j^{\mathrm{\Delta t}}] \right| \leq \mathbb{E}\left[ \left| X_{t_j} - X_j^{\mathrm{\Delta t}}\right| \right], \]

de modo que

\[ e_{I, \Delta t}^{\mathrm{fraco}} \leq e_{\Delta t}^{\mathrm{forte}}, \quad \forall \Delta t. \]

No entanto, como dissemos acima, um método numérico pode convergir fracamente sem que convirja fortemente (e.g. Euler-Maruyama fraco, onde o termo estocástico é calculado via passeio aleatório) ou ambos podem convergir mas com a ordem de convergência fraca mais alta do que a sua ordem de convergência forte.

Outras fontes de erro

Conforme discutido em Higham & Kloeden (2021), há vários outras fontes de erro, além do erro de discretização considerado acima:

1. Erros amostrais, provenientes de se aproximar um processo com espaço amostral contínuo por um número finito de amostras, em particular aproximando-se o valor esperado do processo pela média da amostra finita.

2. Erros na geração de números aleatórios, provenientes do fato dos números gerados usualmente em simulações computacionais serem pseudo-aleatórios e não verdadeiramente aleatórios e independentes.

3. Erros de arredondamento, proveniente do fato de que a aritmética em ponto flutuante não ser exata.

No caso determinístico, temos que nos preocupar apenas com os erros de arredondamento, causados tipicamente quando o passo de tempo é muito pequeno e, com isso, os erros se acumularem significativamente.

Já no caso de equações diferenciais aleatórias e estocásticas, o erro amostral tende a ser mais significativo.

Além disso, especialmente no caso estocástico, os erros associados à geração de números aleatórios podem ser mais significativos do que os erros de ponto flutuante, deturpando os resultados antes dos erros de arredondamente serem significativos (Komori, Saito & Mitsui (1994)).