5.1. Definição

Um processo de Wiener é um processo estocástico que formaliza as ideias do movimento Browniano. Por conta disso, ele é também chamado de processo Browniano, ou mesmo de movimento Browniano, mas vale ressaltar que muitos autores diferenciam o fenômeno físico observado por Robert Brown, em 1827, e denominado de movimento Browniano, da formalização matemática denominada de processo de Wiener ou processo Browniano.

Processo de Wiener

Como visto anteriormente, um processo de Wiener, ou processo Browniano, é um processo estocástico real \(\{W_t\}_{t \geq 0}\) tal que, para algum \(x\_0\in \mathbb{R},\)

1. \(W_0 = x_0\);

2. \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) possui incrementos independentes;

3. \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) possui incrementos \(W_{t+\tau} - W_t\) identicamente distribuídos e dados por uma normal com média zero e variância \(\tau\);

4. Com probabilidade um, os caminhos amostrais \(t \mapsto W_t(\omega)\) são contínuos.

Um processo de Wiener \(\{W_t\}_{t \geq 0}\) é chamado de processo de Wiener padrão, ou processo Browniano padrão, quando \(x_0 = 0,\) i.e.

Essa definição é inspirada no modelo de Einstein para o movimento Browniano. Mas essa inspiração não é suficiente para garantir a existência de um processo com as propriedades listadas acima. A demonstração de tal existência é fundamental e será feita a seguir.

A última condição, dos caminhos amostrais serem quase certamente contínuos, não é, propriamente, redundante. Graças ao Teorema de Continuidade de Kolmogorov, é verdade que as três primeiras hipóteses garantem que existe uma modificação do processo que possui caminhos contínuous quase certamente, mas ela não garante que o processo original tenha essa propriedade. Por isso, essa condição é usualmente incluída na definição de processo de Wiener, como feito acima.