10.9. Simulações Milstein

Consideramos, novamente, o movimento browniano geométrico, a título de ilustrar a ordem de convergência do método de Milstein. Enquanto que o método de Euler tem ordem forte \(1/2,\) o de Milstein tem ordem \(1,\) conforme podemos verificar nas simulações abaixo.

Relembramos, aqui, a equação, que tem a forma

\[ \mathrm{d}X_t = \mu X_t \;\mathrm{d}t + \sigma X_t \;\mathrm{d}W_t, \]

e cuja solução é

\[ X_t = X_0 e^{(\mu + \sigma^2/2)t + \sigma W_t}. \]

Tomamos a condição inicial \(X_0 = 1.0\) e fixamos \(\mu = 2.0\) e o tempo final \(T = 2.0.\) Variamos o coeficiente de difusão \(\sigma\) e o número \(M\) de amostras, além do número de pontos da malha, determinando o passo de tempo, que aparece no eixo das abscissas. O erro forte aparece no eixo das ordenadas.

Novamente, a ordem \(p\) do método é estimada via regressão linear. Observe como está próxima de \(1,\) nos primeiros exemplos, com um número relativamente grande de amostras, enquanto que nos últimos exemplos a ordem fica ligeiramente mascarada pelo baixo número de amostras.