8.7. Movimento Browniano geométrico e o preço de ações

Um modelo clássico para o preço $P_t$ de uma ação é o de que a mudança relativa (ou específica) de preço $\mathrm{d}P_t / P_t$ satisfaz

$$\frac{\mathrm{d}P_t}{P_t} = \mu\;\mathrm{d}t + \sigma\;\mathrm{d}W_t,$$

onde $\mu > 0$ é o drift (tendência?) e $\sigma,$ a volatilidade da ação. Desse modo,

$$\mathrm{d}P_t = \mu P_t \;\mathrm{d}t + \sigma P_t\;\mathrm{d}W_t,$$

com condição inicial sendo o preço atual da ação:

$$\left.P_t\right|_{t = 0} = p_0.$$

Essa equação é linear e a sua solução é

$$P_t = p_0 e^{\left(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2\right)t + \sigma W_t}.$$

Crescimento populacional estocástico

O modelo clássico de crescimento populacional natural tem a forma

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \mu x,$$

onde $\mu > 0$ é a taxa de crescimento específico da espécie, que também depende das condições do meio. Mais geralmente, considerando perturbações aleatórias nessas condições, podemos substituir $\mu$ por um processo estocástico $\mu_t.$ Mais especificamente, podemos considerar que $\mu_t$ flutua em torno de um valor base $\mu,$ com perturbações aleatórias dadas por um ruído branco com uma determinada amplitude $\sigma,$ i.e.

$$\mu_t = \mu + \sigma_0\xi_t,$$

Interpretando $\xi_t$ como a "derivada" de um processo de Wiener, podemos escrever

$$\mu_t \;\mathrm{d}t = \mu \;\mathrm{d}t + \sigma_0 \;\mathrm{d}W_t.$$

Assim, chegamos à equação diferencial estocástica

$$\mathrm{d}X_t = \mu X_t \;\mathrm{d}t + \sigma X_t \;\mathrm{d}W_t,$$

que tem a mesma forma da equação acima para o preço de uma ação.

Resolução

A solução segue da fórmula geral obtida na seção anterior, com $f_0 = 0,$ $f_1 = \mu,$ $g_0 = 0$ e $g_1 = \sigma.$ Podemos, também, chegar nessa solução através de um fator de integração, visto que a equação é linear. Escrevemos

$$\mathrm{d}X_t - \mu X_t \;\mathrm{d}t = \sigma X_t\;\mathrm{d}W_t.$$

Analogamente ao caso determinístico (pense em $x' - \mu x = g(t)$), podemos considerar o fator de integração $e^{-\mu t}.$ Observe que, derivando o produto $Y_t = X_t e^{-\mu t}$ pela fórmula de Itô, temos

$$\begin{align*} \mathrm{d}X_t & = \mathrm{d}(X_t e^{-\mu t}) \\ & = -\mu X_t e^{-\mu t}\;\mathrm{d}t + e^{-\mu t}\;\mathrm{d}X_t \\ & = -\mu X_t e^{-\mu t}\;\mathrm{d}t + e^{-\mu t}(\mu X_t \;\mathrm{d}t + \sigma X_t\;\mathrm{d}W_t) \\ & = \sigma e^{-\mu t} X_t \;\mathrm{d}W_t \\ & = \sigma Y_t \;\mathrm{d}W_t. \end{align*}$$

Vimos, anteriormente, que a solução da equação

$$\mathrm{d}Y_t = \sigma Y_t \;\mathrm{d}W_t$$

é

$$Y_t = Y_0 e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t + \sigma W_t},$$

sendo que $Y_0 = X_0$ nesse caso. Assim,

$$X_t = e^{\mu t}Y_t = X_0 e^{\mu t} e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t + \sigma W_t} = X_0 e^{\left(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2\right)t + \sigma W_t}.$$

Valor esperado

Vamos, agora, calcular o valor esperado de $P_t.$ Para isso, escrevemos a equação integral associada à equação diferencial estocástica:

$$X_t = X_0 + \mu \int_0^t X_s \;\mathrm{d}s + \sigma \int_0^t X_s\;\mathrm{d}W_s.$$

Tomando o valor esperado, obtemos

$$\mathbb{E}\left[X_t\right] = \mathbb{E}[X_0] + \int_0^t \mathbb{E}[X_s]\;\mathrm{d}s.$$

A solução dessa equação integral é a função exponencial:

$$\mathbb{E}\left[X_t\right] = \mathbb{E}[X_0]e^{\mu t},$$

que é, também, a solução da equação diferencial ordinária obtida eliminando-se o ruído da equação estocástica ($\sigma = 0$).

Variância

Observe que $X_t^2$ é, também, um movimento Browniano geométrico. De fato, segue dá fórmula de solução que

$$X_t^2 = X_0^2 e^{\left(2\mu - \sigma^2\right)t + 2\sigma W_t} = X_0^2 e^{\left(2\mu + \sigma^2 - 2\sigma^2\right)t + 2\sigma W_t} = X_0^2 e^{\left(2\mu + \sigma^2 - \frac{1}{2}(2\sigma)^2\right)t + 2\sigma W_t} = X_0^2 e^{\left(\tilde \mu - \frac{1}{2}{\tilde \sigma}^2\right)t + \tilde\sigma W_t},$$

o que nos dá um movimento Browniano com condição inicial $X_0^2$ e parâmetros

$$\tilde \mu = 2\mu + \sigma^2, \qquad \tilde\sigma = 2\sigma.$$

De outra maneira, usando a fórmula de Itô aplicada a $X_t \mapsto X_t^2,$

$$\mathrm{d}X_t^2 = 2X_t\;\mathrm{d}X_t + \sigma^2 X_t^2\;\mathrm{d}t = 2X_t (\mu X_t\;\mathrm{d}t + \sigma X_t\;\mathrm{d}W_t) + \sigma^2 X_t^2\;\mathrm{d}t,$$

de maneira que

$$\mathrm{d}X_t^2 = (2\mu + \sigma^2)X_t^2\;\mathrm{d}t + 2\sigma X_t^2\;\mathrm{d}W_t.$$

Isso nos dá que $Y_t = X_t^2$ é solução da equação do movimento Browniano geométrico

$$\mathrm{d}Y_t = \tilde \mu Y_t\;\mathrm{d}t + \tilde\sigma Y_t\;\mathrm{d}W_t.$$

Assim, do valor esperado de um movimento Browniano geométrico com condição inicial $X_0^2$ e parâmetros $\tilde\mu$ and $\tilde\sigma,$ obtemos

$$\mathbb{E}[X_t^2] = \mathbb{E}[X_0^2] e^{(2\mu + \sigma^2)t}, \quad t \geq 0.$$

Portanto, a variância é dada por

$$\operatorname{Var}(X_t) = \mathbb{E}[X_t^2] - \mathbb{E}[X_t]^2 = \mathbb{E}[X_0^2] e^{(2\mu + \sigma^2)t} - \mathbb{E}[X_0]^2 e^{2\mu t}$$

que também pode ser escrita de outras formas,

$$\operatorname{Var}(X_t) = \mathbb{E}[X_0^2]e^{2\mu t}(e^{\sigma^2 t} - 1) + \operatorname{Var}(X_0)e^{2\mu t} = \mathbb{E}[X_0]^2e^{2\mu t}(e^{\sigma^2 t} - 1) + \operatorname{Var}(X_0)e^{(2\mu + \sigma^2)t}.$$

Caso $X_0 = x_0$ seja fixo, temos $\operatorname{Var}(X_0) = 0$ e $\mathbb{E}[X_0^2] = \mathbb{E}[X_0]^2 = x_0^2,$ de modo que

$$\operatorname{Var}(X_t) = x_0^2 e^{2\mu t}(e^{\sigma^2 t} - 1).$$