8.7. Movimento Browniano geométrico e o preço de ações

Um modelo clássico para o preço \(P_t\) de uma ação é o de que a mudança relativa (ou específica) de preço \(\mathrm{d}P_t / P_t\) satisfaz

\[ \frac{\mathrm{d}P_t}{P_t} = \mu\;\mathrm{d}t + \sigma\;\mathrm{d}W_t, \]

onde \(\mu > 0\) é o drift (tendência?) e \(\sigma,\) a volatilidade da ação. Desse modo,

\[ \mathrm{d}P_t = \mu P_t \;\mathrm{d}t + \sigma P_t\;\mathrm{d}W_t, \]

com condição inicial sendo o preço atual da ação:

\[ \left.P_t\right|_{t = 0} = p_0. \]

Essa equação é linear e a sua solução é

\[ P_t = p_0 e^{\left(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2\right)t + \sigma W_t}. \]

Crescimento populacional estocástico

O modelo clássico de crescimento populacional natural tem a forma

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \mu x, \]

onde \(\mu > 0\) é a taxa de crescimento específico da espécie, que também depende das condições do meio. Mais geralmente, considerando perturbações aleatórias nessas condições, podemos substituir \(\mu\) por um processo estocástico \(\mu_t.\) Mais especificamente, podemos considerar que \(\mu_t\) flutua em torno de um valor base \(\mu,\) com perturbações aleatórias dadas por um ruído branco com uma determinada amplitude \(\sigma,\) i.e.

\[ \mu_t = \mu + \sigma_0\xi_t, \]

Interpretando \(\xi_t\) como a "derivada" de um processo de Wiener , podemos escrever

\[ \mu_t \;\mathrm{d}t = \mu \;\mathrm{d}t + \sigma_0 \;\mathrm{d}W_t. \]

Assim, chegamos à equação diferencial estocástica

\[ \mathrm{d}X_t = \mu X_t \;\mathrm{d}t + \sigma X_t \;\mathrm{d}W_t, \]

que tem a mesma forma da equação acima para o preço de uma ação.

Resolução

A solução segue da fórmula geral obtida na seção anterior, com \(f_0 = 0,\) \(f_1 = \mu,\) \(g_0 = 0\) e \(g_1 = \sigma.\) Podemos, também, chegar nessa solução através de um fator de integração, visto que a equação é linear. Escrevemos

\[ \mathrm{d}X_t - \mu X_t \;\mathrm{d}t = \sigma X_t\;\mathrm{d}W_t. \]

Analogamente ao caso determinístico (pense em \(x' - \mu x = g(t)\)), podemos considerar o fator de integração \(e^{-\mu t}.\) Observe que, derivando o produto \(Y_t = X_t e^{-\mu t}\) pela fórmula de Itô, temos

\[ \begin{align*} \mathrm{d}X_t & = \mathrm{d}(X_t e^{-\mu t}) \\ & = -\mu X_t e^{-\mu t}\;\mathrm{d}t + e^{-\mu t}\;\mathrm{d}X_t \\ & = -\mu X_t e^{-\mu t}\;\mathrm{d}t + e^{-\mu t}(\mu X_t \;\mathrm{d}t + \sigma X_t\;\mathrm{d}W_t) \\ & = \sigma e^{-\mu t} X_t \;\mathrm{d}W_t \\ & = \sigma Y_t \;\mathrm{d}W_t. \end{align*} \]

Vimos, anteriormente, que a solução da equação

\[ \mathrm{d}Y_t = \sigma Y_t \;\mathrm{d}W_t \]

é

\[ Y_t = Y_0 e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t + \sigma W_t}, \]

sendo que \(Y_0 = X_0\) nesse caso. Assim,

\[ X_t = e^{\mu t}Y_t = X_0 e^{\mu t} e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t + \sigma W_t} = X_0 e^{\left(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2\right)t + \sigma W_t}. \]

Valor esperado

Vamos, agora, calcular o valor esperado de \(P_t.\) Para isso, escrevemos a equação integral associada à equação diferencial estocástica:

\[ X_t = X_0 + \mu \int_0^t X_s \;\mathrm{d}s + \sigma \int_0^t X_s\;\mathrm{d}W_s. \]

Tomando o valor esperado, obtemos

\[ \mathbb{E}\left[X_t\right] = \mathbb{E}[X_0] + \int_0^t \mathbb{E}[X_s]\;\mathrm{d}s. \]

A solução dessa equação integral é a função exponencial:

\[ \mathbb{E}\left[X_t\right] = \mathbb{E}[X_0]e^{\mu t}, \]

que é, também, a solução da equação diferencial ordinária obtida eliminando-se o ruído da equação estocástica (\(\sigma = 0\)).

Variância

Observe que \(X_t^2\) é, também, um movimento Browniano geométrico. De fato, segue dá fórmula de solução que

\[ X_t^2 = X_0^2 e^{\left(2\mu - \sigma^2\right)t + 2\sigma W_t} = X_0^2 e^{\left(2\mu + \sigma^2 - 2\sigma^2\right)t + 2\sigma W_t} = X_0^2 e^{\left(2\mu + \sigma^2 - \frac{1}{2}(2\sigma)^2\right)t + 2\sigma W_t} = X_0^2 e^{\left(\tilde \mu - \frac{1}{2}{\tilde \sigma}^2\right)t + \tilde\sigma W_t}, \]

o que nos dá um movimento Browniano com condição inicial \(X_0^2\) e parâmetros

\[ \tilde \mu = 2\mu + \sigma^2, \qquad \tilde\sigma = 2\sigma. \]

De outra maneira, usando a fórmula de Itô aplicada a \(X_t \mapsto X_t^2,\)

\[ \mathrm{d}X_t^2 = 2X_t\;\mathrm{d}X_t + \sigma^2 X_t^2\;\mathrm{d}t = 2X_t (\mu X_t\;\mathrm{d}t + \sigma X_t\;\mathrm{d}W_t) + \sigma^2 X_t^2\;\mathrm{d}t, \]

de maneira que

\[ \mathrm{d}X_t^2 = (2\mu + \sigma^2)X_t^2\;\mathrm{d}t + 2\sigma X_t^2\;\mathrm{d}W_t. \]

Isso nos dá que \(Y_t = X_t^2\) é solução da equação do movimento Browniano geométrico

\[ \mathrm{d}Y_t = \tilde \mu Y_t\;\mathrm{d}t + \tilde\sigma Y_t\;\mathrm{d}W_t. \]

Assim, do valor esperado de um movimento Browniano geométrico com condição inicial \(X_0^2\) e parâmetros \(\tilde\mu\) and \(\tilde\sigma,\) obtemos

\[ \mathbb{E}[X_t^2] = \mathbb{E}[X_0^2] e^{(2\mu + \sigma^2)t}, \quad t \geq 0. \]

Portanto, a variância é dada por

\[ \operatorname{Var}(X_t) = \mathbb{E}[X_t^2] - \mathbb{E}[X_t]^2 = \mathbb{E}[X_0^2] e^{(2\mu + \sigma^2)t} - \mathbb{E}[X_0]^2 e^{2\mu t} \]

que também pode ser escrita de outras formas,

\[ \operatorname{Var}(X_t) = \mathbb{E}[X_0^2]e^{2\mu t}(e^{\sigma^2 t} - 1) + \operatorname{Var}(X_0)e^{2\mu t} = \mathbb{E}[X_0]^2e^{2\mu t}(e^{\sigma^2 t} - 1) + \operatorname{Var}(X_0)e^{(2\mu + \sigma^2)t}. \]

Caso \(X_0 = x_0\) seja fixo, temos \(\operatorname{Var}(X_0) = 0\) e \(\mathbb{E}[X_0^2] = \mathbb{E}[X_0]^2 = x_0^2,\) de modo que

\[ \operatorname{Var}(X_t) = x_0^2 e^{2\mu t}(e^{\sigma^2 t} - 1). \]