6.5. Integral de Itô via processos uniformemente contínuos em média quadrática

Bom, já vimos como integrar processos em relação à variável independente (Seção 6.1. Integrais de Riemann), em relação a processos de variação limitada (Seção 6.2. Integrais de Riemann-Stieltjes) e como integrar certas classes de funções em relação a processos que não são de variação limitada (Seção 6.3. Integrais via dualidade). Também vimos como as somas parciais de Riemann-Stieltjes não convergem quando tentamos integrar um processo de Wiener em relação a si mesmo (Seção 6.4. Limites de somatórios à la Riemann-Stieltjes). Vamos agora ver como podemos especificar as somas parciais de forma a obter uma noção de integral que esteja bem definida nesse último caso.

No que se segue, vamos buscar definir uma integral cujo integrando é um processo estocástico $\{H_t\}_{t\geq 0}$ e a integral é em relação a um processo de Wiener $\{W_t\}_{t\geq 0}$:

$$\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t.$$

Observe que se $\{X_t\}_t$ é um processo estocástico e $g = g(t, x)$ é uma função contínua, então $\{g(t, X_t)\}_t$ define um processo estocástico, de modo que podemos considerar a integral

$$\int_0^T g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t$$

simplesmente definindo $H_t = g(t, X_t).$ Ou seja, basta considerarmos integrais de um processo $\{H_t\}_t.$

Definição da integral de Itô

A ideia inicial é definir a integral de Itô como limite de somas de Riemann-Stieltjes calculadas com o ponto mais à esquerda de cada intervalo da malha, i.e. através de

$$\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t = \lim_{\|M\| \rightarrow 0} \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}),$$

onde $M$ são malhas temporais particionando o intervalo $[0, T],$

$$M = \{0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T; \;n\in\mathbb{N}\},$$

e

$$\|M\| = \max_{j=1, \ldots, n} |t_j - t_{j-1}|.$$

Vamos ver condições em $\{H_t\}_{t\geq 0}$ para que esse limite exista em média quadrática e como modificar essa definição no caso geral em que esse limite não esteja propriamente definido.

Integrandos permitidos

Uma condição essencial pode ser posta do seguinte modo informal:

A cada instante $t \geq 0,$ o integrando $H_t$ deve ser independente da evolução futura $s \geq t$ do processo de Wiener.

Independente da evolução futura significa que, para cada $t\geq 0,$ $H_t$ é independente de $W_{t + \tau} - W_t,$ para todo $\tau > 0.$ Chamamos essa condição de não antecipativa ("non-antecipating") ou adaptada ao processo $\{W_t\}_t.$ Uma definição mais formal envolve o conceito de filtração:

Lembramos que uma filtração é uma família $\{\mathcal{F}_t\}_{t\geq 0}$ de sub $\sigma$-álgebras com a propriedade de que $\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t,$ para $0 \leq s \leq t.$ A filtração natural é a menor filtração possível que torna cada $W_t$ mensurável em relação a $\mathcal{F}_s,$ para todo $s \geq t.$ Uma filtração é dita não antecipativa ou adaptada em relação a um processo $\{W_t\}_{t\geq 0}$ quando $W_t$ é mensurável em relação a $\mathcal{F}_s,$ para todo $s \geq t.$ Dizemos, então, que $\{H_t\}_{t\geq 0}$ é não antecipativa ou adaptada ao processo $\{W_t\}_{t\geq 0}$ quando, para cada $t\geq 0,$ $H_t$ é mensurável em relação à filtração natural de $\{W_t\}_{t\geq 0}.$

Em relação à mensurabilidade, pedimos, também, que $\{H_t\}_{t\geq 0}$ seja progressivamente mensurável em relação a uma filtração $\mathcal{F}_t,$ ou seja, que para cada $T > 0,$ a função $(t, \omega) \mapsto H_t(\omega)$ definida em $[0, T] \times \Omega$ seja mensurável em relação à $\sigma$-álgebra produto $\mathcal{B}(0, T) \times \mathcal{F}_{T},$ onde $\mathcal{B}(0, T)$ é a $\sigma$-álgebra de Borel do intervalo $[0, T].$

Em relação à integrabilidade, pedimos, ainda, que $\{H_t\}_{t\geq 0}$ seja de quadrado integrável, i.e.

$$\int_0^T \mathbb{E}\left[H_t^2\right] \;\mathrm{d}t < \infty.$$

Observe que, pelo Teorema de Fubini, essa condição garante que

$$\int_{[0, T]\times \Omega} H_t(\omega)^2 \;\mathrm{d}(\lambda \times \mathbb{P})(t, \omega) = \mathbb{E}\left[\int_0^T H_t(\omega)^2 \;\mathrm{d}t\right] = \int_0^T \mathbb{E}\left[H_t^2\right] \;\mathrm{d}t < \infty,$$

onde $\lambda \times \mathbb{P}$ denota a medida produto entre a medida de Lebesgue $\lambda$ e a medida de probabilidade $\mathbb{P}$ em $\Omega.$

Vale ressaltar que se $\{H_t\}_{t\geq 0}$ é adaptada a $\{W_t\}_{t\geq 0}$ e com caminhos amostrais quase certamente contínuous, então ele é progressivamente mensurável.

As condições acima de $\{H_t\}_{t\geq 0}$ ser não-antecipativo e de quadrado integrável são suficientes para a definição da integral estocástica, mas a construção é um pouco elaborada e a definição via limites das somas finitas de Riemann-Stieljes requer hipóteses adicionais. Assim, em um primeiro momento, vamos assumir uma hipótese um pouco mais restritiva.

Convergência para integrandos localmente uniformemente contínuous em média quadrática

Inicialmente vamos assumir uma condição de continuidade no sentido de média quadrática, para ilustrar os pontos principais que garantem a convergência, em média quadrática, das somas de Riemann-Stieltjes, com uma demonstração análoga à comumente feita para as integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes. Como dito acima, consideramos esse caso particular a título de uma demonstração mais simples e direta da convergência das somas de Riemann-Stieljes para se definir a integral de Itô. Em seguida, faremos uma outra construção, mais elaborada, para processos que não sejam necessariamente uniformemente contínuos no sentido acima.

Processos localmente uniformemente contínuos em média quadrática

Mais precisamente, vamos supor que, além de $\{H_t\}_{t\geq 0}$ ser de quadrado integrável e progressivamente mensurável em relação ao processo de Wiener, também seja localmente uniformemente contínua no sentido de média quadrática, i.e. dados quaisquer $T > 0$ e $\eta > 0,$ existe $\delta > 0$ tal que

$$\mathbb{E}\left[ |H_{t +\tau} - H_t|^2 \right] < \eta, \qquad \forall 0 < \tau < \delta, \; 0 \leq t \leq t + \tau \leq T.$$

O termo "uniforme" se refere à estimativa ser uniforme em $t\in [0, T],$ enquanto que "local" se refere a $T$ ser finito.

Observe que o processo de Wiener tem a propriedade de que $W_{t+\tau} - W_t \sim \mathcal{N}(0, \tau),$ de forma que

$$\mathbb{E}\left[ |W_{t+\tau} - W_t|^2 \right] = \tau,$$

que implica trivialmente na condição acima. Qualquer potência do processo de Wiener também pode ser adequadamente estimada de acordo com a condição acima.

Observe, ainda, que a condição acima não exige que os caminhos sejam, quase certamente, contínuos. De fato, basta considerar $\Omega = [0, 1]$ com probabilidade uniforme e definir $H_t(\omega) = \chi_{[\omega, 1]}(t),$ que é descontínuo em $t = \omega.$ Com isso, os caminhos são, todos, descontínuos em algum ponto. No entanto, $\mathbb{E}[|H_{t+\tau} - H_t|^2] = \mathbb{P}(|H_{t+\tau} - H_t| > \eta) = \tau,$ para todo $0< \eta < 1,$ mostrando que a condição de continuidade uniforme em média quadrática é valida.

Um exemplo clássico de caminhos descontínuos em um conjunto enumerável de pontos é o de um processo de Poisson composto, $H_t = \sum_{i=1}^{N_t} D_i,$ onde $\{N_t\}_{t\geq 0}$ é um processo de contagem de Poisson em taxa $\lambda > 0$ e $\{D_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ é um processo independente e identicamente distribuído com distribuições $D$ com $\mathbb{E}[D^2] < \infty.$ Nesse caso, é possível mostrar que

$$\mathbb{E}[|H_{t + \tau} - H_t|^2] = \mathbb{E}[H_{t + \tau} - H_t]^2 + \operatorname{Var}(H_{t+\tau} - H_t) = \lambda^2 t^2\mathbb{E}[D]^2 + \lambda t \mathbb{E}[D^2],$$

de modo que a condição de continuidade uniforme em média quadrática também é válida.

Observe que esses exemplos mostram a importância da hipótese do Teorema da Continuidade de Kolmogorov ter uma potência $\tau^{1 + \varepsilon}$ no lado direito da condição, com $\varepsilon$ estritamente positivo. Nos exemplos acima, temos a estimativa com $\varepsilon = 0$ e os caminhos não são nem contínuos.

Como dito acima, usamos essa condição a título de uma demonstração mais simples e direta da convergência das somas de Riemann-Stieljes para se definir a integral de Itô.

Somas finitas de Riemann-Stieltjes

Consideremos, então, as somas finitas de Riemann-Stieltjes

$$S_M = \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}),$$

onde $M = \{t_j\}_{j=1}^n$ é uma malha formada por $0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T,$ com $n\in \mathbb{N}$ arbitrário, como definido acima. Vamos mostrar que $\{S_M\}_{M}$ é (uma rede) de Cauchy, em $L^2(\Omega).$

$$\lim_{\|M_1\|, \|M_2\| \rightarrow 0} \mathbb{P}(|S_{M_1} - S_{M_2}| \geq \varepsilon) = 0,$$

lembrando que, para uma malha $M,$

$$\|M\| = \max_{j=1, \ldots, n} |t_j - t_{j-1}|.$$

Uma vez feito isso, obtemos que existe uma variável aleatória limite $S,$ tal que $S_M \rightarrow S$ em em média quadrática, i.e.

$$\lim_{\|M\|\rightarrow 0} \mathbb{E}(|S_M - S|^2) = 0.$$

Com isso, $S_M$ converge, em média quadrática, para um limite $S,$ que definimos como sendo a integral de $\{H_t\}_{t\geq 0}$ em relação a $\{W_t\}_{t\geq 0},$ no intervalo $[0, T]:$

$$\int_0^T H_t\;\mathrm{d}t = S = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} S_M = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}).$$

Média quadrática entre duas malhas

Dadas duas malhas $M_1$ e $M_2,$ podemos fazer uma triangulação com o refinamento das duas malhas, $M = M_1 \cup M_2.$ Naturalmente,

$$\|M\| \leq \min\{M_1, M_2\}.$$

Vamos comparar $M_1$ e $M_2$ com $M.$ Denotando os pontos da malha mais grossa $M_1$ por $t_i',$ $i = 1, \ldots, n_1,$ e os pontos da malha mais fina $M$ por $t_j,$ $j=1, \ldots, n,$ com $M\subset M_1$ e $n \geq n_1,$ podemos escrever

$$S_M = \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})$$

e

$$S_{M_1} = \sum_{i=1}^{n_1} H_{t_{i-1}'}(W_{t_i'} - W_{t_{i-1}'}),$$

onde, para cada $j=0, \ldots, n,$ existe um único $i_j$ tal que

$$t_{i_j}' \leq t_j < t_{i_j+1}.$$

Assim, somando e subtraindo os passos intermediários se necessário, podemos escrever

$$S_{M_1} = \sum_{j=1}^{n} H_{t_{i_{j-1}}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}).$$

Com isso,

$$S_{M_1} - S_M = \sum_{j=1}^{n} (H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}).$$

Elevando ao quadrado,

$$\begin{align*} (S_{M_1} - S_M)^2 & = \left(\sum_{j=1}^{n} (H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right)^2 \\ & = \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} (H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})(W_{t_k} - W_{t_{k-1}}). \end{align*}$$

Logo,

$$\mathbb{E}[|S_{M_1} - S_M|^2] = \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})(W_{t_k} - W_{t_{k-1}})\right]$$

Para $j < k,$ temos $W_{t_k} - W_{t_{k-1}},$ que tem esperança nula, independente dos outros termos, de modo que

$$\begin{align*} & \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})(W_{t_k} - W_{t_{k-1}})\right] \\ & \qquad = \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})\right]\mathbb{E}\left[(W_{t_k} - W_{t_{k-1}})\right] \\ & \qquad = 0. \end{align*}$$

Por outro lado, para $k > j,$ temos $W_{t_j} - W_{t_{j-1}},$ que também tem esperança nula, independente dos outros termos. Logo,

$$\begin{align*} & \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})(W_{t_k} - W_{t_{k-1}})\right] \\ & \qquad = \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_k} - W_{t_{k-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})\right]\mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right] \\ & \qquad = 0. \end{align*}$$

Sobram, então, apenas os termos com $k=j,$ i.e.

$$\mathbb{E}[|S_{M_1} - S_M|^2] = \sum_{j=1}^{n} \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})^2(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right].$$

Como $\{H_t\}_{t\geq 0}$ é não antecipativo, cada termo $H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}}$ é independente de $W_{t_j} - W_{t_{j-1}},$ de modo que

$$\mathbb{E}[|S_{M_1} - S_M|^2] = \sum_{j=1}^{n} \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})^2\right]\mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right].$$

Dado $\eta > 0,$ existe $\delta > 0$ tal que, para $\|M_1\|, \|M_2\| < \delta,$ cada $t_{j-1} - t_{i_{j-1}}$ está limitado pela malha mais grossa $M_1,$ de modo que $0 \leq t_{j-1} - t_{i_{j-1}} < \delta$ e, com isso,

$$\mathbb{E}\left[|H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}}|^2\right] < \eta.$$

Usando, ainda, que $\mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] = t_j - t_{j-1},$ obtemos

$$\mathbb{E}[|S_{M_1} - S_M|^2] \leq \sum_{j=1}^{n} \eta (t_j - t_{j-1}) = \eta T.$$

Idem para $M_2.$ Logo,

$$\mathbb{E}[|S_{M_1} - S_{M_2}|^2] \leq 2\eta T.$$

Como podemos tomar $\eta > 0$ arbitrariamente pequeno, bastando refinar cada vez mais a malha, obtemos que

$$\lim_{\|M_1\|, \|M_2\| \rightarrow 0} \mathbb{E}(|S_{M_1} - S_{M_2}|^2) = 0.$$

Logo, existe uma variável aleatória $R=R(\omega)$ de quadrado integrável tal que

$$\lim_{\|M\|\rightarrow 0} \mathbb{E}(|S_M - R|^2) = 0,$$

ou seja, existe o limite

$$R = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} S_M$$

e podemos definir a integral de $\{H_t\}_{t\geq 0}$ em relação a $\{W_t\}_{t\geq 0},$ no intervalo $[0, T],$ por

$$\int_0^T H_t\;\mathrm{d}W_t = R = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} S_M = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}).$$

Essa definição nos dá a integral de Itô, em relação a um processo de Wiener $\{W_t\}_{t\geq 0},$ de um processo estocástico $\{H_t\}_{t\geq 0}$ com as propriedades de ser progressivamente mensurável em relação à filtração natural do processo de Wiener, ter quadrado integrável em $[0, T]\times \Omega$ e ser localmente uniformemente contínuo em média quadrática.

Valor esperado da integral estocástica

Temos

$$\mathbb{E}\left[ S_M \right] = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right].$$

Como $\{H_t\}_{t\geq 0}$ é não antecipativo, temos que cada $H_{t_{j-1}}$ é independente de $W_{t_j} - W_{t_{j-1}}.$ Logo,

$$\mathbb{E}\left[ S_M \right] = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}\right]\mathbb{E}\left[W_{t_j} - W_{t_{j-1}}\right] = 0,$$

visto que cada passo $W_{t_j} - W_{t_{j-1}}$ tem valor esperado nulo. Portanto,

$$\mathbb{E}[S_M] = 0,$$

para qualquer malha $M.$ No limite, como $S_M \rightarrow S$ em média quadrática, segue que

$$\mathbb{E}\left[\int_0^T H_t\;\mathrm{d}t\right] = \mathbb{E}[S] = \lim_{\|M\|\rightarrow 0}\mathbb{E}[S_M] = 0.$$

Isometria de Itô

Sabendo que $S_M$ converge para $R$ em média quadrádica, segue que

$$\mathbb{E}[S_M^2] \rightarrow \mathbb{E}[S^2],$$

quando a malha é refinada ao limite $\|M\| \rightarrow 0.$ Vamos calcular o limite de $\mathbb{E}[S_M^2]$ e ver que isso nos dá uma importante identidade conhecida como isometria de Itô.

Primeiramente, temos

$$\begin{align*} \mathbb{E}[S_M^2] & = \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right)^2\right] \\ & = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n H_{t_{i-1}}(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right] \\ & = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{i-1}}(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right]. \end{align*}$$

De maneira análoga à feita acima para o cálculo de $\mathbb{E}[|S_{M_1} - S_{M_2}|^2],$ os termos com $i\neq j$ se anulam, restando

$$\begin{align*} \mathbb{E}[S_M^2] & = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] \\ & = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\right]\mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] \\ & = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\right](t_j t_{j-1}) \end{align*}$$

Note, agora, que o último termo é uma soma de Riemann da função $\mathbb{E}[H_t^2].$ Com a hipótese de continuidade uniforme em média quadrática, segue que

$$t \mapsto \mathbb{E}[H_t^2]$$

é uma função contínua, de modo que o soma de Riemann converge para a integral de Riemann

$$\mathbb{E}[S^2] = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \mathbb{E}[S_M] = \int_0^T \mathbb{E}[H_t^2]\;\mathrm{d}t.$$

De outra forma, escrevemos

$$\mathbb{E}\left[\left(\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t \right)^2\right] = \int_0^T \mathbb{E}[H_t^2]\;\mathrm{d}t.$$

Essa identidade é chamada isometria de Itô.

Por exemplo,

$$\mathbb{E}\left[\left(\int_0^T W_t \;\mathrm{d}W_t \right)^2\right] = \int_0^T \mathbb{E}[W_t^2]\;\mathrm{d}t = \int_0^T t\;\mathrm{d}t = \frac{T^2}{2}.$$

Por outro lado, já vimos que

$$\int_0^T W_t \;\mathrm{d}W_t = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n W_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) = \frac{W_T^2}{2} - \frac{T}{2},$$

o que nos leva a uma outra forma de calcular essa esperança, a saber

$$\begin{align*} \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T W_t \;\mathrm{d}W_t\right)^2\right] & = \mathbb{E}\left[\frac{W_T^4}{4} - 2\frac{W_T^2}{2}\frac{T}{2} + \frac{T^2}{4}\right] \\ & = \frac{\mathbb{E}[W_T^4]}{4} - 2\frac{\mathbb{E}[W_T^2]}{2}\frac{T}{2} + \frac{T^2}{4} \\ & = \frac{3\mathbb{E}[W_T^2]^2}{4} - 2\frac{T}{2}\frac{T}{2} + \frac{T^2}{4} \\ & = \frac{3T^2}{4} - 2\frac{T}{2}\frac{T}{2} + \frac{T^2}{4} \\ & = \frac{3T^2}{4} - 2\frac{T^2}{4} + \frac{T^2}{4} \\ & = \frac{T^2}{2}, \end{align*}$$

onde usamos que $W_T$ é uma normal e, portanto, $\mathbb{E}[W_T^4] = 3\mathbb{E}[W_T^2]^2.$

Extensão para processos não-antecipativos de quadrado integrável

Para definir a integral de Itô de maneira mais geral, o caminho clássico é definir a integral para processos não-antecipativos do tipo escada e estender essa definição aproximando um processo não-antecipativo de quadrado integrável por processos não-antecipativos do tipo escada. Como já definimos a integral de Itô para processos não-antecipativos que são localmente uniformemente contínuos em média quadrática, podemos usar esse tipo de processos para fazer essa extensão. Ou seja, basta aproximarmos um processo não-antecipativo de quadrado integrável por processos não-antecipativos que sejam localmente uniformemente contínuos em média quadrática.

Aproximação por processos contínuos

Dada uma função de quadrado integrável $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},$ uma maneira clássica de aproximá-la por funções contínuas é através da convolução $t \mapsto \int_\mathbb{R} f(s) \varphi_\varepsilon(t-s) \;\mathrm{d}t$ com aproximações da identidade $\varphi_\varepsilon.$ Essa convolução, no entanto, envolve, tipicamente, olhar para o "passado" e para o "futuro" da função. O mesmo acontece com processos estocásticos. No entanto, para a integral de Itô, queremos preservar a propriedade de não antecipação do processo. Para isso, usamos aproximações da identidade que considerem apenas o passado da função, por exemplo,

$$\varphi_\varepsilon(t) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} e^{-t/\varepsilon}, & t \geq 0, \\ 0, & t < 0. \end{cases}$$

Mais especificamente, dado um processo $\{H_t\}_{t \geq 0}$ de quadrado integrável e progressivamente mensurável em relação a $\{W_t\}_{t \geq 0},$ estendemos $H_t = 0,$ para $t \leq 0$ e definimos

$$H_t^m = \varphi_{1/m} \star H_t = \int_0^t m e^{-m(t - s)} H_s \;\mathrm{d}s.$$

Como $H_t^m$ só envolve $H_s,$ para $0\leq s \leq t,$ então $H_t^m$ continua sendo não antecipativo. Além disso, para $t \geq 0$ e $\tau > 0,$

$$\begin{align*} H_{t+\tau}^m - H_t^m & = \int_0^{t+\tau} m e^{-m(t + \tau - s)} H_s \;\mathrm{d}s - \int_0^t m e^{-m(t - s)} H_s \;\mathrm{d}s \\ & = \int_t^{t+\tau} m e^{-m(t + \tau - s)} H_s \;\mathrm{d}s + \int_0^t m \left(e^{-m(t + \tau - s)} - e^{-m(t - s)}\right) H_s \;\mathrm{d}s \end{align*}$$

Usando que $e^{-m(t + \tau - s)} \leq 1$ e

$$\left|e^{-m(t + \tau - s)} - e^{-m(t - s)}\right| = \int_{t - s}^{t + \tau - s} m e^{-m\eta}\;\mathrm{d}\eta \leq m \tau,$$

obtemos

$$\begin{align*} \left|H_{t+\tau}^m - H_t^m \right| & \leq \int_t^{t+\tau} m |H_s| \;\mathrm{d}s - \int_0^t m^2 \tau |H_s| \;\mathrm{d}s \\ & = (m + m^2\tau)\int_0^{t+\tau} |H_s|\;\mathrm{d}s \\ & \leq (m + m^2\tau)\sqrt{\tau}\left(\int_0^{t+\tau} |H_s|^2\;\mathrm{d}s\right)^{1/2}. \end{align*}$$

Como $\{H_t\}_{t\geq 0}$ é de quadrado integrável em intervalos finitos, segue que, para quase todo caminho amostral,

$$\int_0^t H_s(\omega)^2 \;\mathrm{d}s < \infty,$$

de modo que

$$H_{t + \tau}^m(\omega) \rightarrow H_t^m(\omega), \quad \tau \rightarrow 0,$$

mostrando a continuidade quase certamente das aproximações $\{H_t^m\}_{t \geq 0}.$

Para a continuidade uniforme em média quadrática, podemos estimar diretamente

$$\mathbb{E}[(H_{t+\tau}^m - H_t^m)^2] \leq (m + m^2\tau)^2\tau\left(\int_0^{t+\tau} |H_s|^2\;\mathrm{d}s\right) \rightarrow 0,$$

quando $\tau \rightarrow 0,$ uniformemente em $0 \leq t \leq T,$ para $T>0$ qualquer.

Convergência das aproximações contínuas

Um outro passo fundamental é mostrar que, de fato, $\{H_t^m\}_{t\geq 0}$ converge para $\{H_t\}_{t\geq 0},$ em média quadrática. Isso é feito da seguinte forma. Primeiro, escrevemos

$$\begin{align*} H_t - H_t^m & = H_t - \int_0^\infty m e^{-m s} H_{t - s}\;\mathrm{d}s \\ & = H_t \int_0^\infty m e^{-m s} \;\mathrm{d}s - \int_0^\infty m e^{-m s} H_{t - s}\;\mathrm{d}s \\ & = \int_0^\infty m e^{-m s} (H_t - H_{t - s})\;\mathrm{d}s. \end{align*}$$

Com isso, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, quebrando o termo da exponencial em $e^{-m s} = e^{-m s/2}e^{-m s/2},$

$$\begin{align*} |H_t - H_t^m|^2 & = \left(\int_0^\infty m e^{-m s} (H_t - H_{t - s})\;\mathrm{d}s\right)^2 \\ & \leq \left(\int_0^\infty m e^{-m s} (H_t - H_{t - s})^2\;\mathrm{d}s\right)\left(\int_0^\infty m e^{-m s} \;\mathrm{d}s\right) \\ & = \int_0^\infty m e^{-m s} (H_t - H_{t - s})^2\;\mathrm{d}s. \end{align*}$$

Fazendo uma mudança de variáveis, obtemos

$$|H_t - H_t^m|^2 \leq \int_0^\infty e^{-s} (H_t - H_{t - s/m})^2\;\mathrm{d}s.$$

Assim,

$$\begin{align*} \int_0^T \mathbb{E}\left[\left|H_t - H_t^m\right|^2\right] \;\mathrm{d}t \leq \int_0^T \int_0^\infty e^{-s} \mathbb{E}\left[(H_t - H_{t - s/m})^2\right]\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t \end{align*}$$

Trocando a ordem de integração e usando a continuidade em média quadrática de processos com média quadrática finita, obtemos a convergência desejada.

Extensão da definição de integral de Itô

Vimos acima como definir a integral de Itô, em relação a um processo de Wiener, de um processo não-antecipativo localmente uniformemente contínuo em média quadrática. Também vimos como aproximar um processo não-antecipativo com média quadrática finita por processos não-antecipativos que sejam localmente uniformemente contínuos em média quadrática. Usando, agora, a linearidade da integral de Itô e a isometria de Itô para estes tipos de processos, podemos estender essa definição para processos não-antecipativos com média quadrática finita.

Mais precisamente, seja $\{H_t\}_{t\geq 0}$ um processo não-antecipativo com média quadrática finita. Como visto acima, podemos aproximar um tal processo por processos $\{H_t^m\}_{t\geq 0}$ que sejam não-antecipativos e localmente uniformemente contínuos em média quadrática,

$$\int_0^T \mathbb{E}[|H_t - H_t^m|^2] \;\mathrm{d}t \rightarrow 0, \quad m \rightarrow \infty.$$

Também vimos como definir a integral de Itô de tais processos,

$$\int_0^T H_t^m\;\mathrm{d}W_t.$$

Agora, usando a isometria de Itô válida para tais processos, temos

$$\mathbb{E}\left[ \left|\int_0^T H_t^{m_1}\;\mathrm{d}W_t - \int_0^T H_t^{m_2}\;\mathrm{d}W_t \right|^2\right] = \int_0^T \mathbb{E}\left[ |H_t^{m_1} - H_t^{m_2}|^2\right] \;\mathrm{d}t \rightarrow 0, \quad m_1, m_2 \rightarrow \infty.$$

Logo, o limite das integrais de Itô dos processos aproximadas existe. Definimos a integral de Itô de $\{H_t\}_{t\geq 0}$ por esse limite,

$$\int_0^T H_t\;\mathrm{d}W_t = \lim_{m\rightarrow \infty} \int_0^T H_t^m;\mathrm{d}W_t.$$

Na construção acima, usamos a molificação com $\varphi_{1/m}$ para definir $\{H_t^m\}_{t\geq 0}$ mas isso pode ser feito com qualquer outra aproximação. Ou seja, usando, do mesmo jeito, a isometria de Itô, o limite independende da escolha das aproximações de $\{H_t\}_{t \geq 0}.$ Mais precisamente, se $\{G_t^m\}_{t \geq 0}$ é uma outra aproximação de $\{H_t\}_{t \geq 0}$, no sentido de média quadrática, por processos não-antecipativos e localmente uniformemente contínuos em média quadrática, então necessariamente

$$\int_0^T \mathbb{E}[|G_t^m - H_t^m|^2]\;\mathrm{d}t \rightarrow 0, \quad m\rightarrow \infty$$

e

$$\mathbb{E}\left[ \left|\int_0^T G_t^m\;\mathrm{d}W_t - \int_0^T H_t^m\;\mathrm{d}W_t \right|^2\right] = \int_0^T \mathbb{E}\left[ |G_t^m - H_t^m|^2\right] \;\mathrm{d}t \rightarrow 0, \quad m \rightarrow \infty,$$

provando a independência do limite tem termos da sequência aproximante.

Exercícios

1. Suponha $f=f(x)$ localmente Hölder/Lipschitz contínua em $\mathbb{R},$ satisfendo uma estimativa da forma

$$|f(y) - f(x)| \leq \left(c_0 + c_1\max\{|x|^p, |y|^p\}\right)|y - x|^\theta,$$

para todo $x, y\in\mathbb{R},$ onde $c_0, c_1 \geq 0,$ $p\geq 1,$ e $0 < \theta \leq 1$ (na verdade basta que $p$ e $\theta$ sejam positivos). Considere o processo estocástico $\{H_t\}_{t\geq 0}$ definido por

$$H_t = f(W_t),$$

onde $\{W_t\}_{t\geq 0}$ é um processo de Wiener. Usando a desigualdade maximal

$$\mathbb{E}[\max_{0\leq t \leq T} |W_t|^2] \leq 4\mathbb{E}[W_T^2],$$

mostre que $\{H_t\}_{t \geq 0}$ é uniformemente contínuo em média quadrática.