6.5. Integral de Itô de processos não-antecipativos de quadrado integrável

Bom, já vimos como integrar processos em relação à variável independente (Seção 6.1. Integrais de Riemann), em relação a processos de variação limitada (Seção 6.2. Integrais de Riemann-Stieltjes) e como integrar certas classes de funções em relação a processos que não são de variação limitada (Seção 6.3. Integrais via dualidade). Também vimos como as somas parciais de Riemann-Stieltjes não convergem quando tentamos integrar um processo de Wiener em relação a si mesmo (Seção 6.4. Limites de somatórios à la Riemann-Stieltjes). Vamos agora ver como podemos especificar as somas parciais de forma a obter uma noção de integral que esteja bem definida nesse último caso.

No que se segue, vamos buscar definir uma integral cujo integrando é um processo estocástico \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) e a integral é em relação a um processo de Wiener \(\{W_t\}_{t\geq 0}\):

\[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t. \]

Observe que se \(\{X_t\}_t\) é um processo estocástico e \(g = g(t, x)\) é uma função contínua, então \(\{g(t, X_t)\}_t\) define um processo estocástico, de modo que podemos considerar a integral

\[ \int_0^T g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t \]

simplesmente definindo \(H_t = g(t, X_t).\) Ou seja, basta considerarmos integrais de um processo \(\{H_t\}_t.\)

Integrandos permitidos

Uma condição essencial pode ser posta do seguinte modo informal:

A cada instante \(t \geq 0,\) o integrando \(H_t\) deve ser independente da evolução futura \(s \geq t\) do processo de Wiener.

Independente da evolução futura significa que, para cada \(t\geq 0,\) \(H_t\) é independente de \(W_{t + \tau} - W_t,\) para todo \(\tau > 0.\) Chamamos essa condição de não antecipativa ("non-antecipating") ou adaptada ao processo \(\{W_t\}_t.\) Uma definição mais formal envolve o conceito de filtração:

Lembramos que uma filtração é uma família \(\{\mathcal{F}_t\}_{t\geq 0}\) de sub \(\sigma\)-álgebras com a propriedade de que \(\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t,\) para \(0 \leq s \leq t.\) A filtração natural é a menor filtração possível que torna cada \(W_t\) mensurável em relação a \(\mathcal{F}_s,\) para todo \(s \geq t.\) Uma filtração é dita não antecipativa ou adaptada em relação a um processo \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) quando \(W_t\) é mensurável em relação a \(\mathcal{F}_s,\) para todo \(s \geq t.\) Dizemos, então, que \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) é não antecipativa ou adaptada ao processo \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) quando, para cada \(t\geq 0,\) \(H_t\) é mensurável em relação à filtração natural de \(\{W_t\}_{t\geq 0}.\)

Em relação à mensurabilidade, pedimos, também, que \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) seja progressivamente mensurável em relação a uma filtração \(\mathcal{F}_t,\) ou seja, que para cada \(T > 0,\) a função \((t, \omega) \mapsto H_t(\omega)\) definida em \([0, T] \times \Omega\) seja mensurável em relação à \(\sigma\)-álgebra produto \(\mathcal{B}(0, T) \times \mathcal{F}_{T},\) onde \(\mathcal{B}(0, T)\) é a \(\sigma\)-álgebra de Borel do intervalo \([0, T].\)

Em relação à integrabilidade, pedimos, ainda, que \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) seja de quadrado integrável, i.e.

\[ \int_0^T \mathbb{E}\left[H_t^2\right] \;\mathrm{d}t < \infty. \]

Observe que, pelo Teorema de Fubini, essa condição garante que

\[ \int_{[0, T]\times \Omega} H_t(\omega)^2 \;\mathrm{d}(\lambda \times \mathbb{P})(t, \omega) = \mathbb{E}\left[\int_0^T H_t(\omega)^2 \;\mathrm{d}t\right] = \int_0^T \mathbb{E}\left[H_t^2\right] \;\mathrm{d}t < \infty, \]

onde \(\lambda \times \mathbb{P}\) denota a medida produto entre a medida de Lebesgue \(\lambda\) e a medida de probabilidade \(\mathbb{P}\) em \(\Omega.\)

Vale ressaltar que se \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) é adaptada a \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) e com caminhos amostrais quase certamente contínuous, então ele é progressivamente mensurável.

As condições acima são suficientes para a definição da integral estocástica

\[ \int_0^T H_t\;\mathrm{d}t \]

via limites, em média quadrática (i.e. \(L^2(\Omega)\)), das somas finitas de Riemann-Stieljes

\[ \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}), \]

onde \(M = \{t_j\}_{j=1}^n\) é uma malha formada por \(0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T,\) com \(n\in \mathbb{N}\) arbitrário. Nesse primeiro momento, no entanto, vamos assumir uma hipótese um pouco mais restritiva.

Definição da integral de Itô

A ideia é definir a integral de Itô como limite das somas de Riemann-Stieltjes, i.e. através de

\[ \int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t = \lim_{\|M\| \rightarrow 0} \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}), \]

onde \(M\) são malhas temporais particionando o intervalo \([0, T],\)

\[ M = \{0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T; \;n\in\mathbb{N}\}, \]

e

\[ \|M\| = \max_{j=1, \ldots, n} |t_j - t_{j-1}|. \]

Vamos ver que, para integrandos \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) que são não-antecipativos e de quadrado integrável, esse limite existe em média quadrática.

Convergência para integrandos localmente uniformemente contínuous em média quadrática

Inicialmente vamos assumir uma condição de continuidade no sentido de média quadrática, para ilustrar os pontos principais que garantem a convergência, em média quadrática, das somas de Riemann-Stieltjes, com uma demonstração análoga à comumente feita para as integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes. Em seguida, vamos mostrar que, na verdade, todo processo estocástico de quadrado integrável satisfaz essa condição de continuidade.

Processos localmente uniformemente contínuos em média quadrática

Mais precisamente, vamos supor que \(\{H_t\}_{t\geq 0},\) que é de quadrado integrável e progressivamente mensurável em relação ao processo de Wiener, também seja localmente (no tempo) uniformemente contínua no sentido de média quadrática, i.e. dados quaisquer \(T > 0\) e \(\eta > 0,\) existe \(\delta > 0\) tal que

\[ \mathbb{E}\left[ |H_{t +\tau} - H_t|^2 \right] < \eta, \qquad \forall 0 < \tau < \delta, \; 0 \leq t \leq t + \tau \leq T. \]

O termo "uniforme" se refere à estimativa ser uniforme em \(t\in [0, T],\) enquanto que "local" se refere a \(T\) ser finito.

Observe que o processo de Wiener tem a propriedade de que \(W_{t+\tau} - W_t \sim \mathcal{N}(0, \tau),\) de forma que

\[ \mathbb{E}\left[ |W_{t+\tau} - W_t|^2 \right] = \tau, \]

que implica trivialmente na condição acima. Qualquer potência do processo de Wiener também pode ser adequadamente estimada de acordo com a condição acima.

Observe, ainda, que a condição acima não garante que os caminhos sejam, quase certamente, contínuos. De fato, basta considerar \(\Omega = [0, 1]\) com probabilidade uniforme e definir \(H_t(\omega) = \chi_{[\omega, 1]}(t),\) de modo que \(H_{t + \tau} - H_t = 1,\) para \(t < \omega \leq t + \tau,\) se anulando fora desse intervalo. Com isso, os caminhos são, quase certamente, descontínuos em algum ponto. No entanto, \(\mathbb{E}[|H_{t+\tau} - H_t|^2] = \mathbb{P}(|H_{t+\tau} - H_t| > \eta) = \tau,\) para todo \(0< \eta < 1,\) mostrando que a condição de continuidade uniforme em média quadrática é valida.

O mesmo vale para \(H_t(\omega) = (1/2)\chi_{\omega}(t) + \chi_{(\omega, 1]}(t),\) cujos caminhos amostrais não são contínuous nem à esquerda, nem à direita.

Outro exemplo de caminhos descontínuos, em um conjunto enumerável de pontos, é o de um processo de Poisson composto, \(H_t = \sum_{i=1}^{N_t} D_i,\) onde \(\{N_t\}_{t\geq 0}\) é um processo de contagem de Poisson em taxa \(\lambda > 0\) e \(\{D_i\}_{i\in\mathbb{N}}\) é um processo independente e identicamente distribuído com distribuições \(D\) com \(\mathbb{E}[D^2] < \infty.\) Nesse caso, é possível mostrar que

\[ \mathbb{E}[|H_{t + \tau} - H_t|^2] = \mathbb{E}[H_{t + \tau} - H_t]^2 + \operatorname{Var}(H_{t+\tau} - H_t) = \lambda^2 t^2\mathbb{E}[D]^2 + \lambda t \mathbb{E}[D^2], \]

de modo que a condição de continuidade uniforme em média quadrática também é válida.

Observe que esses exemplos mostram a importância da hipótese do Teorema da Continuidade de Kolmogorov ter uma potência \(\tau^{1 + \varepsilon}\) no lado direito da condição, com \(\varepsilon\) estritamente positivo. Nos exemplos acima, temos a estimativa com \(\varepsilon = 0\) e os caminhos não são nem contínuos.

Como dito acima, usamos essa condição a título de uma demonstração mais simples e direta da convergência das somas de Riemann-Stieljes para se definir a integral de Itô. Em seguida, veremos que todo processo de quadrado integrável de fato satisfaz essa condição. Vamos também comentar sobre uma outra construção, mais clássica, através da aproximação por processos escada, que, essencialmente, tem caminhos constantes por parte.

Somas finitas de Riemann-Stieltjes

Consideremos, então, as somas finitas de Riemann-Stieltjes

\[ S_M = \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}), \]

onde \(M = \{t_j\}_{j=1}^n\) é uma malha formada por \(0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T,\) com \(n\in \mathbb{N}\) arbitrário, como definido acima. Vamos mostrar que \(\{S_M\}_{M}\) é (uma rede) de Cauchy, em \(L^2(\Omega).\)

\[ \lim_{\|M_1\|, \|M_2\| \rightarrow 0} \mathbb{P}(|S_{M_1} - S_{M_2}| \geq \varepsilon) = 0, \]

lembrando que, para uma malha \(M,\)

\[ \|M\| = \max_{j=1, \ldots, n} |t_j - t_{j-1}|. \]

Uma vez feito isso, obtemos que existe uma variável aleatória limite \(S,\) tal que \(S_M \rightarrow S\) em em média quadrática, i.e.

\[ \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \mathbb{E}(|S_M - S|^2) = 0. \]

Com isso, \(S_M\) converge, em média quadrática, para um limite \(S,\) que definimos como sendo a integral de \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) em relação a \(\{W_t\}_{t\geq 0},\) no intervalo \([0, T]:\)

\[ \int_0^T H_t\;\mathrm{d}t = S = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} S_M = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}). \]

Média quadrática entre duas malhas

Dadas duas malhas \(M_1\) e \(M_2,\) podemos fazer uma triangulação com o refinamento das duas malhas, \(M = M_1 \cup M_2.\) Naturalmente,

\[ \|M\| \leq \min\{M_1, M_2\}. \]

Vamos comparar \(M_1\) e \(M_2\) com \(M.\) Denotando os pontos da malha mais grossa \(M_1\) por \(t_i',\) \(i = 1, \ldots, n_1,\) e os pontos da malha mais fina \(M\) por \(t_j,\) \(j=1, \ldots, n,\) com \(M\subset M_1\) e \(n \geq n_1,\) podemos escrever

\[ S_M = \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \]

e

\[ S_{M_1} = \sum_{i=1}^{n_1} H_{t_{i-1}'}(W_{t_i'} - W_{t_{i-1}'}), \]

onde, para cada \(j=0, \ldots, n,\) existe um único \(i_j\) tal que

\[ t_{i_j}' \leq t_j < t_{i_j+1}. \]

Assim, somando e subtraindo os passos intermediários se necessário, podemos escrever

\[ S_{M_1} = \sum_{j=1}^{n} H_{t_{i_{j-1}}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}). \]

Com isso,

\[ S_{M_1} - S_M = \sum_{j=1}^{n} (H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}). \]

Elevando ao quadrado,

\[ \begin{align*} (S_{M_1} - S_M)^2 & = \left(\sum_{j=1}^{n} (H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right)^2 \\ & = \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} (H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})(W_{t_k} - W_{t_{k-1}}). \end{align*} \]

Logo,

\[ \mathbb{E}[|S_{M_1} - S_M|^2] = \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})(W_{t_k} - W_{t_{k-1}})\right] \]

Para \(j < k,\) temos \(W_{t_k} - W_{t_{k-1}},\) que tem esperança nula, independente dos outros termos, de modo que

\[ \begin{align*} & \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})(W_{t_k} - W_{t_{k-1}})\right] \\ & \qquad = \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})\right]\mathbb{E}\left[(W_{t_k} - W_{t_{k-1}})\right] \\ & \qquad = 0. \end{align*} \]

Por outro lado, para \(k > j,\) temos \(W_{t_j} - W_{t_{j-1}},\) que também tem esperança nula, independente dos outros termos. Logo,

\[ \begin{align*} & \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})(W_{t_k} - W_{t_{k-1}})\right] \\ & \qquad = \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})(W_{t_k} - W_{t_{k-1}})(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{k-1}})\right]\mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right] \\ & \qquad = 0. \end{align*} \]

Sobram, então, apenas os termos com \(k=j,\) i.e.

\[ \mathbb{E}[|S_{M_1} - S_M|^2] = \sum_{j=1}^{n} \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})^2(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right]. \]

Como \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) é não antecipativo, cada termo \(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}}\) é independente de \(W_{t_j} - W_{t_{j-1}},\) de modo que

\[ \mathbb{E}[|S_{M_1} - S_M|^2] = \sum_{j=1}^{n} \mathbb{E}\left[(H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}})^2\right]\mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right]. \]

Dado \(\eta > 0,\) existe \(\delta > 0\) tal que, para \(\|M_1\|, \|M_2\| < \delta,\) cada \(t_{j-1} - t_{i_{j-1}}\) está limitado pela malha mais grossa \(M_1,\) de modo que \(0 \leq t_{j-1} - t_{i_{j-1}} < \delta\) e, com isso,

\[ \mathbb{E}\left[|H_{t_{i_{j-1}}} - H_{t_{j-1}}|^2\right] < \eta. \]

Usando, ainda, que \(\mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] = t_j - t_{j-1},\) obtemos

\[ \mathbb{E}[|S_{M_1} - S_M|^2] \leq \sum_{j=1}^{n} \eta (t_j - t_{j-1}) = \eta T. \]

Idem para \(M_2.\) Logo,

\[ \mathbb{E}[|S_{M_1} - S_{M_2}|^2] \leq 2\eta T. \]

Como podemos tomar \(\eta > 0\) arbitrariamente pequeno, bastando refinar cada vez mais a malha, obtemos que

\[ \lim_{\|M_1\|, \|M_2\| \rightarrow 0} \mathbb{E}(|S_{M_1} - S_{M_2}|^2) = 0. \]

Logo, existe uma variável aleatória \(R=R(\omega)\) de quadrado integrável tal que

\[ \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \mathbb{E}(|S_M - R|^2) = 0, \]

ou seja, existe o limite

\[ R = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} S_M \]

e podemos definir a integral de \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) em relação a \(\{W_t\}_{t\geq 0},\) no intervalo \([0, T],\) por

\[ \int_0^T H_t\;\mathrm{d}W_t = R = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} S_M = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}). \]

Essa definição nos dá a integral de Itô, em relação a um processo de Wiener \(\{W_t\}_{t\geq 0},\) de um processo estocástico \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) com as propriedades de ser progressivamente mensurável em relação à filtração natural do processo de Wiener, ter quadrado integrável em \([0, T]\times \Omega\) e ser localmente uniformemente contínuo em média quadrática.

O caso geral de quadrado integrável

Vamos agora ver que todo processo de quadrado integrável é localmente uniformemente contínuo em média quadrática.

Por ser de quadrado integrável, temos

\[ \int_\Omega \int_0^T H_t(\omega)^2 \;\mathrm{d}t \;\mathrm{d}\mathbb{P}(\omega) < \infty. \]

Pelo Teorema de Fubini, isso significa que

\[ \int_0^T H_t(\omega)^2 \;\mathrm{d}t < \infty \]

para quase todo \(\omega\in\Omega,\) ou seja \(t\mapsto H_t \in L^2(0, T),\) quase certamente. É sabido que, toda função \(f=f(t)\) de quadrado integrável é contínua em \(L^2,\) i.e.

\[ \int_0^T |f(t+\tau) - f(t)|^2\;\mathrm{d}t \rightarrow 0, \quad \text{ as } \tau \rightarrow 0. \]

Aplicando isso aos caminhos de \(H_t,\) temos

\[ d_\tau(\omega) = \int_0^T |H_{t+\tau}(\omega) - H_t(\omega)|^2 \;\mathrm{d}t \rightarrow 0, \]

quando \(\tau \rightarrow 0,\) para quase todo \(\omega\in \Omega.\)

Caso de processos limitados

Vamos assumir que o processo seja uniformemente limitado, i.e.

\[ |H_t(\omega)| \leq M, \qquad \forall t \geq 0, \;\forall \omega\in \Omega. \]

Nesse caso,

\[ 0 \leq d_\tau(\omega) \leq 4 M^2 T, \]

ou \(d_\tau\) é limitado por uma função (constante) integrável. Assim, pelo Teorema da Convergência Dominada, segue que

\[ \int_0^T \mathbb{E}\left[(H_{t+\tau} - H_t)^2\right] = \int_\Omega \int_0^T |H_{t+\tau}(\omega) - H_t(\omega)|^2\;\mathrm{d}t\;\mathrm{d}\mathbb{P}(\omega) = \int_\Omega d_\tau\;\mathrm{d}\mathbb{P}(\omega) \rightarrow 0, \]

quando \(\tau \rightarrow 0,\) provando a continuidade em média quadrática de \(\{H_t\}_{t\geq 0}.\)

Caso geral

No caso geral de \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) ser simplesmente de quadrado integrável (além de não-antecipativo), aproximamos o processo por processos limitados, considerando, por exemplo,

\[ H_t^m = \max\{-m, \min\{m, H_t\}\} = \begin{cases} -m, & H_t < -m, \\ H_t, & -m \leq H_t \leq m, \\ m, & H_t > m, \end{cases} \]

Como \(|H_t^m| \leq |H_t|,\) que é de quadrado integrável, e \(H_t^m(\omega) \rightarrow H_t(\omega)\) quase certamente, então, segue do Teorema da Convergência Dominada, que \(H_t^m \rightarrow H_t\) em \(L^2,\) i.e.

\[ \int_0^T \mathbb{E}\left[|H_t - H_t^m|^2\right]\;\mathrm{d}t = \int_\Omega\int_0^T |H_t(\omega) - H_t^m(\omega)|^2\;\mathrm{d}t\;\mathrm{d}\mathbb{P}(\omega) \rightarrow 0, \quad m\rightarrow \infty. \]

Agora basta fazer uma triangulação. Dado \(\varepsilon > 0,\) encontramos \(m\) tal que

\[ \int_0^T \mathbb{E}\left[|H_t - H_t^m|^2\right]\;\mathrm{d}t < \frac{\varepsilon}{9}, \]

depois, usando que \(H_t^m\) é limitado, encontramos \(\eta > 0\) tal que

\[ \int_0^T \mathbb{E}\left[|H_{t+\tau}^m - H_t^m|^2\right]\;\mathrm{d}t < \frac{\varepsilon}{9}, \]

para \(0 < \tau < \eta,\) e deduzimos que

\[ \begin{align*} \int_0^T \mathbb{E}\left[|H_{t+\tau} - H_t|^2\right]\;\mathrm{d}t & \leq 3\int_0^T \mathbb{E}\left[|H_{t+\tau} - H_{t+\tau}^m|^2\right]\;\mathrm{d}t + 3\int_0^T \mathbb{E}\left[|H_{t+\tau}^m - H_t^m|^2\right]\;\mathrm{d}t + 3\int_0^T \mathbb{E}\left[|H_t^m - H_t|^2\right]\;\mathrm{d}t \\ & < \frac{3}{9}\varepsilon + \frac{3}{9}\varepsilon + \frac{3}{9}\varepsilon = \varepsilon. \end{align*} \]

Isso mostra a continuidade em média quadrática de \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) e, portanto, que a convergência das somas de Riemann-Stieltjes vale também para qualquer processo não-antecipativo de quadrado integrável.

Valor esperado da integral estocástica

Temos

\[ \mathbb{E}\left[ S_M \right] = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right]. \]

Como \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) é não antecipativo, temos que cada \(H_{t_{j-1}}\) é independente de \(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}.\) Logo,

\[ \mathbb{E}\left[ S_M \right] = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}\right]\mathbb{E}\left[W_{t_j} - W_{t_{j-1}}\right] = 0, \]

visto que cada passo \(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}\) tem valor esperado nulo. Portanto,

\[ \mathbb{E}[S_M] = 0, \]

para qualquer malha \(M.\) No limite, como \(S_M \rightarrow R\) em média quadrática, segue que

\[ \mathbb{E}\left[\int_0^T H_t\;\mathrm{d}t\right] = \mathbb{E}[R] = \lim_{\|M\|\rightarrow 0}\mathbb{E}[S_M] = 0. \]

Isometria de Itô

Sabendo que \(S_M\) converge para \(R\) em média quadrádica, segue que

\[ \mathbb{E}[S_M^2] \rightarrow \mathbb{E}[R^2], \]

quando a malha é refinada ao limite \(\|M\| \rightarrow 0.\) Vamos calcular o limite de \(\mathbb{E}[S_M^2]\) e ver que isso nos dá uma importante identidade conhecida como isometria de Itô.

Primeiramente, temos

\[ \begin{align*} \mathbb{E}[S_M^2] & = \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right)^2\right] \\ & = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n H_{t_{i-1}}(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right] \\ & = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{i-1}}(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})H_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right]. \end{align*} \]

De maneira análoga à feita acima para o cálculo de \(\mathbb{E}[|S_{M_1} - S_{M_2}|^2],\) os termos com \(i\neq j\) se anulam, restando

\[ \begin{align*} \mathbb{E}[S_M^2] & = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] \\ & = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\right]\mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] \\ & = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left[H_{t_{j-1}}^2\right](t_j t_{j-1}) \end{align*} \]

Note, agora, que o último termo é uma soma de Riemann da função \(\mathbb{E}[H_t^2].\) Com a hipótese de continuidade uniforme em média quadrática, segue que

\[ t \mapsto \mathbb{E}[H_t^2] \]

é uma função contínua, de modo que o soma de Riemann converge para a integral de Riemann

\[ \mathbb{E}[R^2] = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \mathbb{E}[S_M] = \int_0^T \mathbb{E}[H_t^2]\;\mathrm{d}t. \]

De outra forma, escrevemos

\[ \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T H_t \;\mathrm{d}W_t \right)^2\right] = \int_0^T \mathbb{E}[H_t^2]\;\mathrm{d}t. \]

Essa identidade é chamada isometria de Itô.

Por exemplo,

\[ \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T W_t \;\mathrm{d}W_t \right)^2\right] = \int_0^T \mathbb{E}[W_t^2]\;\mathrm{d}t = \int_0^T t\;\mathrm{d}t = \frac{T^2}{2}. \]

Por outro lado, já vimos que

\[ \int_0^T W_t \;\mathrm{d}W_t = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n W_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) = \frac{W_T^2}{2} - \frac{T}{2}, \]

o que nos leva a uma outra forma de calcular essa esperança, a saber

\[ \begin{align*} \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T W_t \;\mathrm{d}W_t\right)^2\right] & = \mathbb{E}\left[\frac{W_T^4}{4} - 2\frac{W_T^2}{2}\frac{T}{2} + \frac{T^2}{4}\right] \\ & = \frac{\mathbb{E}[W_T^4]}{4} - 2\frac{\mathbb{E}[W_T^2]}{2}\frac{T}{2} + \frac{T^2}{4} \\ & = \frac{3\mathbb{E}[W_T^2]^2}{4} - 2\frac{T}{2}\frac{T}{2} + \frac{T^2}{4} \\ & = \frac{3T^2}{4} - 2\frac{T}{2}\frac{T}{2} + \frac{T^2}{4} \\ & = \frac{3T^2}{4} - 2\frac{T^2}{4} + \frac{T^2}{4} \\ & = \frac{T^2}{2}, \end{align*} \]

onde usamos que \(W_T\) é uma normal e, portanto, \(\mathbb{E}[W_T^4] = 3\mathbb{E}[W_T^2]^2.\)

Exercícios

1. Suponha \(f=f(x)\) localmente Hölder/Lipschitz contínua em \(\mathbb{R},\) satisfendo uma estimativa da forma

\[ |f(y) - f(x)| \leq \left(c_0 + c_1\max\{|x|^p, |y|^p\}\right)|y - x|^\theta, \]

para todo \(x, y\in\mathbb{R},\) onde \(c_0, c_1 \geq 0,\) \(p\geq 1,\) e \(0 < \theta \leq 1\) (na verdade basta que \(p\) e \(\theta\) sejam positivos). Considere o processo estocástico \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) definido por

\[ H_t = f(W_t), \]

onde \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) é um processo de Wiener. Usando a desigualdade maximal

\[ \mathbb{E}[\max_{0\leq t \leq T} |W_t|^2] \leq 4\mathbb{E}[W_T^2], \]

mostre que \(\{H_t\}_{t \geq 0}\) é uniformemente contínuo em média quadrática.