6.4. Limites de somatórios à la Riemann-Stieltjes

Vimos uma maneira de definir a integral em relação a processos $\{Y_t\}_t$ cujos caminhos amostrais não são de variação limitada. Mas apenas integrandos da forma $g(t, Y_t),$ para certos tipos particulares de funções, são permitidos ($g = g(t)$ continuamente diferenciáveis ou $g=g(t, y) = \partial_y G(t, y)$). Queremos estender a noção de integral para funções mais gerais e com integrandos da forma $g(t, X_t),$ i.e. envolvendo processos $\{X_t\}_t$ diferentes daquele em relação ao qual estamos integrando. A motivação é prática: queremos integrar em relação a um processo de Wiener.

A integral definida anteriormente não foi feita diretamente em termos de somas de Riemann ou de integrais de funções simples. Foi definida na forma de dualidade (seja via fórmula de integração por partes, quando $g=g(t)$ é diferenciável, ou via fórmula de mudança de variáveis, quando $g=g(t, y) = \partial_y G(t, y)$). Aqui, por outro lado, vamos investigar um caminho semelhante ao feito em integrais de Riemann-Stieltjes.

Na integral de Riemann-Stieltjes, consideramos malhas cada vez mais finas e aproximamos a função por funções constantes por partes, mais precisamente constantes em cada subintervalo da malha, cuja integral se reduz a um somatório finito. O valor em cada subintervalo da malha é determinado pelo valor da função em um ponto escolhido arbitrariamente em cada subintervalo. O limite do somatório deve existir e ser único independentemente da escolha desse ponto em cada subintervalo. Isso é possível sempre que a função integrada é contínua ou tem descontinuidades em um conjunto de medida nula.

Veremos, a seguir, que esse limite pode não ser único, ou não existir, quando integramos em relação a um processo de Wiener e escolhemos os pontos de forma arbitrária. A regularidade do integrando não é o problema. Muitas vezes vamos integrar processos cujos caminhos são contínuos. O problema é a possível dependência entre o integrando $X_{\theta},$ em um ponto qualquer $t \leq \theta \leq t + \Delta t,$ e o passo $W_{t + \delta t} - W_t.$ Por conta disso o limite irá depender da escolha do ponto e pode não convergir se a escolha não for feita de forma sistemática.

Para ilustrar a complexidade desse problema, vamos considerar diferentes somas de Riemann associadas à seguinte integral envolvendo um processo de Wiener $\{W_t\}_{t\geq 0}$:

$$\int_0^T W_t \;\mathrm{d}W_t.$$

Observe que, via dualidade com a fórmula de mudança de variáveis, tomando $G(y) = y^2/2,$ temos $g(y) = G'(y) = y$ e

$$\int_0^T W_t \circ \;\mathrm{d}W_t = G(W_T) - G(W_0) = \frac{W_T}{2}.$$

O que acontece se, por outro lado, considerarmos as somas de Riemann-Stieltjes associada a essa integral?

Somas de Riemann-Stieltjes

Se os caminhos fossem, quase certamente, de variação limitada, poderiamos definir, para quase todo $\omega,$

$$\int_0^T W_t \;\mathrm{d}W_t = \lim_{\|M\| \rightarrow 0} \sum_{j=1}^{n} W_{\theta_j} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}),$$

onde $0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T$ e cada $\theta_j$ é um número arbitrário em $t_{j-1} \leq \theta_j \leq t_j,$ $j = 1, \ldots, n.$

Mas como $\{W_t\}_{t\geq 0}$ não é de variação limitada, esse limite pode não existir. De fato, vamos ver que esse limite não existe.

Mais precisamente, vamos ver que, fixando $0 \leq \lambda \leq 1$ e escolhendo $\theta_j$ como

$$\theta_j^\lambda = (1 - \lambda) t_{j-1} + \lambda t_j,$$

o limite acima existe, sim, mas depende de $\lambda.$

Para vermos isso, dada uma partição $M = \{t_j\}_{j=0}^n$ como acima e dado $\lambda$ satisfazendo $0 \leq \lambda \leq 1,$ definimos

$$R_M(\lambda) = \sum_{j=1}^{n} W_{\theta_j^\lambda} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}).$$

Denotamos, ainda,

$$\|M\| = \max_{j=1, \ldots, n}\{t_j - t_{j-1}\}.$$

Vamos calcular, a seguir, o limite de $R_M(\lambda)$ quando $\|M\|\rightarrow 0,$ no caso $\lambda = 0,$ depois no caso $\lambda = 1$ e, finalmente, no caso geral $0 \leq \lambda \leq 1.$

Caso $\lambda = 0$

Nesse caso, temos

$$R_M(0) = \sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}).$$

Se o processo de Wiener fosse de variação limitada, teríamos $R_M(0)$ convergindo para $W_T^2/2.$ Pensando nisso, vamos analisar a discrepância entre $R_M(0)$ e $W_T^2/2,$ dada por

$$D_M = R_M(0) - \frac{W_T^2}{2}.$$

Reescrevendo $W_T^2$ como soma telescópica, temos

$$\begin{align*} D_M & = \sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) - \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n} (W_{t_j}^2 - W_{t_{j-1}}^2) \\ & = \sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) - \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n} (W_{t_j} + W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \\ & = \sum_{j=1}^{n} \left(W_{t_{j-1}} - \frac{1}{2}W_{t_j} - \frac{1}{2}W_{t_{j-1}}\right)(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \\ & = \sum_{j=1}^{n} \left(\frac{1}{2}W_{t_{j-1}} - \frac{1}{2}W_{t_j}\right)(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \\ & = -\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \\ \end{align*}$$

Esse somatório foi considerado na seção 5.7. Variação ilimitada dos caminhos amostrais, onde mostramos, para uma malha qualquer, que o valor esperado satisfaz

$$\mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^n \left(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}\right)^2\right] = \sum_{j=1}^n (t_j - t_{j-1}) = t_n - t_0 = T,$$

enquanto que o momento de segunda ordem satisfaz

$$\mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n \left(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}\right)^2\right)^2\right] = \sum_{i, j = 1}^n (t_i - t_{i-1})(t_j - t_{j-1}) + 2\sum_{j = 1}^n (t_j - t_{j-1})^2.$$

Naquela seção, usamos, em seguida, que as malhas são diádicas, para obter a convergência, quase certamente, para $T.$ Aqui, temos uma malha qualquer e vamos nos contentar com a convergência em probabilidade. De fato, podemos escrever, mesmo para uma malha qualquer, que

$$\sum_{i, j = 1}^n (t_i - t_{i-1})(t_j - t_{j-1}) = \sum_{i = 1}^n (t_i - t_{i-1}) \sum_{j = 1}^n (t_j - t_{j-1}) = T^2$$

e

$$\left| \sum_{j=1}^{n} (t_j - t_{j-1})^2 \right| \leq \max_j\{|t_j - t_{j-1}|\}\sum_{j=1}^{n} (t_j - t_{j-1}) = T\max_j\{|t_j - t_{j-1}|\} \rightarrow 0.$$

Dessa forma,

$$\begin{align*} \mathrm{Var}\left( \sum_{j=1}^n (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right) & = \mathbb{E}\left[\left(\sum_{j=1}^n \left(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}\right)^2\right)^2\right] - \mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^n \left(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}\right)^2\right]^2 \\ & = 2\sum_{j = 1}^n (t_j - t_{j-1})^2 \rightarrow 0. \end{align*}$$

Como o valor esperado é igual à constante $T$ e a variância converge para zero, obtemos a convergência em probabilidade

$$\sum_{j=1}^{n}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow T.$$

Juntando os resultados dos dois somatórios, obtemos, ao refinarmos a malha, a convergência em probabilidade

$$R_M(0) \rightarrow \frac{1}{2}W_T^2 - \frac{1}{2}T,$$

no limite $\|M\| \rightarrow 0.$

Observe que, no limite,

$$\mathbb{E}\left[ \frac{1}{2}W_T^2 - \frac{1}{2}T\right] = \frac{1}{2}\mathbb{E}[W_T^2] - \frac{1}{2}T = \frac{1}{2}T - \frac{1}{2}T = 0.$$

Na verdade, o valor esperado do somatório já é nulo:

$$\begin{align*} \mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \right] & = \sum_{j=1}^{n} \mathbb{E}\left[W_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right] \\ & = \sum_{j=1}^{n} \mathbb{E}\left[W_{t_{j-1}}W_{t_j}\right] -\sum_{j=1}^{n} \mathbb{E}\left[W_{t_{j-1}}^2\right] \\ & = \sum_{j=1}^{n} \min\{t_{j-1}, t_j\} -\sum_{j=1}^{n} t_{j-1} \\ & = 0. \end{align*}$$

Um caminho alternativo a considerar a discrepância $D_M = R_M(0) - W_T^2/2$ é trabalhar diretamente com $R_M(0)$ e escrever, para cada $j$ do somatório,

$$\begin{align*} W_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) & = W_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \pm \frac{1}{2}W_{t_j} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \\ & = \frac{1}{2}(W_{t_j} + W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) - \frac{1}{2}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})(W_{t_j }- W_{t_{j-1}}) \\ & = \frac{1}{2}(W_{t_j}^2 - W_{t_{j-1}}^2) - \frac{1}{2}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2, \end{align*}$$

e mostrar que o somatório dos termos do lado direito converge para $W_T^2/2 - T/2,$ mas o caminho acima parece um pouco mais natural.

Caso $\lambda = 1$

Nesse caso, temos

$$R_M(1) = \sum_{j=1}^{n} W_{t_j} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}).$$

Escrevendo

$$W_{t_j} = W_{t_{j-1}} + W_{t_j} - W_{t_{j-1}},$$

vemos que

$$R_M(1) = R_M(0) + \sum_{j=1}^{n} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2.$$

Acabamos de ver que

$$R_M(0) \rightarrow \frac{1}{2}W_T^2 - \frac{1}{2}T$$

e que

$$\sum_{j=1}^{n} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow T.$$

Portanto,

$$R_M(1) \rightarrow \frac{1}{2}W_T^2 + \frac{1}{2}T.$$

Aqui já vemos que o limite depende de $\lambda.$

Caso geral $0 \leq \lambda \leq 1$

Vamos considerar, agora, o caso geral $R_M(\lambda).$ Somando e subtraindo $W_{t_{j-1}}$ no primeiro termo e, em seguida, somando e subtraindo $W_{\theta_j^\lambda}$ no segundo termo, obtemos

$$\begin{align*} R_M(\lambda) & = \sum_{j=1}^{n} W_{\theta_j^\lambda} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \\ & = \sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) + \sum_{j=1}^{n} (W_{\theta_j^\lambda} - W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \\ & = \sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) + \sum_{j=1}^{n} (W_{\theta_j^\lambda} - W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{\theta_j^\lambda} + W_{\theta_j^\lambda} - W_{t_{j-1}}) \\ & = \sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) + \sum_{j=1}^{n} (W_{\theta_j^\lambda} - W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{\theta_j^\lambda}) + \sum_{j=1}^{n} (W_{\theta_j^\lambda} - W_{t_{j-1}})(W_{\theta_j^\lambda} - W_{t_{j-1}}) \end{align*}$$

O primeiro termo é $R_M(0),$ de modo que podemos escrever

$$R_M(\lambda) = R_M(0) + A_M(\lambda) + B_M(\lambda),$$

onde

$$A_M(\lambda) = \sum_{j=1}^{n} (W_{\theta_j^\lambda} - W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{\theta_j^\lambda}), \qquad B_M(\lambda) = \sum_{j=1}^{n} (W_{\theta_j^\lambda} - W_{t_{j-1}})(W_{\theta_j^\lambda} - W_{t_{j-1}}).$$

Já sabemos que

$$R_M(0) \rightarrow \frac{W_T}{2} - \frac{T}{2},$$

em probabilidade. Quanto aos outros termos, é possível mostrar que

$$A_M(\lambda) \rightarrow \lambda T, \qquad B_M(\lambda) \rightarrow 0,$$

em probabilidade. Para isso, basta mostrar que

$$\mathbb{E}[A_M(\lambda)] \rightarrow \lambda T, \qquad \operatorname{Var}(A_M(\lambda)) \rightarrow 0,$$

e

$$\mathbb{E}[B_M(\lambda)] \rightarrow 0, \qquad \operatorname{Var}(B_M(\lambda)) \rightarrow 0.$$

Essas demonstrações são semelhantes à de que

$$\sum_{j=1}^{n} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow T.$$

Deixamos os detalhes a cargo do leitor.

Como resultado, obtemos que

$$R_M(\lambda) \rightarrow \frac{1}{2}W_T^2 + \left(\lambda - \frac{1}{2}\right)T,$$

em probabilidade.

Considerações finais

No caso mais geral, ao considerarmos um integrando da forma $g(t, X_t, Y_t)$ em relação a um processo $\{Y_t\}_t,$ a escolha $\lambda = 0$ nos levará à integral de Itô. Nesse caso, temos, como obtido acima,

$$\int_0^T W_t \;\mathrm{d}W_t = \frac{1}{2}W_T - \frac{1}{2}T.$$

Observe que isso não coincide com o resultado pela definição via dualidade, vista em na Seção 6.3. Integrais via dualidade. A definição via dualidade coincide com a escolha $\lambda = 1/2,$ que nos levará à integral de Stratonovich. Para evitar confusões, denotamos essa integral de forma diferente e essa, sim, coincide com a definição via dualidade, nos casos em que aquela está definida:

$$\int_0^T W_t \circ\mathrm{d}W_t = \frac{1}{2}W_T.$$

Exercícios

1. No caso geral $0\leq \lambda \leq 1,$ mostre que, ao refinarmos a malha, os seguintes limites valem em probabilidade:

$$\begin{align*} \sum_{j=1}^{n} (W_{\theta_j^\lambda} - W_{t_{j-1}})^2 & \rightarrow \lambda T\\ \sum_{j=1}^{n} (W_{t_j} - W_{\theta_j^\lambda})(W_{\theta_j^\lambda} - W_{t_{j-1}}) & \rightarrow 0. \end{align*}$$

2. Pensando na integral $\int_0^T t \;\mathrm{d}W_t,$ mostre que

$$\int_0^T t\;\mathrm{d}W_t = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n t_{j-1}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \rightarrow TW_T - \int_0^T W_t \;\mathrm{d}t$$

(dica: distribua $t_{j-1}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) = t_{j-1}W_{t_j} - t_{j-1}W_{t_{j-1}}$ e mude o índice do segundo somatório), de modo que essa definição via limite coincide com a definição via dualidade,

$$\int_0^T g(t) \;\mathrm{d}W_t = g(T)W_T - \int_0^T g'(t)W_t\;\mathrm{d}t.$$

3. Mais geralmente, mostre, diretamente via limite de somas de Riemann-Stieltjes, que, para $g=g(t)$ de variação limitada,

$$\int_0^T g(t) \;\mathrm{d}W_t = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n g(t_{j-1})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) = g(T)W_T - \int_0^T W_t\;\mathrm{d}g(t).$$

4. Deduza, usando tanto a fórmula acima, quanto as somas de Riemann-Stieljes que

$$\int_0^T t\;\mathrm{d}W_t \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{T^3}{3}\right).$$

5. Usando a aproximação

$$\int_0^T W_t\;\mathrm{d}W_t \approx \sum_{j=1}^n W_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})$$

para calcular a integral para um certo número $m$ de amostras, em uma malha bem fina (por exemplo, $m = 100,$ $n = 100,$ $T = 1,$ $t_j = jT/n,$ $W_{t_j}(\omega_i),$ $i = 1, \ldots, m,$), faça um histograma dessas aproximações e compare com o histograma de

$$\frac{W_T^2}{2} - \frac{T}{2}$$

e com a função densidade de probabilidade de

$$-\frac{T}{2} + \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}, 2T\right),$$

onde $\Gamma = \Gamma(k, \theta)$ é a distribuição Gamma com parâmetros de forma $k$ e de escala $\theta.$

(Lembrando que se $Z \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2),$ então $Z^2 \sim \sigma^2 \chi_1^2 \sim \Gamma(1/2, 2\sigma^2),$ onde $\chi_k^2 = \sum_{i=1}^k Z_k$ é a distribuição $\chi$-quadrado, definida com normais $Z_k\sim \mathcal{N}(0, 1)$ independentes.)

6. Use a fórmula

$$b^2(a - b) = \frac{1}{3}(a^3 - b^3) - b(a - b)^2 - \frac{1}{3}(b - a)^3,$$

para obter o limite

$$\int_0^T W_t^2\;\mathrm{d}W_t = \lim_{\|M\|\rightarrow 0} \sum_{j=1}^n W_{t_{j-1}}^2(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) = \frac{W_T^3}{3} - \int_0^T W_t\;\mathrm{d}t.$$

7. Deduza, usando as somas de Riemann-Stieltjes, que vale o caso particular da isometria de Itô

$$\mathbb{E}\left[\left(\int_0^T g(t)\;\mathrm{d}W_t\right)^2\right] = \int_0^t g(t)^2 \;\mathrm{d}t.$$