9.2. Equação de Fokker-Planck para equações diferenciais estocásticas

Considere, agora, uma equação diferencial estocástica

com uma condição initial

Suponhamos, para todos os efeitos, que exista uma solução definida pelo menos em um intervalo de tempo $[0, T].$ Suponhamos, ainda, que cada $X_t$ tenha uma função densidade de probabilidade $p(t, x)$ bem definida. A questão que queremos investigar é sobre a evolução dessa função.

Vamos considerar funções testes $\Phi(t, x)$ que se anulem nos extremos do intervalo temporal, i.e. $\Phi(T, x) = \Phi(0, x) = 0,$ e que decaiam suficientemente rápido quando $|x|\rightarrow \infty.$

Temos, pela fórmula de Itô, que

Como $\Phi$ se anula em $t=0$ e $t=T,$ obtemos

Tomando o valor esperado, chegamos a

Em termos da função densidade de probabilidade,

Integrando por partes, em $t,$ a primeira integral, temos

Novamente, como $\Phi(t, x)$ se anula em $t=0$ e $t=T,$ isso nos dá

Integrando as outras duas integrais por partes em $x,$ temos

Juntando os termos, chegamos a

Como a função teste é arbitrária, chegamos na equação de Fokker-Planck para a evolução da distribuição de probabilidades

Essa também é conhecida como equações progressivas de Kolmogorov para equações diferenciais estocásticas, ou forward Kolmogorov diffusion equation. As equações de Kolmogorov (progressivas ou regressivas - forward or backward) são definidas em contextos mais gerais de processos de Markov com tempo contínuo e espaço discreto ou contínuo.

Exercícios

1. Deduza a equação de Fokker-Planck no caso multi-dimensional

em que $\mathbf{X}_t$ é um processo com valores em $\mathbb{R}^d,$ $f:\mathbb{R} \times \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d,$ $G:\mathbb{R} \times \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^{d\times k},$ e $\{\mathbf{W}_t\}_{t\geq 0}$ é um processo com valores em $\mathbb{R}^k$ composto de $k$ processos de Wiener independentes, com $d, k \in\mathbb{N}$ arbitrários.