9.2. Equação de Fokker-Planck no caso de equações estocásticas

Considere, agora, uma equação diferencial estocástica

\[ \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\;\mathrm{d}t + g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t, \]

com uma condição initial

\[ \left. X_t \right|_{t = 0} = X_0. \]

Suponhamos, para todos os efeitos, que exista uma solução definida pelo menos em um intervalo de tempo \([0, T].\) Suponhamos, ainda, que cada \(X_t\) tenha uma função densidade de probabilidade \(p(t, x)\) bem definida. A questão que queremos investigar é sobre a evolução dessa função.

Vamos considerar funções testes \(\Phi(t, x)\) que se anulem nos extremos do intervalo temporal, i.e. \(\Phi(T, x) = \Phi(0, x) = 0,\) e que decaiam suficientemente rápido quando \(|x|\rightarrow \infty.\)

Temos, pela fórmula de Itô, que

\[ \Phi(t, X_T) = \Phi(0, X_0) + \int_0^T \left(\Phi_t(t, X_t) + \Phi_x(t, X_t)f(t, X_t) + \frac{1}{2}\Phi_{xx}(t, X_t)g(t, X_t)^2\right)\;\mathrm{d}t + \int_0^T \Phi_x(t, X_t)g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t. \]

Como \(\Phi\) se anula em \(t=0\) e \(t=T,\) obtemos

\[ \int_0^T \left(\Phi_t(t, X_t) + \Phi_x(t, X_t)f(t, X_t) + \frac{1}{2}\Phi_{xx}(t, X_t)g(t, X_t)^2\right)\;\mathrm{d}t + \int_0^T \Phi_x(t, X_t)g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t = 0. \]

Tomando o valor esperado, chegamos a

\[ \int_0^T \mathbb{E}\left[\Phi_t(t, X_t) + \Phi_x(t, X_t)f(t, X_t) + \frac{1}{2}\Phi_{xx}(t, X_t)g(t, X_t)^2\right]\;\mathrm{d}t = 0. \]

Em termos da função densidade de probabilidade,

\[ \int_0^T \int_{-\infty}^{\infty} \left(\Phi_t(t, x) + \Phi_x(t, x)f(t, x) + \frac{1}{2}\Phi_{xx}(t, x)g(t, x)^2\right)p(t, x)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}t = 0. \]

Integrando por partes, em \(t,\) a primeira integral, temos

\[ \begin{align*} \int_0^T \int_{-\infty}^{\infty} \Phi_t(t, x) p(t, x)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}t & = \int_{-\infty}^{\infty} \int_0^T \Phi_t(t, x) p(t, x)\;\mathrm{d}t \;\mathrm{d}x \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \Phi(T, x) - \Phi(T, 0) - \int_0^T \Phi(t, x) p_t(t, x)\;\mathrm{d}t \right) \;\mathrm{d}x. \end{align*} \]

Novamente, como \(\Phi(t, x)\) se anula em \(t=0\) e \(t=T,\) isso nos dá

\[ \int_0^T \int_{-\infty}^{\infty} \Phi_t(t, x) p(t, x)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}t = -\int_{-\infty}^{\infty} \int_0^T \Phi(t, x) \frac{\partial p}{\partial t}(t, x)\;\mathrm{d}t \;\mathrm{d}x. \]

Integrando as outras duas integrais por partes em \(x,\) temos

\[ \begin{align*} \int_0^T \int_{-\infty}^{\infty} & \left(\Phi_x(t, x)f(t, x) + \frac{1}{2}\Phi_{xx}(t, x)g(t, x)^2\right)p(t, x)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}t \\ & = \int_0^T \int_{-\infty}^{\infty} \left(-\Phi(t, x)\frac{\partial}{\partial x}(f(t, x)p(t, x)) + \frac{1}{2}\Phi(t, x)\frac{\partial^2}{\partial x^2}(g(t, x)^2 p(t, x))\right)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}t. \end{align*} \]

Juntando os termos, chegamos a

\[ \int_0^T \int_{-\infty}^{\infty} \left(-\frac{\partial p}{\partial t}(t, x) -\frac{\partial}{\partial x}(f(t, x)p(t, x)) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}(g(t, x)^2 p(t, x))\right)\Phi(t, x)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}t. \]

Como a função teste é arbitrária, chegamos na equação de Fokker-Planck para a evolução da distribuição de probabilidades

\[ \frac{\partial p}{\partial t}(t, x) + \frac{\partial}{\partial x}(f(t, x)p(t, x)) - \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}(g(t, x)^2 p(t, x)) = 0. \]

Essa também é conhecida como equações progressivas de Kolmogorov para equações diferenciais estocásticas, ou forward Kolmogorov diffusion equation. As equações de Kolmogorov (progressivas ou regressivas - forward or backward) são definidas em contextos mais gerais de processos de Markov com tempo contínuo e espaço discreto ou contínuo.