8.6. Resolução de equações lineares

Sabemos que a equação diferencial ordinária linear homogênea

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = b(t)x \]

tem as suas soluções da forma

\[ x(t) = x(0)e^{\int_0^t b(s)\;\mathrm{d}s}. \]

Mais geralmente, usando \(e^{-\int_0^t b(s)\;\mathrm{d}s}\) como fator de integração, vemos que a equação linear não homogênea

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a(t) + b(t)x \]

tem as suas soluções obtidas pela fórmula de variação de constantes,

\[ x(t) = x(0)e^{\int_0^t b(s)\;\mathrm{d}s} + \int_0^t e^{\int_s^t b(\tau) \;\mathrm{d}\tau}a(s)\;\mathrm{d}s. \]

Vejamos, agora, como resolver versões estocásticas dessa equação linear.

De maneira geral, vamos ver modelos da forma

\[ \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\;\mathrm{d}t + g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t, \qquad t \geq 0, \]

com \(f\) e \(g\) lineares, ou seja,

\[ f(t, x) = f_0(t) + f_1(t)x, \quad g(t, x) = g_0(t) + g_1(t)x. \]

Junto a isso, consideramos uma condição inicial

\[ \left.X_t\right|_{t = 0} = X_0. \]

Nas seções seguintes, veremos alguns modelos clássicos que tem essa forma linear. Aqui, nos limitaremos a encontrar as soluções dessas equações.

Equação estocástica linear sem drift e com ruído aditivo

Comecemos com a equação sem drift e com ruído "aditivo",

\[ \mathrm{d}X_t = g_0(t) \mathrm{d}W_t. \]

Como \(\{X_t\}_{t\geq 0}\) não aparece do lado direito, a solução é simplesmente a integral de \(g\):

\[ X_t = X_0 + \int_0^t g_0(s) \;\mathrm{d}W_s. \]

Equação estocástica linear sem drift e com ruído multiplicativo

Mais interessante é o caso de ruído multiplicativo linear:

\[ \mathrm{d}X_t = g_1(t) X_t \;\mathrm{d}W_t. \]

Nesse caso, a solução é dada por

\[ X_t = X_0 e^{-\frac{1}{2}\int_0^t g_1(s)^2\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s}. \]

Se não houvesse o fator de correção da fórmula de Itô, esperaríamos obter uma solução com termo multiplicativo

\[ e^{\int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s}. \]

Mas podemos tentar usar esse termo como fator de integração, para achar a soluçõa correta.

Considere, então, o processo

\[ G_t = \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s, \]

que satisfaz

\[ \mathrm{d}G_t = g_1(t)\;\mathrm{d}W_t, \]

e o fator de integração definido pelo processo

\[ e^{-G_t}. \]

Pela fórmula de Itô, com \(e^{-G_t} = f(G_t),\) \(f(x) = e^{-x},\) temos

\[ \mathrm{d}(e^{-G_t}) = -e^{-G_t}\;\mathrm{d}G_t + \frac{1}{2}e^{-G_t}g_1(t)^2\;\mathrm{d}t = -e^{-G_t}g_1(t)\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}e^{-G_t}g_1(t)^2\;\mathrm{d}t . \]

Assim, considerando o processo

\[ Z_t = X_t e^{-G_t}, \]

temos

\[ \begin{align*} \mathrm{d}Z_t & = e^{-G_t}\;\mathrm{d}X_t + X_t\mathrm{d}e^{-G_t} \\ & = e^{-G_t} g_1(t) X_t \;\mathrm{d}W_t + X_t\left( -e^{-G_t}g_1(t)\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}e^{-G_t}g_1(t)^2\;\mathrm{d}t\right) \\ & = \frac{1}{2}X_te^{-G_t}g_1(t)^2\;\mathrm{d}t \\ & = \frac{1}{2}g_1(t)^2 Z_t\;\mathrm{d}t. \end{align*} \]

Esse é uma equações diferencial ordinária (com condição inicial aleatória) para \(Z_t,\) cuja solução é

\[ Z_t = Z_0 e^{\frac{1}{2}\int_0^t g_1(s)^2\;\mathrm{d}s}. \]

Como \(Z_0 = X_0\) e \(X_t = Z_t e^{G_t},\) obtemos a solução

\[ X_t = X_0 e^{\frac{1}{2}\int_0^t g_1(s)^2\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s}. \]

Equação estocástica linear com drift determinístico e com ruído aditivo

Considere, agora,

\[ \mathrm{d}X_t = f_0(t) \;\mathrm{d}t + g_0(t) \;\mathrm{d}W_t. \]

Novamente, a solução é simplesmente a "primitiva" do lado direito:

\[ X_t = X_0 + \int_0^t f_0(s)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_0(s) \;\mathrm{d}W_s. \]

Equação estocástica linear com drift e com ruído multiplicativo

Mais interessante, é a equação

\[ \mathrm{d}X_t = f_1(t)X_t \;\mathrm{d}t + g_1(t) X_t\;\mathrm{d}W_t. \]

Nesse caso, a solução tem a forma

\[ X_t = X_0 e^{\int_0^t \left(f_1(s) - \frac{1}{2} g_1(s)^2\right)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s}. \]

Também podemos chegar nessa fórmula via fator de integração. Aqui, vamos apenas verificar que tal processo é, de fato, a solução. Escrevemos

\[ X_t = X_0 Y_t, \quad Y_t = e^{G_t}, \]

com

\[ G_t = \int_0^t \left(f_1(s) -\frac{1}{2}g_1(s)^2\right)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s. \]

Como antes, \(\{G_t\}_{t \geq 0}\) é um processo de Itô, nesse caso satisfazendo

\[ \mathrm{d}G_t = \left(f_1(t) - \frac{1}{2}g_1(t)^2\right)\;\mathrm{d}t + g_1(t)\;\mathrm{d}W_t. \]

Assim,

\[ \begin{align*} \mathrm{d}X_t & = X_0\;\mathrm{d}Y_t = X_0e^{G_t}\;\mathrm{d}G_t + \frac{1}{2}g_1(t)^2e^{G_t}\;\mathrm{d}t \\ & = X_0e^{G_t}\left(\left(f_1(t) - \frac{1}{2}g_1(t)^2\right)\;\mathrm{d}t + g_1(t)\;\mathrm{d}W_t\right) + \frac{1}{2}g_1(t)^2e^{G_t}\;\mathrm{d}t \\ & = X_0 e^{G_t}f_1(t)\;\mathrm{d}t + X_0 e^{G_t}g_1(t)\;\mathrm{d}W_t \\ & = f_1(t) X_t\;\mathrm{d}t + g_1(t) X_t\;\mathrm{d}W_t \end{align*} \]

mostrando que \(X_t = X_0e^{G_t}\) é a solução.

Caso geral

No caso geral,

\[ \mathrm{d}X_t = (f_0(t) + f_1(t)X_t)\;\mathrm{d}t + (g_0(t) + g_1(t)X_t)\;\mathrm{d}W_t, \]

a ideia é, também, usar um fator de integracão. No caso, usar o fator \(e^{-G_t},\) onde

\[ G_t = \int_0^t f_1(s)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s. \]

Deixamos os detalhes para o leitor.

Exponencial estocástica

Um caso particular do anterior é o processo

\[ X_t = X_0 e^{\lambda W_t - \frac{1}{2}\lambda^2 t}, \]

que faz um papel semelhante ao da função \(x(t) = x_0e^{\lambda t},\) que é solução de

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \lambda x, \]

que pode ser escrita em forma diferencial como

\[ \mathrm{d}x = \lambda x \;\mathrm{d}t. \]

Na versão estocástica, \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) é solução de

\[ \mathrm{d}X_t = \lambda X_t \;\mathrm{d}W_t. \]