8.6. Resolução de equações lineares

Sabemos que a equação diferencial ordinária linear homogênea

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = b(t)x$$

tem as suas soluções da forma

$$x(t) = x(0)e^{\int_0^t b(s)\;\mathrm{d}s}.$$

Mais geralmente, usando $e^{-\int_0^t b(s)\;\mathrm{d}s}$ como fator de integração, vemos que a equação linear não homogênea

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a(t) + b(t)x$$

tem as suas soluções obtidas pela fórmula de variação de constantes,

$$x(t) = x(0)e^{\int_0^t b(s)\;\mathrm{d}s} + \int_0^t e^{\int_s^t b(\tau) \;\mathrm{d}\tau}a(s)\;\mathrm{d}s.$$

Vejamos, agora, como resolver versões estocásticas dessa equação linear.

De maneira geral, vamos ver modelos da forma

$$\mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\;\mathrm{d}t + g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t, \qquad t \geq 0,$$

com $f$ e $g$ lineares, ou seja,

$$f(t, x) = f_0(t) + f_1(t)x, \quad g(t, x) = g_0(t) + g_1(t)x.$$

Junto a isso, consideramos uma condição inicial

$$\left.X_t\right|_{t = 0} = X_0.$$

Nas seções seguintes, veremos alguns modelos clássicos que tem essa forma linear. Aqui, nos limitaremos a encontrar as soluções dessas equações.

Equação estocástica linear sem drift e com ruído aditivo

Comecemos com a equação sem drift e com ruído "aditivo",

$$\mathrm{d}X_t = g_0(t) \mathrm{d}W_t.$$

Como $\{X_t\}_{t\geq 0}$ não aparece do lado direito, a solução é simplesmente a integral de $g$:

$$X_t = X_0 + \int_0^t g_0(s) \;\mathrm{d}W_s.$$

Equação estocástica linear sem drift e com ruído multiplicativo

Mais interessante é o caso de ruído multiplicativo linear:

$$\mathrm{d}X_t = g_1(t) X_t \;\mathrm{d}W_t.$$

Nesse caso, a solução é dada por

$$X_t = X_0 e^{-\frac{1}{2}\int_0^t g_1(s)^2\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s},$$

o que pode ser verificado com a fórmula de Itô.

Se não houvesse o fator de correção da fórmula de Itô, esperaríamos obter uma solução com termo multiplicativo

$$e^{\int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s}.$$

Mas podemos tentar usar esse termo como fator de integração, para achar a soluçõa correta.

Considere, então, o processo

$$G_t = \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s,$$

que satisfaz

$$\mathrm{d}G_t = g_1(t)\;\mathrm{d}W_t,$$

e o fator de integração definido pelo processo

$$I_t = e^{-G_t}.$$

Pela fórmula de Itô, com $I_t = e^{-G_t} = f(G_t),$ onde $f(x) = e^{-x},$ temos

$$\mathrm{d}I_t = -e^{-G_t}\;\mathrm{d}G_t + \frac{1}{2}e^{-G_t}g_1(t)^2\;\mathrm{d}t = \frac{1}{2}g_1(t)^2I_t\;\mathrm{d}t - g_1(t)I_t \;\mathrm{d}W_t.$$

Assim, considerando o processo

$$Z_t = X_t I_t,$$

e usando a regra do produto de Itô,

$$\begin{align*} \mathrm{d}Z_t & = I_t\;\mathrm{d}X_t + X_t\mathrm{d}I_t - g_1(t)^2 X_t I_t \;\mathrm{d}t \\ & = I_t g_1(t) X_t\;\mathrm{d}W_t + X_t\left( \frac{1}{2}g_1(t)^2I_t\;\mathrm{d}t - g_1(t)I_t \;\mathrm{d}W_t \right) - g_1(t)^2 X_t I_t \;\mathrm{d}t \\ & = -\frac{1}{2}X_t I_t g_1(t)^2\;\mathrm{d}t \\ & = -\frac{1}{2}g_1(t)^2 Z_t\;\mathrm{d}t. \end{align*}$$

Esse é uma equação diferencial ordinária (com condição inicial aleatória) para $Z_t,$ cuja solução é

$$Z_t = Z_0 e^{-\frac{1}{2}\int_0^t g_1(s)^2\;\mathrm{d}s}.$$

Sendo $I_0 = 1,$ temos $Z_0 = X_0.$ E como $X_t = Z_t e^{G_t},$ obtemos a solução

$$X_t = X_0 e^{-\frac{1}{2}\int_0^t g_1(s)^2\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s}.$$

Equação estocástica linear com drift determinístico e com ruído aditivo

Considere, agora,

$$\mathrm{d}X_t = f_0(t) \;\mathrm{d}t + g_0(t) \;\mathrm{d}W_t.$$

Novamente, a solução é simplesmente a "primitiva" do lado direito:

$$X_t = X_0 + \int_0^t f_0(s)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_0(s) \;\mathrm{d}W_s.$$

Equação estocástica linear com drift e com ruído multiplicativo

Mais interessante, é a equação

$$\mathrm{d}X_t = f_1(t)X_t \;\mathrm{d}t + g_1(t) X_t\;\mathrm{d}W_t.$$

Nesse caso, a solução tem a forma

$$X_t = X_0 e^{\int_0^t \left(f_1(s) - \frac{1}{2} g_1(s)^2\right)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s}.$$

Também podemos chegar nessa fórmula via fator de integração. Aqui, vamos apenas verificar que tal processo é, de fato, a solução. Escrevemos

$$X_t = X_0 Y_t, \quad Y_t = e^{G_t},$$

com

$$G_t = \int_0^t \left(f_1(s) -\frac{1}{2}g_1(s)^2\right)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s.$$

Como antes, $\{G_t\}_{t \geq 0}$ é um processo de Itô, nesse caso satisfazendo

$$\mathrm{d}G_t = \left(f_1(t) - \frac{1}{2}g_1(t)^2\right)\;\mathrm{d}t + g_1(t)\;\mathrm{d}W_t.$$

Assim,

$$\begin{align*} \mathrm{d}X_t & = X_0\;\mathrm{d}Y_t = X_0e^{G_t}\;\mathrm{d}G_t + \frac{1}{2}g_1(t)^2e^{G_t}\;\mathrm{d}t \\ & = X_0e^{G_t}\left(\left(f_1(t) - \frac{1}{2}g_1(t)^2\right)\;\mathrm{d}t + g_1(t)\;\mathrm{d}W_t\right) + \frac{1}{2}g_1(t)^2e^{G_t}\;\mathrm{d}t \\ & = X_0 e^{G_t}f_1(t)\;\mathrm{d}t + X_0 e^{G_t}g_1(t)\;\mathrm{d}W_t \\ & = f_1(t) X_t\;\mathrm{d}t + g_1(t) X_t\;\mathrm{d}W_t \end{align*}$$

mostrando que $X_t = X_0e^{G_t}$ é a solução.

Caso geral

No caso geral,

$$\mathrm{d}X_t = (f_0(t) + f_1(t)X_t)\;\mathrm{d}t + (g_0(t) + g_1(t)X_t)\;\mathrm{d}W_t,$$

a ideia é, também, usar um fator de integracão. No caso, usar o fator $e^{-G_t},$ onde

$$G_t = \int_0^t f_1(s)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s.$$

Deixamos os detalhes para o leitor.

Exponencial estocástica

Um caso particular do anterior é o processo

$$X_t = X_0 e^{\lambda W_t - \frac{1}{2}\lambda^2 t},$$

que faz um papel semelhante ao da função $x(t) = x_0e^{\lambda t},$ que é solução de

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \lambda x,$$

que pode ser escrita em forma diferencial como

$$\mathrm{d}x = \lambda x \;\mathrm{d}t.$$

Na versão estocástica, $\{X_t\}_{t \geq 0}$ é solução de

$$\mathrm{d}X_t = \lambda X_t \;\mathrm{d}W_t.$$