8.6. Resolução de equações lineares

Sabemos que a equação diferencial ordinária linear homogênea

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = b(t)x \]

tem as suas soluções da forma

\[ x(t) = x(0)e^{\int_0^t b(s)\;\mathrm{d}s}. \]

Mais geralmente, a equação linear não homogênea

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a(t) + b(t)x \]

tem as suas soluções da forma

\[ x(t) = x(0)e^{\int_0^t b(s)\;\mathrm{d}s} + \int_0^t e^{\int_s^t b(\tau) \;\mathrm{d}\tau}a(s)\;\mathrm{d}s. \]

Vejamos, agora, como resolver versões estocásticas dessa equação linear.

De maneira geral, vamos ver modelos da forma

\[ \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\;\mathrm{d}t + g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t, \qquad t \geq 0, \]

com \(f\) e \(g\) lineares, ou seja,

\[ f(t, x) = f_0(t) + f_1(t)x, \quad g(t, x) = g_0(t) + g_1(t)x. \]

Junto a isso, consideramos uma condição inicial

\[ \left.X_t\right|_{t = 0} = X_0. \]

Nas seções seguintes, veremos alguns modelos clássicos que tem essa forma linear. Aqui, nos limitaremos a encontrar as soluções dessas equações.

Equação estocástica linear sem drift e com ruído aditivo

Comecemos com a equação sem drift e com ruído "aditivo",

\[ \mathrm{d}X_t = g_0(t) \mathrm{d}W_t. \]

Como \(\{X_t\}_{t\geq 0}\) não aparece do lado direito, a solução é simplesmente a integral de \(g\):

\[ X_t = X_0 + \int_0^t g_0(s) \;\mathrm{d}W_s. \]

Equação estocástica linear sem drift e com ruído multiplicativo

Mais interessante é o caso de ruído multiplicativo linear:

\[ \mathrm{d}X_t = g_1(t) X_t \;\mathrm{d}W_t. \]

Nesse caso, a solução é dada por

\[ X_t = X_0 e^{-\frac{1}{2}\int_0^t g_1(s)^2\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s}. \]

De fato, vamos verificar, primeiro, o caso com condição inicial igual \(1\),

\[ \left.\hat X_t\right|_{t = 0} = 1. \]

Nesse caso, vamos verificar que a solução tem a forma

\[ \hat X_t = e^{-\frac{1}{2}\int_0^t g_1(s)^2\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s}. \]

Usamos \(\{\hat X_t\}_{t \geq 0}\) para representar a solução com a condição initial \(\hat X_0 = 1\) e, assim, distinguir do caso mais geral.

Definindo

\[ Y_t = -\frac{1}{2}\int_0^t g_1(s)^2\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s, \]

podemos escrever a solução como

\[ \hat X_t = e^{Y_t}. \]

De outra forma, definindo a função \(u(y) = e^y\), podemos escrever

\[ \hat X_t = u(Y_y). \]

Veja que \(Y_t\) é um processo de Itô, com

\[ \mathrm{d}Y_t = - \frac{1}{2}g_1(t)^2\;\mathrm{d}t + g_1(s)\;\mathrm{d}W_t. \]

Assim, podemos aplicar a fórmula de Itô e obter

\[ \begin{align*} \mathrm{d}\hat X_t & = u'(Y_t)\;\mathrm{d}Y_t + \frac{1}{2}u''(Y_t)g_1(t)^2\;\mathrm{d}t \\ & = e^{Y_t}\;\mathrm{d}Y_t + \frac{1}{2}e^{Y_t}g_1(t)^2\;\mathrm{d}t \\ & = \hat X_t\;\mathrm{d}Y_t + \frac{1}{2}g_1(t)^2\hat X_t\;\mathrm{d}t. \end{align*} \]

Cancelando o termo comum, chegamos a

\[ \mathrm{d}\hat X_t = g_1(t)\hat X_t\;\mathrm{d}W_t, \]

mostrando que \(\{\hat X_t\}_{t \geq 0}\) é, de fato, solução.

Agora, no caso da condição inicial ser uma variável aleatória,

\[ \left. X_t \right|_{t = 0} = X_0, \]

escrevemos

\[ X_t = X_0 \hat X_t, \quad \hat X_t = u(Y_t). \]

Como \(\hat X_0 = 1\), segue que a condição inicial \(X_t|_{t = 0} = X_0\) é satisfeita. Quanto à equação diferencial, temos

\[ \mathrm{d}X_t = X_0 \mathrm{d}\hat X_t = X_0 g_1(t)\hat X_t\;\mathrm{d}W_t = g_1(t) X_t\;\mathrm{d}W_t. \]

Portanto, \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) é, de fato, a solução.

Equação estocástica linear com drift determinístico e com ruído aditivo

Considere, agora,

\[ \mathrm{d}X_t = f_0(t) \;\mathrm{d}t + g_0(t) \;\mathrm{d}W_t. \]

Novamente, a solução é simplesmente a "primitiva" do lado direito:

\[ X_t = X_0 + \int_0^t f_0(s)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_0(s) \;\mathrm{d}W_s. \]

Equação estocástica linear com drift e com ruído multiplicativo

Mais interessante, é a equação

\[ \mathrm{d}X_t = f_1(t)X_t \;\mathrm{d}t + g_1(t) X_t\;\mathrm{d}W_t. \]

Nesse caso, a solução tem a forma

\[ X_t = X_0 e^{\int_0^t \left(f_1(s) - \frac{1}{2} g_1(s)^2\right)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s}. \]

Podemos chegar nessa fórmula via fator de integração, de maneira análoga a como é feito no caso determinístico. Faremos isso em dois exemplos específicos, abaixo. Aqui, vamos apenas verificar que tal processo é, de fato, a solução. Novamente, escrevemos

\[ X_t = X_0 \hat X_t, \quad \hat X_t = e^{Y_t}, \]

com

\[ Y_t = \int_0^t \left(f_1(s) -\frac{1}{2}g_1(s)^2\right)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g_1(s)\;\mathrm{d}W_s. \]

Como antes, \(\{Y_t\}_{t \geq 0}\) é um processo de Itô, nesse caso satisfazendo

\[ \mathrm{d}Y_t = \left(f_1(t) - \frac{1}{2}g_1(t)^2\right)\;\mathrm{d}t + g_1(s)\;\mathrm{d}W_t. \]

Como antes, usando a fórmula de Itô, chegamos ao resultado. Deixamos os detalhes para o leitor.

Exponencial estocástica

Um caso particular do anterior é o processo

\[ X_t = X_0 e^{\lambda W_t - \frac{1}{2}\lambda^2 t}, \]

que faz um papel semelhante ao da função \(x(t) = x_0e^{\lambda t}\), que é solução de

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \lambda x, \]

que pode ser escrita em forma diferencial como

\[ \mathrm{d}x = \lambda x \;\mathrm{d}t. \]

Na versão estocástica, \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) é solução de

\[ \mathrm{d}X_t = \lambda X_t \;\mathrm{d}W_t. \]