6.1. Integrais de Riemann

Integral definida

Vamos considerar integrais da forma

$$Z = \int_a^b f(s, X_s) \;\mathrm{d}s,$$

onde $\{X_t\}_{t \in [a, b]}$ é um processo estocástico real definido em um intervalo $[a, b]\subset \mathbb{R}.$

Vamos considerar, inicialmente, funções e processos em que

1. $f:[a, b]\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é contínuo; e

2. Quase certamente, os caminhos amostrais de $\{X_t\}_{t\in [a,b]}$ são contínuos.

Sob essas condições, para quase todo $\omega,$ a função

$$t \mapsto f(t, X_t(\omega))$$

é contínua e limitada no intervalo compacto $t\in [a, b].$ Portanto, a sua integral de Riemann está bem definida e podemos definir $Z$ pontualmente, via essa integral:

$$Z(\omega) = \int_a^b f(s, X_s(\omega)) \;\mathrm{d}s.$$

O conjunto em que o caminho amostral não é contínuo tem medida nula e, nele, podemos definir $Z(\omega)$ como sendo zero ou qualquer outro valor. Não faz diferença, no sentido de medida.

A questão que não é imediata é se $\omega \mapsto Z(\omega),$ assim definido, é mensurável e, portanto, é uma variável aleatória. Para isso, podemos mostrar que $Z$ é o limite, quase sempre, de somas de Riemann.

Seja $M = \{t_j\}_j,$ com $a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b,$ uma partição do intervalo $[a, b]$ e defina

$$Z_M = \sum_{j=1}^{n} f(t_{j-1}, X_{t_{j-1}}(\omega)) (t_j - t_{j-1}).$$

Como $f$ é contínuo, cada $\omega \mapsto f(t_{j-1}, X_{t_{j-1}}(\omega))$ é mensurável. Como a combinação linear de funções mensuráveis é mensurável, segue que $Z_M$ é mensurável.

Finalmente, para quase todo $\omega,$ $Z_M(\omega)$ é uma soma de Riemann que converge para a integral $Z(\omega).$ Portanto, $Z_M(\omega)$ converge para $Z(\omega),$ para quase todo $\omega,$ quando a malha é refinada. Escolhendo uma sequência $\{M_k\}_k$ de malhas, com $\|M_k\| = \max_j\{t_j - t_{j-1}\} \rightarrow 0,$ quando $k\rightarrow \infty.$ Assim, vemos que $Z$ é o limite pontual de uma sequência de funções mensurávels $Z_{M_k}.$ Como o limite de funções mensuráveis reais é mensurável, segue que $Z$ é mensurável. Portanto, $Z$ é uma variável aleatória.

Exemplo

Para exemplificar, vamos examinar

$$\int_0^T W_t \;\mathrm{d}t.$$

Como os caminhos amostrais são contínuos, essa integral é dada, quase certamente, pela integral de Riemann dos caminhos. Pela unicidade dos limites, essa integral é a mesma que a integral do limite em probabilidade das somas de Riemann do processo:

$$\int_0^T W_t \;\mathrm{d}t = \lim \sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (t_j - t_{j-1}).$$

Observe que

$$\mathbb{E}\left[ \sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (t_j - t_{j-1})\right] = \sum_{j=1}^{n} \mathbb{E}\left[W_{t_{j-1}}\right] (t_j - t_{j-1}) = 0.$$

Por sua vez,

$$\begin{align*} \mathbb{E}\left[ \left(\sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (t_j - t_{j-1})\right)^2\right] & = \mathbb{E}\left[ \left(\sum_{i=1}^{n} W_{t_{i-1}} (t_i - t_{i-1})\right)\left(\sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (t_j - t_{j-1})\right)\right] \\ & = \sum_{i,j=1}^{n} \mathbb{E}\left[W_{t_{i-1}}W_{t_{j-1}}\right] (t_i - t_{i-1})(t_j - t_{j-1}) \\ & = \sum_{i,j=1}^{n} \min\{t_{i-1}, t_{j-1}\} (t_i - t_{i-1})(t_j - t_{j-1}). \end{align*}$$

No limite, isso converge para uma integral que pode ser facilmente calculada:

$$\begin{align*} \mathbb{E}\left[ \left(\sum_{j=1}^{n} W_{t_{j-1}} (t_j - t_{j-1})\right)^2\right] & \rightarrow \int_0^T\int_0^T \min\{t, s\} \;\mathrm{d}s\,\mathrm{d}t = \frac{1}{3}T^3. \end{align*}$$

Portanto,

$$\int_0^T W_t \;\mathrm{d}t$$

é uma variável aleatória com média zero e variância $T^3/3.$ Observe, finalmente, que os somatórios de Riemann são combinações lineares de variáveis aleatórias conjuntamente normais (normais multivariadas), portanto são, também, normais. No limite, obtemos uma variável aleatória normal, com média zero e variância $T^3/3.$ Ou seja,

$$\int_0^T W_t \;\mathrm{d}t \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{T^3}{3}\right).$$

Processos integrais

Sob as mesmas hipóteses em $f$ e $\{X_t\}_{t\in [a, b]},$ podemos, também, considerar as integrais

$$Z_t = \int_a^t f(s, X_s) \;\mathrm{d}s.$$

Naturalmente, $Z_a = 0.$

Para cada $t \in [a, b],$ vimos, acima, que $Z_t$ é uma variável aleatória no mesmo espaço de probabilidades do processo $\{X_t\}_{t\in [a, b]}.$ Isso faz de $\{Z_t\}_{t\in [a, b]}$ um processo contínuo.

Além disso, observe que, para quase todo $\omega,$ os caminhos amostrais de $\{Z_t\}_{t\in [a, b]}$ são dados por

$$t \mapsto Z_t(\omega) = \int_a^t f(s, X_s(\omega)) \;\mathrm{d}s.$$

Como $t \mapsto f(t, X_t(\omega))$ é contínuo, portanto, integrável, segue que cada caminho amostral é contínuo em $[a, b].$

Por exemplo,

$$Z_t = \int_0^t W_s \;\mathrm{d}s, \quad t \geq 0,$$

nos dá um processo estocástico Gaussiano $\{Z_t\}_t,$ cujas marginais tem média zero e variância $t^3/3.$

Teorema fundamental

Seja, agora, $\{Z_t\}_{t\in [a,b]}$ um processo estocástico com caminhos continuamente diferenciáveis, i.e. tais que, quase sempre, existe o limite

$$X_t(\omega) = \frac{\mathrm{d}Z_t}{\mathrm{d}t}(\omega) = \lim_{\tau \rightarrow 0} \frac{Z_{t+\tau}(\omega) - Z_t(\omega)}{\tau}$$

para todo $t\in [a, b],$ com $t \mapsto X_t(\omega)$ contínuo.

As variáveis $X_t$ são obtidas como limites pontuais de variáveis aleatórias, portanto são também variáveis aleatórias, já que o limite de funções reais mensuráveis é mensurável. Dessa forma, $\{X_t\}_{t\in [a, b]}$ é um processo estocástico. Além disso, por hipótese, os seus caminhos amostrais são contínuos. Com isso, a integral de $X_t$ está bem definida.

Finalmente, para cada $\omega,$ podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e obter

$$Z_t = \int_0^t X_s \;\mathrm{d}s = \int_0^t \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Z_s \;\mathrm{d}s.$$

Integração por partes

Se $\{X_t\}_t$ e $\{Y_t\}_t$ são processos diferenciáveis, então $\{X_tY_t\}_t$ também é diferenciável, com

$$X_TY_T = X_0Y_0 + \int_0^T \left(\frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t}Y_t + X_t \frac{\mathrm{d}Y_t}{\mathrm{d}t}\right) \;\mathrm{d}t.$$

Portanto, vale a fórmula de integração por partes

$$\int_0^T \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t}Y_t \;\mathrm{d}t = X_TY_T - X_0Y_0 - \int_0^T X_t \frac{\mathrm{d}Y_t}{\mathrm{d}t} \;\mathrm{d}t$$

Integrais em outros sentidos

Podemos estender a integração acima em vários sentidos. Primeiramente, podemos manter a regularidade em $f$ e relaxar a condição de continuidade quase certamente dos caminhos amostrais. Podemos pedir, por exemplo, que $\{X_t\}_{t \in [a, b]}$ tenha média quadrática finita, i.e.

$$\int_a^b \mathbb{E}\left[X_t^2\right] \;\mathrm{d}t < \infty.$$

Nesse caso, aproximamos o processo por processos contínuos, usando, por exemplo, molificação (convolução com uma aproximação da identidade), definimos a integral para esses aproximações contínuas e tomamos o limite das integrais.

Em outra direção, podemos relaxar as condições em $f.$ Podemos pedir, por exemplo, que $t \mapsto f(t, X_t(\omega))$ seja integrável a Riemann, sem necessariamente ser contínua. Também podemos pedir que seja apenas integrável à Lebesgue. Isso nos permite definir $Z(\omega)$ pontualmente. A questão mais delicada passa a ser se $Z$ é mensurável.

Uma solução mais geral para isso é não pensar em definir através de caminhos, mas através da integração de uma função. Isso nos leva ao conceito de

$$Z = \int_a^b f(s, X_s) \;\mathrm{d}s,$$

como integral de Bochner. A ideia é enxergar $s \mapsto f(x, X_s)$ como uma função de $r$ em algum espaço de Banach (espaço normado completo), como $L^2(\Omega),$ cuja norma é a da média quadrática. Buscamos, então, aproximar o integrando $s \mapsto f(s, X_s)$ por funções passo e definir a integral como uma integral de Lebesgue com valores em $L^2(\Omega).$ Essa teoria é bem mais delicada e não nos aprofundaremos nos detalhes. Um aspecto importante é que, sob as devidas condições, a integral é um limite de somas de funções simples:

$$Z = \lim_n \sum_{j=1}^n f_j^n \chi_{E_j^n}(s) \;\mathrm{d}s,$$

onde $f_j^n = f_j^n(\omega)$ são mensuráveis em $L^2(\Omega)$ (i.e. de média quadrádica finita). As funções simples $f^n = \sum_j f_j^n \chi_{E_j^n}$ aproximam $t \mapsto f(t, X_t).$ O limite acime é no sentido de média quadrática.

$$\mathbb{P}\left( \left( Z - \sum_{j=1}^n f_j^n \chi_{E_j^n}(s) \;\mathrm{d}s\right)^2\right) \rightarrow 0.$$