10.10. Convergência fraca do método de Euler-Maruyama

Para a convergência fraca, buscamos mostrar que

\[ \max_{j=1, \ldots, n} |\mathbb{E}[\Phi(X_{t_j})] - \mathbb{E}[\Phi(X_j^n)]| \rightarrow 0, \]

quando \(n\rightarrow \infty,\) para uma classe apropriada de funções \(\Phi.\) Mais ainda, buscamos estimar a ordem de convergência. Faremos isso no caso do método de Euler-Maruyama, mostrando a convergência de ordem 1, sob hipóteses adequadas nos termos da equação.

Contexto

Para simplificar, consideramos uma equação estocástica autônoma, ou seja,

\[ \mathrm{d}X_t = f(X_t)\;\mathrm{d}t + g(X_t)\;\mathrm{d}W_t, \]

com condição inicial determinística

\[ X_0 = x_0. \]

Convergência forte implica em convergência fraca

Suponha que tenhamos a convergência forte, em média quadrática, de ordem \(p,\) de alguma aproximação \(\{X_j^n\}_j\) da solução \(\{X_t\}_t.\) Nesse caso,

\[ \max_{j=0, \ldots, n} \mathbb{E}[|X_{t_j} - X_j^n|^2] \leq C^2\Delta t^{2p}, \]

para \(C, p \geq 0\) apropriados. Suponha ainda que \(\Phi\) (ou uma classe de tais funções) satisfaça

\[ |\Phi(x) - \Phi(y)| \leq L(1 + |x|^k + |y|^k)|x - y|, \]

para certos \(L, k\geq 0.\) Nesse caso, podemos estimar o erro fraco da seguinte forma.

\[ \begin{align*} \left|\mathbb{E}[\Phi(X_{t_j})] - \mathbb{E}[\Phi(X_j^n)] \right| & \leq \mathbb{E}\left[|\Phi(X_{t_j}) -\Phi(X_j^n)|\right] \\ & \leq L\mathbb{E}\left[ (1 + |X_{t_j}|^k + |X_j^n|^k)|X_{t_j} - X_j^n|\right] \\ & \leq L\mathbb{E}\left[ (1 + |X_{t_j}|^k + |X_j^n|^k)^2\right]^{1/2}\mathbb{E}\left[|X_{t_j} - X_j^n|^2\right]^{1/2} \end{align*} \]

Supondo que os momentos de ordem \(k\) da solução e da aproximação sejam limitados, obtemos um \(K>0\) tal que

\[ \left|\mathbb{E}[\Phi(X_{t_j})] - \mathbb{E}[\Phi(X_j^n)] \right| \leq LK\mathbb{E}\left[|X_{t_j} - X_j^n|^2\right]^{1/2} \leq LKC \Delta t^p, \]

mostrando a convergência fraca também de ordem \(p.\)

No entanto, é possível estimar a ordem fraca de maneira diferente e, em muitos casos, conseguir a convergência fraca com uma ordem de convergência melhor ou mesmo obter convergência fraca sem que haja convergência forte.

Fórmula de Feynman-Kac

Em muitos casos práticos, conhecemos o valor atual \(X_\tau = \xi\) de um de um processo estocástico e queremos estimar o valor esperado \(\mathbb{E}[X_T; X_\tau = \xi]\) em um tempo futuro \(T > \tau,\) ou, mais geralmente, \(\mathbb{E}[\Phi(X_T); X_\tau = \xi],\) para algum momento \(\Phi.\) Lembremos que isso pode ser feito através da fórmula de Feynman-Kac.

Considerando a equação diferencial estocástica

\[ \mathrm{d}X_t = f(X_t)\;\mathrm{d}t + g(X_t)\;\mathrm{d}W_t, \]

com condição inicial

\[ X_\tau = \xi \]

dada em um instante \(\tau\in\mathbb{R},\) podemos encontrar o momento

\[ \mathbb{E}[\Phi(X_T); X_\tau = \xi] \]

em um instante futuro \(T > \tau,\) para alguma \(\Phi\) dada, resolvendo a EDP

\[ u_t(t, x) + u_x(t, x)f(x) = - \frac{1}{2}u_{xx}(t, x)g(x)^2, \]

no intervalo \(\tau \leq t \leq T,\) em \(x\in \mathbb{R},\) dada a condição final

\[ u(T, x) = \Phi(x), \]

em \(x\in\mathbb{R},\) e encontrando

\[ \mathbb{E}[\Phi(X_T); X_\tau = \xi] = u(\tau, \xi). \]

Essa é a fórmula de Feynman-Kac.

Erro fraco

O que a fórmula de Feynman-Kac tem a ver com o erro fraco? No erro fraco, queremos estimar

\[ \max_{j=1, \ldots, n} |\mathbb{E}[\Phi(X_{t_j})] - \mathbb{E}[\Phi(X_j^n)]|. \]

Para simplificar, podemos olhar para o erro fraco só no instante final, \(j = n,\) em que \(t_j = t_n = T\) e o erro se torna

\[ |\mathbb{E}[\Phi(X_T)] - \mathbb{E}[\Phi(X_n^n)]|. \]

O primeiro termo pode ser visto através da fórmula de Feynman-Kac. Para o segundo, a ideia é aplicar a fórmula de Itô à seguinte interpolação da aproximação de Euler-Maruyama:

\[ {\hat X}_t^n = X_0 + \int_0^t f(X_{\tau^n(s)}^n) \;\mathrm{d}s + \int_0^t g(X_{\tau^n(s)}^n)\;\mathrm{d}W_s, \quad t \geq 0, \]

onde \(\tau^n\) é a função de malha

\[ \tau^n(s) = \max\{t_j \leq s, j = 0, \ldots, n\}, \]

definida para \(s\geq 0.\) Para facilitar a notação, vamos considerar, também, a interpolação constante por partes

\[ {\bar X}_t^n = X_{\tau^n(t)}^n, \quad t \geq 0. \]

Assim, podemos escrever

\[ {\hat X}_t^n = X_0 + \int_0^t f({\bar X}_s^n) \;\mathrm{d}s + \int_0^t g({\bar X}_s^n)\;\mathrm{d}W_s. \]

Pela fórmula de Itô,

\[ \begin{align*} u(T, {\hat X}_T^n) & = u(0, {\hat X}_0^n) + \int_0^T \left(u_t(t, {\hat X}_t^n) + u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\bar X}_t^n) + \frac{1}{2}u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\bar X}_t^n)^2\right)\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \int_0^T u_x(t, {\hat X}_t^n)g({\bar X}_t^n)\;\mathrm{d}W_t. \end{align*} \]

De acordo com a EDP,

\[ u_t(t, {\hat X}_t^n) = - u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\hat X}_t^n) - \frac{1}{2}u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\hat X}_t^n)^2. \]

Substituindo o primeiro termo do integrando por essa expressão do lado direito, obtemos

\[ \begin{align*} u(T, {\hat X}_T^n) & = u(0, {\hat X}_0^n) + \int_0^T \left(u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\bar X}_t^n) - u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\hat X}_t^n)\right)\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \int_0^T \left(\frac{1}{2}u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\bar X}_t^n)^2 - \frac{1}{2}u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\hat X}_t^n)^2\right)\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \int_0^T u_x(t, {\hat X}_t^n)g({\bar X}_t^n)\;\mathrm{d}W_t. \end{align*} \]

Tomando a valor esperado,

\[ \begin{align*} \mathbb{E}[u(T, {\hat X}_T^n)] & = \mathbb{E}[u(0, {\hat X}_0^n)] + \int_0^T \mathbb{E}\left[u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\bar X}_t^n) - u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\hat X}_t^n)\right]\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \frac{1}{2}\int_0^T \mathbb{E}\left[u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\bar X}_t^n)^2 - u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\hat X}_t^n)^2\right]\;\mathrm{d}t \end{align*} \]

Por construção,

\[ u(T, {\hat X}_T^n) = \Phi({\hat X}_T^n). \]

Além disso, pela fórmula de Feynman-Kac, como a condição inicial é em \(\tau = 0,\) temos

\[ u(0, X_0) = \mathbb{E}[\Phi(X_T)]. \]

Assim,

\[ \begin{align*} \mathbb{E}[\Phi({\hat X}_T^m)] - \mathbb{E}[\Phi(X_T)] & = \int_0^T \mathbb{E}\left[u_x(t, {\hat X}_t^n)(f({\bar X}_t^n) - f({\hat X}_t^n))\right]\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \frac{1}{2}\int_0^T \mathbb{E}\left[u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)(g({\bar X}_t^n)^2 - g({\hat X}_t^n)^2)\right]\;\mathrm{d}t. \end{align*} \]

Agora precisamos estimar os erros do lado direito.

A estimativa aparentemente mais natural é usar, novamente, a hipótese de continuidade Lipschitz global de \(f\) e \(g\) e estimar esses termos em função de \(\mathbb{E}[|{\hat X}_t^n - {\bar X}_t^n|^2].\) Mas, novamente, isso nos levará a mesma ordem da convergência forte, que no caso de Euler-Maruyama é 1/2. Queremos uma estimativa mais esperta, para obter uma estimativa mais precisa da ordem.

Isso é obtido aplicando-se novamente a fórmula de Itô, nesse caso aos termos

\[ f({\hat X}_t^n) - f({\bar X}_t^n), \qquad g({\hat X}_t^n)^2 - g({\bar X}_t^n)^2. \]

Em cada subintervalo \([t_{j-1}, t_j],\) temos \({\bar X}_t^n = {\bar X}_{t_{j-1}}^n = X_{j-1}^n = {\hat X}_{\tau^n(t)}^n\) constante, de modo que podemos olhar para

\[ f({\hat X}_t^n) - f({\hat X}_{\tau^n(t)}^n), \qquad g({\hat X}_t^n)^2 - g({\hat X}_{\tau^n(t)}^n)^2. \]

Aplicando a fórmula de Itô a \(f({\hat X}_t^n)\) e a \(g({\hat X}_t^n)^2\) de \(\tau^n(t)\) a \(t,\) obtemos

\[ \begin{align*} f({\hat X}_t^n) - f({\hat X}_{\tau^n(t)}^n) & = \int_{\tau^n(t)}^t \left( f'({\hat X}_s^n)f({\hat X}_s^n) + \frac{1}{2}f''({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)^2 \right)\;\mathrm{d}s \\ & \qquad \qquad + \int_{\tau^n(t)}^t f'({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n) \;\mathrm{d}W_s \end{align*} \]

e

\[ \begin{align*} g({\hat X}_t^n)^2 - g({\hat X}_{\tau^n(t)}^n)^2 & = \int_{\tau^n(t)}^t \left( 2g'({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)f({\hat X}_s^n) + g'({\hat X}_s^n)^2g({\hat X}_s^n)^2 + g''({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)^3 \right)\;\mathrm{d}s \\ & \qquad \qquad + \int_{\tau^n(t)}^t 2g'({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)^2 \;\mathrm{d}W_s. \end{align*} \]

Substituindo isso na fórmula acima, a esperança da integral estocástica se anula e sobra

\[ \begin{align*} \mathbb{E}[\Phi({\hat X}_T^m)] - \mathbb{E}[\Phi(X_T)] & = \int_0^T \int_{\tau^n(t)}^t \mathbb{E}\left[u_x(t, {\hat X}_t^n)A_s\right]\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \frac{1}{2}\int_0^T \int_{\tau^n(t)}^t \mathbb{E}\left[u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)B_s\right]\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t, \end{align*} \]

para

\[ A_s = f'({\hat X}_s^n)f({\hat X}_s^n) + \frac{1}{2}f''({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)^2, \quad B_s = 2g'({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)f({\hat X}_s^n) + g'({\hat X}_s^n)^2g({\hat X}_s^n)^2 + g''({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)^3. \]

Assumindo que podemos limitar

\[ \left|\mathbb{E}\left[u_x(t, {\hat X}_t^n)A_s\right]\right| \leq C_1 \]

e

\[ \left|\mathbb{E}\left[u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)B_s\right]\right| \leq C_2, \]

uniformemente em \(t\) e \(s,\) obtemos

\[ \left|\mathbb{E}[\Phi({\hat X}_T^m)] - \mathbb{E}[\Phi(X_T)]\right| \leq \int_0^T \int_{\tau^n(t)}^t (C_1 + C_2)\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t \leq (C_1 + C_2)T\Delta t, \]

nos dando a convergência frace de ordem \(1.\)

Outra estimativa

Uma outra maneira, feita em Higham & Kloeden (2021), é aplicar a fórmula de Itô a

\[ u_x(t, {\hat X}_t^n)(f({\hat X}_t^n) - f({\bar X}_t^n)), \qquad u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)(g({\hat X}_t^n)^2 - g({\bar X}_t^n)^2). \]

Em cada subintervalo \([t_{j-1}, t_j],\) temos \({\bar X}_t^n = {\bar X}_{t_{j-1}}^n = X_{j-1}^n\) constante, de modo que podemos olhar para

\[ e_{j-1}(t, x) = u_x(t, x)(f(x) - f(X_{j-1}^n)) \]

e analogamente para o termo envolvendo \(g.\) Observe que

\[ e_{j-1}(t_{j-1}, {\hat X}_{t_{j-1}}^n) = u_x(t_{j-1}, {\hat X}_{t_{j-1}}^n)(f({\hat X}_{t_{j-1}}^n) - f({\bar X}_{t_{j-1}}^n)) = 0, \]

já que \({\hat X}_{t_{j-1}}^n = {\bar X}_{t_{j-1}}^n = X_{j-1}^n\) coincidem. Assim, pela fórmula de Itô,

\[ e_{j-1}(t, {\hat X}_t^n) = \int_0^t L_0(s) e_{j-1}(s, {\hat X}_s^n) \;\mathrm{d}s + \int_0^t L_1(s) e_{j-1}(s, {\hat X}_s^n)\;\mathrm{d}W_s, \]

onde \(L_0(t)\) e \(L_1(t)\) são operadores diferenciais definidos por

\[ L_0(t) = \partial_t + f({\hat X}_t^n)\partial_x + \frac{1}{2}g({\hat X}_t^n)^2 \partial_{xx}, \qquad L_1(t) = g({\hat X}_t^n)^2\partial_x. \]

Ao tomarmos o valor esperado, a integral de Itô, que é o termo problemático de ordem \(\Delta t^{1/2},\) desaparece e ficamos apenas com

\[ \mathbb{E}[e_{j-1}(t, {\hat X}_t^n)] = \int_{t_{j-1}}^t \mathbb{E}\left[ L_0(s) e_{j-1}(s, {\hat X}_s^n)\right] \;\mathrm{d}s. \]

Assumindo-se que o integrando seja limitado no intervalo \([0, T]\) por uma constante \(K_{\Phi, T},\) obtemos a estimativa de ordem 1

\[ \left| \mathbb{E}[e_{j-1}(t, {\hat X}_t^n)] \right| \leq K_{\Phi, T} \Delta t. \]

Idem para o termo em \(g,\) para o qual assumimos uma limitação com a mesma constante, para simplificar a notação. Isso nos dá, após a integração entre \(0\) e \(t,\) que

\[ \left|\mathbb{E}[\Phi({\hat X}_T^n)] - \mathbb{E}[\Phi(X_T)]\right| \leq 2K_{\Phi, T} \Delta t. \]

Isso nos dá a convergência fraca de ordem 1, do método de Euler-Maruyama.

Condições

As limitações uniformes exigidas acima passam por (i) mostrarmos que as normas \(L^p\) da solução da equação parabólica são controladas pela norma \(L^p\) da "condição final" \(\Phi\); (ii) por assumirmos que \(\Phi\) tem um crescimento polinomial (apropriado para qualquer momento que queiramos estimar); (iii) por mostrarmos que, sob a hipótese de continuidade Lipschitz global de \(f\) e \(g,\) os momentos tanto da solução da equação estocástica quando das aproximações numéricas são controlados pelo momento da condição inicial \(X_0\); e, por fim, (iv) por assumirmos que os momentos da condição inicial são finitos. Não entraremos em detalhes nesses itens.