10.10. Convergência fraca do método de Euler-Maruyama

Para a convergência fraca, buscamos mostrar que

$$\max_{j=1, \ldots, n} |\mathbb{E}[\Phi(X_{t_j})] - \mathbb{E}[\Phi(X_j^n)]| \rightarrow 0,$$

quando $n\rightarrow \infty,$ para uma classe apropriada de funções $\Phi.$ Mais ainda, buscamos estimar a ordem de convergência. Faremos isso no caso do método de Euler-Maruyama, mostrando a convergência de ordem 1, sob hipóteses adequadas nos termos da equação.

Contexto

Para simplificar, consideramos uma equação estocástica autônoma, ou seja,

$$\mathrm{d}X_t = f(X_t)\;\mathrm{d}t + g(X_t)\;\mathrm{d}W_t,$$

com condição inicial determinística

$$X_0 = x_0.$$

Convergência forte implica em convergência fraca

Suponha que tenhamos a convergência forte, em média quadrática, de ordem $p,$ de alguma aproximação $\{X_j^n\}_j$ da solução $\{X_t\}_t.$ Nesse caso,

$$\max_{j=0, \ldots, n} \mathbb{E}[|X_{t_j} - X_j^n|^2] \leq C^2\Delta t^{2p},$$

para $C, p \geq 0$ apropriados. Suponha ainda que $\Phi$ (ou uma classe de tais funções) satisfaça

$$|\Phi(x) - \Phi(y)| \leq L(1 + |x|^k + |y|^k)|x - y|,$$

para certos $L, k\geq 0.$ Nesse caso, podemos estimar o erro fraco da seguinte forma.

$$\begin{align*} \left|\mathbb{E}[\Phi(X_{t_j})] - \mathbb{E}[\Phi(X_j^n)] \right| & \leq \mathbb{E}\left[|\Phi(X_{t_j}) -\Phi(X_j^n)|\right] \\ & \leq L\mathbb{E}\left[ (1 + |X_{t_j}|^k + |X_j^n|^k)|X_{t_j} - X_j^n|\right] \\ & \leq L\mathbb{E}\left[ (1 + |X_{t_j}|^k + |X_j^n|^k)^2\right]^{1/2}\mathbb{E}\left[|X_{t_j} - X_j^n|^2\right]^{1/2} \end{align*}$$

Supondo que os momentos de ordem $k$ da solução e da aproximação sejam limitados, obtemos um $K>0$ tal que

$$\left|\mathbb{E}[\Phi(X_{t_j})] - \mathbb{E}[\Phi(X_j^n)] \right| \leq LK\mathbb{E}\left[|X_{t_j} - X_j^n|^2\right]^{1/2} \leq LKC \Delta t^p,$$

mostrando a convergência fraca também de ordem $p.$

No entanto, é possível estimar a ordem fraca de maneira diferente e, em muitos casos, conseguir a convergência fraca com uma ordem de convergência melhor ou mesmo obter convergência fraca sem que haja convergência forte.

Fórmula de Feynman-Kac

Em muitos casos práticos, conhecemos o valor atual $X_\tau = \xi$ de um de um processo estocástico e queremos estimar o valor esperado $\mathbb{E}[X_T; X_\tau = \xi]$ em um tempo futuro $T > \tau,$ ou, mais geralmente, $\mathbb{E}[\Phi(X_T); X_\tau = \xi],$ para algum momento $\Phi.$ Lembremos que isso pode ser feito através da fórmula de Feynman-Kac.

Considerando a equação diferencial estocástica

$$\mathrm{d}X_t = f(X_t)\;\mathrm{d}t + g(X_t)\;\mathrm{d}W_t,$$

com condição inicial

$$X_\tau = \xi$$

dada em um instante $\tau\in\mathbb{R},$ podemos encontrar o momento

$$\mathbb{E}[\Phi(X_T); X_\tau = \xi]$$

em um instante futuro $T > \tau,$ para alguma $\Phi$ dada, resolvendo a EDP

$$u_t(t, x) + u_x(t, x)f(x) = - \frac{1}{2}u_{xx}(t, x)g(x)^2,$$

no intervalo $\tau \leq t \leq T,$ em $x\in \mathbb{R},$ dada a condição final

$$u(T, x) = \Phi(x),$$

em $x\in\mathbb{R},$ e encontrando

$$\mathbb{E}[\Phi(X_T); X_\tau = \xi] = u(\tau, \xi).$$

Essa é a fórmula de Feynman-Kac.

Erro fraco

O que a fórmula de Feynman-Kac tem a ver com o erro fraco? No erro fraco, queremos estimar

$$\max_{j=1, \ldots, n} |\mathbb{E}[\Phi(X_{t_j})] - \mathbb{E}[\Phi(X_j^n)]|.$$

Para simplificar, podemos olhar para o erro fraco só no instante final, $j = n,$ em que $t_j = t_n = T$ e o erro se torna

$$|\mathbb{E}[\Phi(X_T)] - \mathbb{E}[\Phi(X_n^n)]|.$$

O primeiro termo pode ser visto através da fórmula de Feynman-Kac. Para o segundo, a ideia é aplicar a fórmula de Itô à seguinte interpolação da aproximação de Euler-Maruyama:

$${\hat X}_t^n = X_0 + \int_0^t f(X_{\tau^n(s)}^n) \;\mathrm{d}s + \int_0^t g(X_{\tau^n(s)}^n)\;\mathrm{d}W_s, \quad t \geq 0,$$

onde $\tau^n$ é a função de malha

$$\tau^n(s) = \max\{t_j \leq s, j = 0, \ldots, n\},$$

definida para $s\geq 0.$ Para facilitar a notação, vamos considerar, também, a interpolação constante por partes

$${\bar X}_t^n = X_{\tau^n(t)}^n, \quad t \geq 0.$$

Assim, podemos escrever

$${\hat X}_t^n = X_0 + \int_0^t f({\bar X}_s^n) \;\mathrm{d}s + \int_0^t g({\bar X}_s^n)\;\mathrm{d}W_s.$$

Pela fórmula de Itô,

$$\begin{align*} u(T, {\hat X}_T^n) & = u(0, {\hat X}_0^n) + \int_0^T \left(u_t(t, {\hat X}_t^n) + u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\bar X}_t^n) + \frac{1}{2}u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\bar X}_t^n)^2\right)\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \int_0^T u_x(t, {\hat X}_t^n)g({\bar X}_t^n)\;\mathrm{d}W_t. \end{align*}$$

De acordo com a EDP,

$$u_t(t, {\hat X}_t^n) = - u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\hat X}_t^n) - \frac{1}{2}u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\hat X}_t^n)^2.$$

Substituindo o primeiro termo do integrando por essa expressão do lado direito, obtemos

$$\begin{align*} u(T, {\hat X}_T^n) & = u(0, {\hat X}_0^n) + \int_0^T \left(u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\bar X}_t^n) - u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\hat X}_t^n)\right)\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \int_0^T \left(\frac{1}{2}u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\bar X}_t^n)^2 - \frac{1}{2}u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\hat X}_t^n)^2\right)\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \int_0^T u_x(t, {\hat X}_t^n)g({\bar X}_t^n)\;\mathrm{d}W_t. \end{align*}$$

Tomando a valor esperado,

$$\begin{align*} \mathbb{E}[u(T, {\hat X}_T^n)] & = \mathbb{E}[u(0, {\hat X}_0^n)] + \int_0^T \mathbb{E}\left[u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\bar X}_t^n) - u_x(t, {\hat X}_t^n)f({\hat X}_t^n)\right]\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \frac{1}{2}\int_0^T \mathbb{E}\left[u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\bar X}_t^n)^2 - u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)g({\hat X}_t^n)^2\right]\;\mathrm{d}t \end{align*}$$

Por construção,

$$u(T, {\hat X}_T^n) = \Phi({\hat X}_T^n).$$

Além disso, pela fórmula de Feynman-Kac, como a condição inicial é em $\tau = 0,$ temos

$$u(0, X_0) = \mathbb{E}[\Phi(X_T)].$$

Assim,

$$\begin{align*} \mathbb{E}[\Phi({\hat X}_T^m)] - \mathbb{E}[\Phi(X_T)] & = \int_0^T \mathbb{E}\left[u_x(t, {\hat X}_t^n)(f({\bar X}_t^n) - f({\hat X}_t^n))\right]\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \frac{1}{2}\int_0^T \mathbb{E}\left[u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)(g({\bar X}_t^n)^2 - g({\hat X}_t^n)^2)\right]\;\mathrm{d}t. \end{align*}$$

Agora precisamos estimar os erros do lado direito.

A estimativa aparentemente mais natural é usar, novamente, a hipótese de continuidade Lipschitz global de $f$ e $g$ e estimar esses termos em função de $\mathbb{E}[|{\hat X}_t^n - {\bar X}_t^n|^2].$ Mas, novamente, isso nos levará a mesma ordem da convergência forte, que no caso de Euler-Maruyama é 1/2. Queremos uma estimativa mais esperta, para obter uma estimativa mais precisa da ordem.

Isso é obtido aplicando-se novamente a fórmula de Itô, nesse caso aos termos

$$f({\hat X}_t^n) - f({\bar X}_t^n), \qquad g({\hat X}_t^n)^2 - g({\bar X}_t^n)^2.$$

Em cada subintervalo $[t_{j-1}, t_j],$ temos ${\bar X}_t^n = {\bar X}_{t_{j-1}}^n = X_{j-1}^n = {\hat X}_{\tau^n(t)}^n$ constante, de modo que podemos olhar para

$$f({\hat X}_t^n) - f({\hat X}_{\tau^n(t)}^n), \qquad g({\hat X}_t^n)^2 - g({\hat X}_{\tau^n(t)}^n)^2.$$

Aplicando a fórmula de Itô a $f({\hat X}_t^n)$ e a $g({\hat X}_t^n)^2$ de $\tau^n(t)$ a $t,$ obtemos

$$\begin{align*} f({\hat X}_t^n) - f({\hat X}_{\tau^n(t)}^n) & = \int_{\tau^n(t)}^t \left( f'({\hat X}_s^n)f({\hat X}_s^n) + \frac{1}{2}f''({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)^2 \right)\;\mathrm{d}s \\ & \qquad \qquad + \int_{\tau^n(t)}^t f'({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n) \;\mathrm{d}W_s \end{align*}$$

e

$$\begin{align*} g({\hat X}_t^n)^2 - g({\hat X}_{\tau^n(t)}^n)^2 & = \int_{\tau^n(t)}^t \left( 2g'({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)f({\hat X}_s^n) + g'({\hat X}_s^n)^2g({\hat X}_s^n)^2 + g''({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)^3 \right)\;\mathrm{d}s \\ & \qquad \qquad + \int_{\tau^n(t)}^t 2g'({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)^2 \;\mathrm{d}W_s. \end{align*}$$

Substituindo isso na fórmula acima, a esperança da integral estocástica se anula e sobra

$$\begin{align*} \mathbb{E}[\Phi({\hat X}_T^m)] - \mathbb{E}[\Phi(X_T)] & = \int_0^T \int_{\tau^n(t)}^t \mathbb{E}\left[u_x(t, {\hat X}_t^n)A_s\right]\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t \\ & \qquad + \frac{1}{2}\int_0^T \int_{\tau^n(t)}^t \mathbb{E}\left[u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)B_s\right]\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t, \end{align*}$$

para

$$A_s = f'({\hat X}_s^n)f({\hat X}_s^n) + \frac{1}{2}f''({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)^2, \quad B_s = 2g'({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)f({\hat X}_s^n) + g'({\hat X}_s^n)^2g({\hat X}_s^n)^2 + g''({\hat X}_s^n)g({\hat X}_s^n)^3.$$

Assumindo que podemos limitar

$$\left|\mathbb{E}\left[u_x(t, {\hat X}_t^n)A_s\right]\right| \leq C_1$$

e

$$\left|\mathbb{E}\left[u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)B_s\right]\right| \leq C_2,$$

uniformemente em $t$ e $s,$ obtemos

$$\left|\mathbb{E}[\Phi({\hat X}_T^m)] - \mathbb{E}[\Phi(X_T)]\right| \leq \int_0^T \int_{\tau^n(t)}^t (C_1 + C_2)\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t \leq (C_1 + C_2)T\Delta t,$$

nos dando a convergência frace de ordem $1.$

Outra estimativa

Uma outra maneira, feita em Higham & Kloeden (2021), é aplicar a fórmula de Itô a

$$u_x(t, {\hat X}_t^n)(f({\hat X}_t^n) - f({\bar X}_t^n)), \qquad u_{xx}(t, {\hat X}_t^n)(g({\hat X}_t^n)^2 - g({\bar X}_t^n)^2).$$

Em cada subintervalo $[t_{j-1}, t_j],$ temos ${\bar X}_t^n = {\bar X}_{t_{j-1}}^n = X_{j-1}^n$ constante, de modo que podemos olhar para

$$e_{j-1}(t, x) = u_x(t, x)(f(x) - f(X_{j-1}^n))$$

e analogamente para o termo envolvendo $g.$ Observe que

$$e_{j-1}(t_{j-1}, {\hat X}_{t_{j-1}}^n) = u_x(t_{j-1}, {\hat X}_{t_{j-1}}^n)(f({\hat X}_{t_{j-1}}^n) - f({\bar X}_{t_{j-1}}^n)) = 0,$$

já que ${\hat X}_{t_{j-1}}^n = {\bar X}_{t_{j-1}}^n = X_{j-1}^n$ coincidem. Assim, pela fórmula de Itô,

$$e_{j-1}(t, {\hat X}_t^n) = \int_0^t L_0(s) e_{j-1}(s, {\hat X}_s^n) \;\mathrm{d}s + \int_0^t L_1(s) e_{j-1}(s, {\hat X}_s^n)\;\mathrm{d}W_s,$$

onde $L_0(t)$ e $L_1(t)$ são operadores diferenciais definidos por

$$L_0(t) = \partial_t + f({\hat X}_t^n)\partial_x + \frac{1}{2}g({\hat X}_t^n)^2 \partial_{xx}, \qquad L_1(t) = g({\hat X}_t^n)^2\partial_x.$$

Ao tomarmos o valor esperado, a integral de Itô, que é o termo problemático de ordem $\Delta t^{1/2},$ desaparece e ficamos apenas com

$$\mathbb{E}[e_{j-1}(t, {\hat X}_t^n)] = \int_{t_{j-1}}^t \mathbb{E}\left[ L_0(s) e_{j-1}(s, {\hat X}_s^n)\right] \;\mathrm{d}s.$$

Assumindo-se que o integrando seja limitado no intervalo $[0, T]$ por uma constante $K_{\Phi, T},$ obtemos a estimativa de ordem 1

$$\left| \mathbb{E}[e_{j-1}(t, {\hat X}_t^n)] \right| \leq K_{\Phi, T} \Delta t.$$

Idem para o termo em $g,$ para o qual assumimos uma limitação com a mesma constante, para simplificar a notação. Isso nos dá, após a integração entre $0$ e $t,$ que

$$\left|\mathbb{E}[\Phi({\hat X}_T^n)] - \mathbb{E}[\Phi(X_T)]\right| \leq 2K_{\Phi, T} \Delta t.$$

Isso nos dá a convergência fraca de ordem 1, do método de Euler-Maruyama.

Condições

As limitações uniformes exigidas acima passam por (i) mostrarmos que as normas $L^p$ da solução da equação parabólica são controladas pela norma $L^p$ da "condição final" $\Phi$; (ii) por assumirmos que $\Phi$ tem um crescimento polinomial (apropriado para qualquer momento que queiramos estimar); (iii) por mostrarmos que, sob a hipótese de continuidade Lipschitz global de $f$ e $g,$ os momentos tanto da solução da equação estocástica quando das aproximações numéricas são controlados pelo momento da condição inicial $X_0$; e, por fim, (iv) por assumirmos que os momentos da condição inicial são finitos. Não entraremos em detalhes nesses itens.