8.12. Relações entre equações estocásticas e equações aleatórias

Em muitas situações, é possível transformar uma equação estocástica em uma aleatória, e vice-versa.

De equações aleatórias para estocásticas

Considere uma equação diferencial aleatória da forma

\[ \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = f(t, X_t, \Lambda_t), \]

e suponha que o processo \(\{\Lambda_t\}_t\) seja um processo de Itô satisfazendo uma equação diferencial estocástica

\[ \mathrm{d}\Lambda_t = a(t, \Lambda_t)\mathrm{d}t + \sigma(t, \Lambda_t)\mathrm{d}W_t, \]

para um dado processo de Wiener \(\{W_t\}_t.\)

Formalmente, podemos reescrever a equação diferencial aleatória como um sistema de equações estocásticas,

\[ \mathrm{d}\left(\begin{matrix} X_t \\ \Lambda_t \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} f(t, X_t, \Lambda_t) \\ a(t, \Lambda_t) \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 0 \\ \sigma(t, \Lambda_t) \end{matrix}\right)\mathrm{d}W_t. \]

Este é um sistema da forma

\[ \mathrm{d}U_t = F(t, U_t) + \Sigma(t, U_t)\mathrm{d}W_t, \]

onde

\[ U_t = \left(\begin{matrix} X_t \\ \Lambda_t\end{matrix}\right), \quad F(t, U_t) = \left(\begin{matrix} f(t, X_t, \Lambda_t) \\ a(t, \Lambda_t)\end{matrix}\right), \quad \Sigma(t, U_t) = \left(\begin{matrix} 0 \\ \sigma(t, \Lambda_t)\end{matrix}\right). \]

Observe que o processo \(Y_t\) entra, na equação aleatória, como um termo externo, enquanto que, na equação estocástica, ela é uma variável dependente; uma "incógnita" da equação.

De estocásticas com ruído aditivo para aleatórias

Considere uma equação diferencial estocástica com ruído aditivo, na forma

\[ \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\mathrm{d}t + \sigma(t)\mathrm{d}W_t. \]

Observe que, aqui, estamos assumindo que o termo de ruído \(\sigma(t)\) é independente do processo \(X_t,\) daí o termo "aditivo". Caso contrário, sendo \(\sigma = \sigma(t, X_t),\) o termo de rúido é denominado multiplicativo.

No caso aditivo, é possível transformar facilmente essa equação estocástica em uma aleatória. Nessa passagem, um elemento importante é o processo de Ornstein-Uhlenbeck \(\{O_t\}_t,\) que satisfaz à equação diferencial estocástica

\[ \mathrm{d}O_t = - O_t \mathrm{d}t + \sigma(t) \mathrm{d}W_t. \]

Considerando um "mudança de variáveis" para o processo \(Z_t = X_t - O_t,\) temos, formalmente,

\[ \mathrm{d}Z_t = \mathrm{d}X_t - \mathrm{d}O_t = f(t, X_t)\mathrm{d}t + \sigma(t)\mathrm{d}W_t + O_t \mathrm{d}t - \sigma(t) \mathrm{d}W_t = (f(t, X_t) + O_t)\mathrm{d}t, \]

o que nos leva, finalmente, à equação diferencial aleatória

\[ \mathrm{d}Z_t = (f(t, Z_t + O_t) + O_t)\mathrm{d}t, \]

ou seja,

\[ \frac{\mathrm{d}Z_t}{\mathrm{d}t} = g(t, Z_t, O_t), \]

com

\[ g(t, Z_t, O_t) = f(t, Z_t + O_t) + O_t. \]

O caso multiplicativo em que o ruído é linear, i.e. \(\sigma(t, X_t) = \sigma_0(t) + \sigma_1(t)X_t,\) também pode ser considerado, através da transformação de Doss-Sussmann. Generalizações para o caso de um ruído multiplicativo qualquer também foram obtidas recentemente, mas a técnica é bem mais envolvida.