9.1. Equação do transporte para equações diferenciais ordinárias

Considere uma equação diferencial determinística

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(t, x). \]

Suponha que haja uma incerteza em relação à condição inicial. Isso nos dá a condição inicial como uma variável aleatória \(X_0.\) Nesse caso, para cada realização \(X_0(\omega),\) temos uma solução \(t \mapsto X_t(\omega)\) da equação diferencial ordinária aleatória

\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = f(t, X_t), \\ \left. X \right|_{t = 0} = X_0. \end{cases} \]

Suponhamos, para todos os efeitos, que essas soluções estejam definidas pelo menos em um intervalo de tempo \([0, T].\) Isso nos leva a um processo \(\{X_t\}_{t\in [0, T]}.\)

Suponhamos, mais ainda, que cada \(X_t\) tenha uma função densidade de probabilidade \(p(t, x)\) bem definida. A questão que queremos investigar é sobre a evolução dessa função. Temos, para uma "função teste" \(\Phi\) qualquer,

\[ \mathbb{E}[\Phi] = \int_\mathbb{R} \Phi(X_t(\omega))\;\mathrm{d}\mathbb{P}(\omega) = \int_\mathbb{R} \Phi(x)p(t, x) \;\mathrm{d}x. \]

Derivando em relação ao tempo, obtemos

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbb{E}[\Phi] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{R} \Phi(x)p(t, x) \;\mathrm{d}x = \int_\mathbb{R} \Phi(x)\frac{\partial p}{\partial t}(t, x) \;\mathrm{d}x. \]

Por outro lado, também temos

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbb{E}[\Phi] = \int_\mathbb{R} \Phi'(X_t(\omega))\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X_t(\omega)\;\mathrm{d}\mathbb{P}(\omega) = \int_\mathbb{R} \Phi'(X_t(\omega))f(t, X_t(\omega))\;\mathrm{d}\mathbb{P}(\omega) = \int_\mathbb{R} \Phi'(x)f(t, x) p(t, x)\;\mathrm{d}x. \]

Integrando por partes,

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbb{E}[\Phi] = - \int_\mathbb{R} \Phi(x)\frac{\partial}{\partial x}\left(f(t, x) p(t, x)\right)\;\mathrm{d}x. \]

Igualando as duas identidades, temos

\[ \int_\mathbb{R} \Phi(x)\frac{\partial p}{\partial t}(t, x) \;\mathrm{d}x = - \int_\mathbb{R} \Phi(x)\frac{\partial}{\partial x}\left(f(t, x) p(t, x)\right)\;\mathrm{d}x. \]

Como isso é válido para qualquer \(\Phi,\) obtemos a equação

\[ \frac{\partial p}{\partial t}(t, x) + \frac{\partial}{\partial x}\left(f(t, x) p(t, x)\right) = 0, \]

para a evolução da função densidade de probabilidade \(p(t, x).\)

No caso de uma equação autônoma

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(x), \]

obtemos

\[ \frac{\partial p}{\partial t}(t, x) + \frac{\partial}{\partial x}\left(f(x) p(t, x)\right) = 0. \]

Densidades estacionárias, i.e. \(p(t, x) = p(x),\) podem ser obtidas através da equação

\[ \frac{\partial}{\partial x}\left(f(x) p(x)\right) = 0, \]

ou seja

\[ f(x)p(x) = \textrm{constante}, \]

lembrando que \(p\) deve ser uma função densidade de probabilidade, ou seja,

\[ p(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty}^\infty p(x);\mathrm{d}x = 1. \]

Por exemplo, para a equação

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = - x, \]

a única solução possível é a delta de Dirac com suporte na origem. Tecnicamente, isso não nos dá uma densidade de probabilidade. Mas isso pode ser obtido, de maneira mais rigorosa, como limite, quando \(t \mapsto \infty,\) das soluções de

\[ \frac{\partial p}{\partial t}(t, x) - \frac{\partial}{\partial x}\left(x p(t, x)\right) = 0, \]

com uma dada condição inicial \(p(0, x) = p_0(x).\) Procurando uma solução auto-similar

\[ p(t, x) = a(t) p_0(b(t)x), \]

vemos que \(a(t) = b(t) = e^{t},\) ou seja,

\[ p(t, x) = e^{t}p_0(e^{t}x). \]

Observe que

\[ \int_{-\infty}^\infty p(t, x) \;\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty e^{t}p_0(e^{t}x) \;\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty p_0(x) \;\mathrm{d}x = 1. \]

Além disso, para um função \(g=g(x)\) contínua e limitada, temos

\[ \begin{align*} \int_{-\infty}^\infty p(t, x) g(x) \;\mathrm{d}x & = \int_{-\infty}^\infty p(t, x) g(0) \;\mathrm{d}x + \int_{-\infty}^\infty p(t, x) (g(x) - g(0)) \;\mathrm{d}x \\ & = g(0) + \int_{-\infty}^\infty p(t, x) (g(x)-g(0)) \;\mathrm{d}x. \end{align*} \]

Pela continuidade da função \(g=g(x),\) dado \(\varepsilon > 0,\) existe \(\delta > 0\) tal que \(|g(x) - g(0)| \leq \varepsilon,\) para \(|x|\leq \delta.\) Além disso, \(g=g(x)\) é limitada, digamos \(|g(x)| \leq C.\) Assim,

\[ \begin{align*} \left|\int_{-\infty}^\infty p(t, x) (g(x)-g(0)) \;\mathrm{d}x\right| & \leq \int_{|x| \leq \delta} p(t, x) |g(x)-g(0)| \;\mathrm{d}x + \int_{|x| \geq \delta} p(t, x) |g(x)-g(0)| \;\mathrm{d}x \\ & \leq \varepsilon \int_{|x| \leq \delta} p(t, x) \;\mathrm{d}x + 2C \int_{|x| \geq \delta} p(t, x) \;\mathrm{d}x \\ & \leq \varepsilon + 2C\int_{|x| \geq \delta} e^{t}p_0(e^{t}x) \;\mathrm{d}x \\ & = \varepsilon + 2C\int_{|x| \geq e^t\delta} p_0(x) \;\mathrm{d}x. \end{align*} \]

Quando \(t\rightarrow 0,\) a integral acima vai para zero. Além disso, \(\varepsilon > 0\) é arbitrário. Logo,

\[ \lim_{t\rightarrow \infty} \int_{-\infty}^\infty p(t, x) (g(x)-g(0)) \;\mathrm{d}x = 0. \]

Portanto,

\[ \int_{-\infty}^\infty p(t, x) g(x) \;\mathrm{d}x \rightarrow g(0), \]

mostrando que a solução convergence para a delta de Dirac no sentido das distribuições, i.e.

\[ p(t, x) \stackrel{w}{\rightharpoonup} \delta_0. \]

Exercícios

1. Verifique que, no caso multi-dimensional, em que \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d\) e \(f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d,\) com \(d\in\mathbb{N}\) arbitrário, a equação de transporte para a densidade \(p=p(t,\mathbf{x})\) da solução de \(\mathrm{d}\mathbf{X}_t/\mathrm{d}t = f(t, \mathbf{X}_t),\) com uma variável aleatória inicial \(\mathbf{X}_0,\) tem a forma

\[ \frac{\partial p}{\partial t}(t, \mathbf{x}) + \nabla \cdot (f(t, \mathbf{x})p(t, \mathbf{x})) = 0. \]

2. Usando a fórmula acima, encontre \(a=a(t)\) e \(b=b(t)\) tais que \(p(t, \mathbf{x}) = a(t) q(b(t) \mathbf{x})\) seja uma solução (dita auto-semelhante) da equação de Fokker-Planck acima, para uma dada função densidade de probabilidade \(q=q(\mathbf{x}).\)