9.1. Equação do transporte para equações diferenciais ordinárias

Considere uma equação diferencial determinística

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(t, x).$$

Suponha que haja uma incerteza em relação à condição inicial. Isso nos dá a condição inicial como uma variável aleatória $X_0.$ Nesse caso, para cada realização $X_0(\omega),$ temos uma solução $t \mapsto X_t(\omega)$ da equação diferencial ordinária aleatória

$$\begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = f(t, X_t), \\ \left. X \right|_{t = 0} = X_0. \end{cases}$$

Suponhamos, para todos os efeitos, que essas soluções estejam definidas pelo menos em um intervalo de tempo $[0, T].$ Isso nos leva a um processo $\{X_t\}_{t\in [0, T]}.$

Suponhamos, mais ainda, que cada $X_t$ tenha uma função densidade de probabilidade $p(t, x)$ bem definida. A questão que queremos investigar é sobre a evolução dessa função. Temos, para uma "função teste" $\Phi$ qualquer,

$$\mathbb{E}[\Phi] = \int_\mathbb{R} \Phi(X_t(\omega))\;\mathrm{d}\mathbb{P}(\omega) = \int_\mathbb{R} \Phi(x)p(t, x) \;\mathrm{d}x.$$

Derivando em relação ao tempo, obtemos

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbb{E}[\Phi] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{R} \Phi(x)p(t, x) \;\mathrm{d}x = \int_\mathbb{R} \Phi(x)\frac{\partial p}{\partial t}(t, x) \;\mathrm{d}x.$$

Por outro lado, também temos

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbb{E}[\Phi] = \int_\mathbb{R} \Phi'(X_t(\omega))\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X_t(\omega)\;\mathrm{d}\mathbb{P}(\omega) = \int_\mathbb{R} \Phi'(X_t(\omega))f(t, X_t(\omega))\;\mathrm{d}\mathbb{P}(\omega) = \int_\mathbb{R} \Phi'(x)f(t, x) p(t, x)\;\mathrm{d}x.$$

Integrando por partes,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbb{E}[\Phi] = - \int_\mathbb{R} \Phi(x)\frac{\partial}{\partial x}\left(f(t, x) p(t, x)\right)\;\mathrm{d}x.$$

Igualando as duas identidades, temos

$$\int_\mathbb{R} \Phi(x)\frac{\partial p}{\partial t}(t, x) \;\mathrm{d}x = - \int_\mathbb{R} \Phi(x)\frac{\partial}{\partial x}\left(f(t, x) p(t, x)\right)\;\mathrm{d}x.$$

Como isso é válido para qualquer $\Phi,$ obtemos a equação

$$\frac{\partial p}{\partial t}(t, x) + \frac{\partial}{\partial x}\left(f(t, x) p(t, x)\right) = 0,$$

para a evolução da função densidade de probabilidade $p(t, x).$

No caso de uma equação autônoma

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(x),$$

obtemos

$$\frac{\partial p}{\partial t}(t, x) + \frac{\partial}{\partial x}\left(f(x) p(t, x)\right) = 0.$$

Densidades estacionárias, i.e. $p(t, x) = p(x),$ podem ser obtidas através da equação

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(f(x) p(x)\right) = 0,$$

ou seja

$$f(x)p(x) = \textrm{constante},$$

lembrando que $p$ deve ser uma função densidade de probabilidade, ou seja,

$$p(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty}^\infty p(x);\mathrm{d}x = 1.$$

Por exemplo, para a equação

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = - x,$$

a única solução possível é a delta de Dirac com suporte na origem. Tecnicamente, isso não nos dá uma densidade de probabilidade. Mas isso pode ser obtido, de maneira mais rigorosa, como limite, quando $t \mapsto \infty,$ das soluções de

$$\frac{\partial p}{\partial t}(t, x) - \frac{\partial}{\partial x}\left(x p(t, x)\right) = 0,$$

com uma dada condição inicial $p(0, x) = p_0(x).$ Procurando uma solução auto-similar

$$p(t, x) = a(t) p_0(b(t)x),$$

vemos que $a(t) = b(t) = e^{t},$ ou seja,

$$p(t, x) = e^{t}p_0(e^{t}x).$$

Observe que

$$\int_{-\infty}^\infty p(t, x) \;\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty e^{t}p_0(e^{t}x) \;\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty p_0(x) \;\mathrm{d}x = 1.$$

Além disso, para um função $g=g(x)$ contínua e limitada, temos

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^\infty p(t, x) g(x) \;\mathrm{d}x & = \int_{-\infty}^\infty p(t, x) g(0) \;\mathrm{d}x + \int_{-\infty}^\infty p(t, x) (g(x) - g(0)) \;\mathrm{d}x \\ & = g(0) + \int_{-\infty}^\infty p(t, x) (g(x)-g(0)) \;\mathrm{d}x. \end{align*}$$

Pela continuidade da função $g=g(x),$ dado $\varepsilon > 0,$ existe $\delta > 0$ tal que $|g(x) - g(0)| \leq \varepsilon,$ para $|x|\leq \delta.$ Além disso, $g=g(x)$ é limitada, digamos $|g(x)| \leq C.$ Assim,

$$\begin{align*} \left|\int_{-\infty}^\infty p(t, x) (g(x)-g(0)) \;\mathrm{d}x\right| & \leq \int_{|x| \leq \delta} p(t, x) |g(x)-g(0)| \;\mathrm{d}x + \int_{|x| \geq \delta} p(t, x) |g(x)-g(0)| \;\mathrm{d}x \\ & \leq \varepsilon \int_{|x| \leq \delta} p(t, x) \;\mathrm{d}x + 2C \int_{|x| \geq \delta} p(t, x) \;\mathrm{d}x \\ & \leq \varepsilon + 2C\int_{|x| \geq \delta} e^{t}p_0(e^{t}x) \;\mathrm{d}x \\ & = \varepsilon + 2C\int_{|x| \geq e^t\delta} p_0(x) \;\mathrm{d}x. \end{align*}$$

Quando $t\rightarrow 0,$ a integral acima vai para zero. Além disso, $\varepsilon > 0$ é arbitrário. Logo,

$$\lim_{t\rightarrow \infty} \int_{-\infty}^\infty p(t, x) (g(x)-g(0)) \;\mathrm{d}x = 0.$$

Portanto,

$$\int_{-\infty}^\infty p(t, x) g(x) \;\mathrm{d}x \rightarrow g(0),$$

mostrando que a solução convergence para a delta de Dirac no sentido das distribuições, i.e.

$$p(t, x) \stackrel{w}{\rightharpoonup} \delta_0.$$

Exercícios

1. Verifique que, no caso multi-dimensional, em que $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d$ e $f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d,$ com $d\in\mathbb{N}$ arbitrário, a equação de transporte para a densidade $p=p(t,\mathbf{x})$ da solução de $\mathrm{d}\mathbf{X}_t/\mathrm{d}t = f(t, \mathbf{X}_t),$ com uma variável aleatória inicial $\mathbf{X}_0,$ tem a forma

$$\frac{\partial p}{\partial t}(t, \mathbf{x}) + \nabla \cdot (f(t, \mathbf{x})p(t, \mathbf{x})) = 0.$$

2. Usando a fórmula acima, encontre $a=a(t)$ e $b=b(t)$ tais que $p(t, \mathbf{x}) = a(t) q(b(t) \mathbf{x})$ seja uma solução (dita auto-semelhante) da equação de Fokker-Planck acima, no caso da equação linear $\mathrm{d}\mathbf{X}_t/\mathrm{d}t = -\mathbf{X}_t$ em várias variáveis $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d,$ com $d\in\mathbb{N},$ com uma condição inicial $X_0$ com densidade de probabilidade $q=q(\mathbf{x}).$