8.4. Unicidade de soluções

Como visto anteriormente, um processo de Wiener não é único, assim como podemos ter várias variáveis aleatórias independentes, com a mesma distribuição.

Agora, uma vez definido um processo de Wiener $\{W_t\}_{t \geq 0},$ podemos ter, sob as devidas condições nos termos $f=f(t, x)$ e $g = g(t, x),$ a unicidade do processo estocástico $\{X_t\}_{t \geq 0}$ definido através da equação diferencial estocástica

com uma condição inicial

Assim como no caso de equações diferenciais ordinárias determinísticas, uma condição do tipo continuidade Lipschitz nos garante essa continuidade. No caso, a continuidade Lipschitz uniforme em $t$ e global em $x$ dos termos $f = f(t, x)$ e $g = g(t, x)$ que utilizamos para a demonstração de existência é, também, suficiente para a unicidade e para a dependência contínua nos dados iniciais.

A ideia é estimar a evolução temporal da média quadrática entre duas possíveis soluções no instante $t$ e aplicar o Lema de Gronwall para relacionar essa evolução com a média quadrática inicial.

Continuidade em relação à condição inicial

Sejam $\{X_t\}_{t \geq 0}$ e $\{\tilde X_t\}_{t \geq 0}$ duas soluções da equação diferencial estocástica, com condições iniciais $X_0$ e $\tilde X_0,$ respectivamente. Posteriormente vamos considerar condições iniciais iguais, mas, no momento, permitimos que sejam diferentes.

Considere a média quadrática da diferença entre essas duas soluções, em cada instante $t \geq 0$:

As formas integrais das equações diferenciais são

e

Subtraindo, temos

Usando que $f$ e $g$ são globalmente Lipschitz em $x,$ uniformemente em $t,$ obtemos

Elevando ao quadrado e usando que $(a + b + c)^2 \leq 3a^2 + 3b^2 + 3c^2,$

A segunda integral pode ser estimada diretamente, consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz:

de modo que

Assim, para o valor esperado, obtemos

O último termo pode ser estimado via isometria de Itô:

Dessa forma, obtemos

Aplicando o Lema de Grownall, obtemos

Unicidade

A unicidade, agora, é consequência da estimativa acima, assumindo $X_0 = \tilde X_0$ quase sempre, de maneira que

e, consequentemente,

Como os caminhos $t \mapsto X_t(\omega)$ são contínuos, então

Em outras palavras,

Exemplo de não unicidade

De maneira semelhante ao caso de equações diferenciais ordinárias, equações que envolvem potências de ordem $p$ com $0< p < 1$ são fortes candidatos a não unicidade. Mas por conta da fórmula de Itô, a equação pode ser um pouco mais complicada. Vamos, então, ver o caminho contrário. Considere $X_t = W_t^3$ e vamos ver que equação $\{X_t\}_t$ deve satisfazer. Pela fórmula de Itô com $X_t = h(W_t)$ e $h(w) = w^3,$ temos

Usando que $h'(w) = 3w^2$ e $h''(w) = 6w$ e que $W_t = X_t^{1/3},$ obtemos

Observe que

Por outro lado, definindo $\tilde X_t = 0,$ para todo $t \geq 0,$ vemos que $\{X_t\}_t$ satisfaz trivialmente a mesma equação e com a mesma condição inicial $\tilde X_0 = 0.$ Isso mostra a não unicidade de solução da equação acima.