8.4. Unicidade de soluções

Como visto anteriormente, um processo de Wiener não é único, assim como podemos ter várias variáveis aleatórias independentes, com a mesma distribuição.

Agora, uma vez definido um processo de Wiener \(\{W_t\}_{t \geq 0}\), podemos ter, sob as devidas condições nos termos \(f=f(t, x)\) e \(g = g(t, x)\), a unicidade do processo estocástico \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) definido através da equação diferencial estocástica

\[ \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\;\mathrm{d}t + g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t, \qquad t \geq 0, \]

com uma condição inicial

\[ \left.X_t\right|_{t = 0} = X_0. \]

Assim como no caso de equações diferenciais ordinárias determinísticas, uma condição do tipo continuidade Lipschitz nos garante essa continuidade. No caso, a continuidade Lipschitz uniforme em \(t\) e global em \(x\) dos termos \(f = f(t, x)\) e \(g = g(t, x)\) que utilizamos para a demonstração de existência é, também, suficiente para a unicidade e para a dependência contínua nos dados iniciais.

A ideia é estimar a evolução temporal da média quadrática entre duas possíveis soluções no instante \(t\) e aplicar o Lema de Gronwall para relacionar essa evolução com a média quadrática inicial.

Continuidade em relação à condição inicial

Sejam \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) e \(\{\tilde X_t\}_{t \geq 0}\) duas soluções da equação diferencial estocástica, com condições iniciais \(X_0\) e \(\tilde X_0\), respectivamente. Posteriormente vamos considerar condições iniciais iguais, mas, no momento, permitimos que sejam diferentes.

Considere a média quadrática da diferença entre essas duas soluções, em cada instante \(t \geq 0\):

\[ e(t) = \mathbb{E}\left[ |X_t - \tilde X_t|^2 \right] \]

As formas integrais das equações diferenciais são

\[ X_t = X_0 + \int_0^t f(s, X_s)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g(s, X_s)\;\mathrm{d}W_s \]

e

\[ \tilde X_t = \tilde X_0 + \int_0^t f(s, \tilde X_s)\;\mathrm{d}s + \int_0^t g(s, \tilde X_s)\;\mathrm{d}W_s. \]

Subtraindo, temos

\[ X_t - \tilde X_t = X_0 - \tilde X_0 + \int_0^t (f(s, X_s) - f(s, \tilde X_s))\;\mathrm{d}s + \int_0^t (g(s, X_s) - g(s, \tilde X_s))\;\mathrm{d}W_s. \]

Usando que \(f\) e \(g\) são globalmente Lipschitz em \(x\), uniformemente em \(t\), obtemos

\[ \left| X_t - \tilde X_t \right| \leq \left| X_0 - \tilde X_0 \right| + \int_0^t L_f \left| X_s - \tilde X_s \right| \;\mathrm{d}s + \int_0^t L_g \left| X_s - \tilde X_s \right| \;\mathrm{d}W_s. \]

Elevando ao quadrado e usando que \((a + b + c)^2 \leq 3a^2 + 3b^2 + 3c^2\),

\[ \left| X_t - \tilde X_t \right|^2 \leq 3\left| X_0 - \tilde X_0 \right|^2 + 3L_f^2\left(\int_0^t \left| X_s - \tilde X_s \right| \;\mathrm{d}s\right)^2 + 3L_g^2\left(\int_0^t \left| X_s - \tilde X_s \right| \;\mathrm{d}W_s\right)^2. \]

A segunda integral pode ser estimada diretamente, consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz:

\[ \int_0^t \left| X_s - \tilde X_s \right| \;\mathrm{d}s \leq \left(\int_0^t \;\mathrm{d}s\right)^{1/2}\left(\int_0^t \left| X_s - \tilde X_s \right|^2 \;\mathrm{d}s\right)^{1/2}, \]

de modo que

\[ \left(\int_0^t \left| X_s - \tilde X_s \right| \;\mathrm{d}s\right)^2 \leq t\int_0^t \left| X_s - \tilde X_s \right|^2 \;\mathrm{d}s. \]

Assim, para o valor esperado, obtemos

\[ \begin{align*} \mathbb{E}\left[\left| X_t - \tilde X_t \right|^2\right] & \leq 3\mathbb{E}\left[\left| X_0 - \tilde X_0 \right|^2\right] \\ & \qquad + 3L_f^2 t \int_0^t \mathbb{E}\left[\left| X_s - \tilde X_s \right|^2\right] \;\mathrm{d}s \\ & \qquad + 3L_g^2\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t \left| X_s - \tilde X_s \right| \;\mathrm{d}W_s\right)^2\right]. \end{align*} \]

O último termo pode ser estimado via isometria de Itô:

\[ \mathbb{E}\left[\left(\int_0^t \left| X_s - \tilde X_s \right| \;\mathrm{d}W_s\right)^2\right] \leq \int_0^t \mathbb{E}\left[\left| X_s - \tilde X_s \right|^2\right] \;\mathrm{d}s. \]

Dessa forma, obtemos

\[ \mathbb{E}\left[\left| X_t - \tilde X_t \right|^2\right] \leq 3\mathbb{E}\left[\left| X_0 - \tilde X_0 \right|^2\right] + 3(L_f^2 t + L_g^2) \int_0^t \mathbb{E}\left[\left| X_s - \tilde X_s \right|^2\right] \;\mathrm{d}s. \]

Aplicando o Lema de Grownall, obtemos

\[ \mathbb{E}\left[\left| X_t - \tilde X_t \right|^2\right] \leq \mathbb{E}\left[\left| X_0 - \tilde X_0 \right|^2\right] e^{3(L_f^2 t + L_g^2)t}, \qquad t \geq 0. \]

Unicidade

A unicidade, agora, é consequência da estimativa acima, assumindo \(X_0 = \tilde X_0\) quase sempre, de maneira que

\[ \mathbb{E}[|X_0 - \tilde X_0|^2] = 0 \]

e, consequentemente,

\[ \mathbb{E}[|X_t - \tilde X_t|^2] = 0, \qquad t \geq 0. \]

Como os caminhos \(t \mapsto X_t(\omega)\) são contínuos, então

\[ \mathbb{P}\left(\max_{0\leq t \leq T} |X_t - \tilde X_t| > 0\right) = 0. \]

Em outras palavras,

\[ \mathbb{P}\left(X_t = \tilde X_t, t \geq 0\right) = 1. \]

Exemplo de não unicidade

De maneira semelhante ao caso de equações diferenciais ordinárias, equações que envolvem potências de ordem \(p\) com \(0< p < 1\) são fortes candidatos a não unicidade. Mas por conta da fórmula de Itô, a equação pode ser um pouco mais complicada. Vamos, então, ver o caminho contrário. Considere \(X_t = W_t^3\) e vamos ver que equação \(\{X_t\}_t\) deve satisfazer. Pela fórmula de Itô com \(X_t = h(W_t)\) e \(h(w) = w^3\), temos

\[ \mathrm{d}X_t = \frac{1}{2}h''(W_t)\;\mathrm{d}t + h'(W_t)\;\mathrm{d}W_t \]

Usando que \(h'(w) = 3w^2\) e \(h''(w) = 6w\) e que \(W_t = X_t^{1/3},\) obtemos

\[ \mathrm{d}X_t = 3X_t^{1/3}\;\mathrm{d}t + 2X_t^{2/3}\;\mathrm{d}W_t. \]

Observe que

\[ X_0 = W_0^3 = 0. \]

Por outro lado, definindo \(\tilde X_t = 0,\) para todo \(t \geq 0,\) vemos que \(\{X_t\}_t\) satisfaz trivialmente a mesma equação e com a mesma condição inicial \(\tilde X_0 = 0.\) Isso mostra a não unicidade de solução da equação acima.