7.2. Exemplos básicos

Vamos considerar alguns exemplos básicos de equações diferenciais aleatórias.

Exemplo linear autônomo

Começemos com o problema de valor inicial

{dXtdt=AXt,t0,Xtt=0=X0, \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d} X_t}{\mathrm{d} t} = A X_t, & t \geq 0, \\ X_t|_{t = 0} = X_0, \end{cases}

onde X0X_0 e AA são variáveis aleatórias reais. Definimos

Xt=X0etA,t0. X_t = X_0e^{tA}, \qquad t \geq 0.

Como f(t,a,c)=cetaf(t, a, c) = ce^{ta} é uma função contínua de R3\mathbb{R}^3 em R,\mathbb{R}, segue que XtX_t está bem definido e é uma variável aleatória. Além disso, para quase todo ω,\omega, temos A(ω),X0(ω)RA(\omega), X_0(\omega) \in \mathbb{R} e, com isso, temos os caminhos amostrais

Xt(ω)=X0(ω)eA(ω)t,t0, X_t(\omega) = X_0(\omega) e^{A(\omega)t}, \qquad \forall t\geq 0,

que são (infinitamente) diferenciáveis em tt e são soluções da equação diferencial ordinária

{dXt(ω)dt=A(ω)Xt(ω),t0,Xt(ω)t=0=X0(ω). \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d} X_t(\omega)}{\mathrm{d} t} = A(\omega) X_t(\omega), & t \geq 0, \\ X_t(\omega)|_{t = 0} = X_0(\omega). \end{cases}

Logo, {Xt}t0\{X_t\}_{t\geq 0} é um processo que é uma solução por caminhos da equação diferencial aleatória acima, com a condição inicial desejada.

Exemplo linear não autônomo com um processo como parâmetro

Vejamos, agora, o problema de valor inicial

{dXtdt=AtXt,t0,Xtt=0=X0, \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d} X_t}{\mathrm{d} t} = A_t X_t, & t \geq 0, \\ X_t|_{t = 0} = X_0, \end{cases}

onde X0X_0 é uma variável aleatória real e {At}t0\{A_t\}_{t \geq 0} é um processo real. Definimos

Xt=X0e0tAs  ds,t0. X_t = X_0e^{\int_0^t A_s \;\mathrm{d}s}, \qquad t \geq 0.

Assumimos que tAt(ω)t \mapsto A_t(\omega) é contínuo quase certamente, de maneira que os caminhos amostrais

Xt(ω)=X0(ω)e0tAs(ω)  ds,t0, X_t(\omega) = X_0(\omega) e^{\int_0^t A_s(\omega) \;\mathrm{d}s}, \qquad \forall t\geq 0,

são diferenciáveis em tt e são soluções da equação diferencial ordinária

{dXt(ω)dt=At(ω)Xt(ω),t0,Xt(ω)t=0=X0(ω). \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d} X_t(\omega)}{\mathrm{d} t} = A_t(\omega) X_t(\omega), & t \geq 0, \\ X_t(\omega)|_{t = 0} = X_0(\omega). \end{cases}

Logo, {Xt}t0\{X_t\}_{t\geq 0} é um processo que é uma solução por caminhos da equação diferencial aleatória acima, com a condição inicial desejada.

Exemplo não linear com existência local

Considere

{dXtdt=AXt2,t0,X0=1, \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d} X_t}{\mathrm{d} t} = A X_t^2, & t \geq 0, \\ X_0 = 1, \end{cases}

onde AA é uma variável aleatória com distribuição beta, por exemplo.

A distribuição beta está concentrada no intervalo (0,1),(0, 1), ou seja, para quase todo ω,\omega, temos 0<A(ω)<1.0 < A(\omega) < 1. Assim, para quase todo ω,\omega, a equação diferencial ordinária

{dx(t)dt=A(ω)x(t)2,t0,x(0)=1, \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t} = A(\omega) x(t)^2, & t \geq 0, \\ x(0) = 1, \end{cases}

tem uma solução única

x(t)=11A(ω)t,0t<1A(ω). x(t) = \frac{1}{1 - A(\omega)t}, \qquad 0 \leq t < \frac{1}{A(\omega)}.

Como

1A(ω)>1, \frac{1}{A(\omega)} > 1,

para quase todo ω,\omega, podemos definir, para todo 0t<1,0 \leq t < 1, o processo aleatório {Xt}t[0,1)\{X_t\}_{t\in [0, 1)} por

Xt=11At, X_t = \frac{1}{1 - At},

cujos caminhos amostrais são

Xt(ω)=11A(ω)t,0t<1. X_t(\omega) = \frac{1}{1 - A(\omega)t}, \qquad 0 \leq t < 1.

Observe que (t,a)1/(1at)(t, a) \mapsto 1/(1 - at) é uma função contínua em (t,a)[0,1)×[0,1].(t,a) \in [0, 1)\times [0, 1]. Como AA tem suporte em [0,1],[0, 1], então essa função é Lebesgue-mensurável em R.\mathbb{R}. Assim, XtX_t é uma variável aleatória bem definida.

A função de distribuição acumulada de cada XtX_t é dada por

P(Xtx)=P(11Ax)=P(Ax1x),0<x<1, \mathbb{P}(X_t \leq x) = \mathbb{P}\left( \frac{1}{1 - A} \leq x\right) = \mathbb{P}\left( A \leq \frac{x - 1}{x}\right), \qquad 0 < x < 1,

com P(Xtx)=0,\mathbb{P}(X_t \leq x) = 0, para x0x\leq 0 e P(Xtx)=1,\mathbb{P}(X_t \leq x) = 1, para x1.x\geq 1.

A distribuição conjunta P(Xt1x1,,Xtnxn)\mathbb{P}(X_{t_1} \leq x_1, \ldots, X_{t_n} \leq x_n) também pode ser obtida de forma semelhante.

Não existência

Vamos ver um exemplo clássico de não existência de solução por caminhos de uma equação diferencial aleatória.

Considere o problema de valor inicial

{dXtdt=AXt2,t0X0=1. \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d} X_t}{\mathrm{d} t} = A X_t^2, & t \geq 0 \\ X_0 = 1. \end{cases}

Mas, dessa vez, assumimos que AA seja uma variável aleatória com distribuição sem suporte limitado, digamos normal ou exponencial, etc.. Isso significa que A(ω)A(\omega) não é limitado quase sempre. Com isso, os caminhos amostrais

x(t)=11A(ω)t,0t<1A(ω), x(t) = \frac{1}{1 - A(\omega)t}, \qquad 0 \leq t < \frac{1}{A(\omega)},

estão definidos em intervalos arbitrariamente pequenos. Isso nos impede de definir um processo {Xt}t[0,ε)\{X_t\}_{t \in [0, \varepsilon)} para todos os caminhos, por menor que seja ε>0.\varepsilon > 0. Ou seja, não existe solução por caminhos dessa equação.

Múltiplas soluções e não solução

Agora, considere o problema de valor inicial

{dXtdt=3Xt2/3,t0X0=0. \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d} X_t}{\mathrm{d} t} = 3X_t^{2/3}, & t \geq 0 \\ X_0 = 0. \end{cases}

Aqui, devemos especificar onde "mora" X0.X_0. Podemos tomar X0=0X_0 = 0 em Ω=R,\Omega = \mathbb{R}, com A\mathcal{A} sendo, por exemplo, a σ\sigma-álgebra de Lebesgue.

Naturalmente, temos a solução trivial Xt(0)=0,X_t^{(0)} = 0, t0.\forall t \geq 0. Também temos

Xt(1)(ω)=t3,t0 X_t^{(1)}(\omega) = t^3, \qquad t \geq 0

como solução.

Agora, para qualquer conjunto EΩ,E\subset \Omega, temos, ainda que {Xt(E)}t0\{X_t^{(E)}\}_{t\geq 0} definido através dos caminhos

Xt(E)(ω)={t3,ωE,0,ωE, X_t^{(E)}(\omega) = \begin{cases} t^3, &\omega \in E, \\ 0, & \omega \notin E, \end{cases}

é tal que cada caminho Xt(E)(ω)X_t^{(E)}(\omega) satisfaz a equação diferencial ordinária x=3x2/3.x' = 3x^{2/3}. Se EE for mensurável, então {Xt(E)}t0\{X_t^{(E)}\}_{t \geq 0} é, de fato, um processo que satisfaz a condição inicial X0(E)=0X_0^{(E)} = 0 e é uma solução por caminhos da equação diferencial aleatória.

No entanto, se EE não for mensurável, então os caminhos satisfazem a equação diferencial ordinária mas {Xt(E)}t0\{X_t^{(E)}\}_{t \geq 0} não define um processo.

Outros tipos de solução

Outros tipos de solução podem ser obtidas relaxando-se o sentido de convergência do limite

dXtdt=limτ0Xt+τXtτ. \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = \lim_{\tau \rightarrow 0} \frac{X_{t+\tau} - X_t}{\tau}.

No caso acima, de soluções por caminhos, o limite vale quase certamente, i.e.

P(dXtdt=limτ0Xt+τXtτ=f(t,Xt,Yt))=1. \mathbb{P}\left(\exists \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = \lim_{\tau \rightarrow 0} \frac{X_{t+\tau} - X_t}{\tau} = f(t, X_t, Y_t) \right) = 1.

Mas, em princípio, a noção de derivada de um processo pode ser relaxada para convergência em probabilidade, convergência em distribuição, convergência em média-quadrática, convergência em média p1,p\geq 1, etc. A dificuldade é obtermos condições em ff e em Yt,Y_t, mais fracas, que garantam a existência de soluções da equação diferencial aleatória nesse sentido (também) mais fraco que convergência quase certamente.

Uma sentido bastante utilizado é o de solução no sentido de média quadrática, em que existe um processo {dXt/dt}t[0,T)\{\mathrm{d}X_t/\mathrm{d}t\}_{t \in [0, T)} tal que

E(Xt+τXtτdXtdt)0,τ0. \mathbb{E}\left( \left| \frac{X_{t+\tau} - X_t}{\tau} - \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t}\right|\right) \rightarrow 0, \quad \tau \rightarrow 0.

Last modified: July 20, 2025. Built with Franklin.jl, using the Book Template.