onde X0 e A são variáveis aleatórias reais. Definimos
Xt=X0etA,t≥0.
Como f(t,a,c)=ceta é uma função contínua de R3 em R, segue que Xt está bem definido e é uma variável aleatória. Além disso, para quase todo ω, temos A(ω),X0(ω)∈R e, com isso, temos os caminhos amostrais
Xt(ω)=X0(ω)eA(ω)t,∀t≥0,
que são (infinitamente) diferenciáveis em t e são soluções da equação diferencial ordinária
onde A é uma variável aleatória com distribuição beta, por exemplo.
A distribuição beta está concentrada no intervalo (0,1), ou seja, para quase todo ω, temos 0<A(ω)<1. Assim, para quase todo ω, a equação diferencial ordinária
⎩⎨⎧dtdx(t)=A(ω)x(t)2,x(0)=1,t≥0,
tem uma solução única
x(t)=1−A(ω)t1,0≤t<A(ω)1.
Como
A(ω)1>1,
para quase todo ω, podemos definir, para todo 0≤t<1, o processo aleatório {Xt}t∈[0,1) por
Xt=1−At1,
cujos caminhos amostrais são
Xt(ω)=1−A(ω)t1,0≤t<1.
Observe que (t,a)↦1/(1−at) é uma função contínua em (t,a)∈[0,1)×[0,1]. Como A tem suporte em [0,1], então essa função é Lebesgue-mensurável em R. Assim, Xt é uma variável aleatória bem definida.
A função de distribuição acumulada de cada Xt é dada por
P(Xt≤x)=P(1−A1≤x)=P(A≤xx−1),0<x<1,
com P(Xt≤x)=0, para x≤0 e P(Xt≤x)=1, para x≥1.
A distribuição conjunta P(Xt1≤x1,…,Xtn≤xn) também pode ser obtida de forma semelhante.
Vamos ver um exemplo clássico de não existência de solução por caminhos de uma equação diferencial aleatória.
Considere o problema de valor inicial
⎩⎨⎧dtdXt=AXt2,X0=1.t≥0
Mas, dessa vez, assumimos que A seja uma variável aleatória com distribuição sem suporte limitado, digamos normal ou exponencial, etc.. Isso significa que A(ω) não é limitado quase sempre. Com isso, os caminhos amostrais
x(t)=1−A(ω)t1,0≤t<A(ω)1,
estão definidos em intervalos arbitrariamente pequenos. Isso nos impede de definir um processo {Xt}t∈[0,ε) para todos os caminhos, por menor que seja ε>0. Ou seja, não existe solução por caminhos dessa equação.
Aqui, devemos especificar onde "mora" X0. Podemos tomar X0=0 em Ω=R, com A sendo, por exemplo, a σ-álgebra de Lebesgue.
Naturalmente, temos a solução trivial Xt(0)=0,∀t≥0. Também temos
Xt(1)(ω)=t3,t≥0
como solução.
Agora, para qualquer conjunto E⊂Ω, temos, ainda que {Xt(E)}t≥0 definido através dos caminhos
Xt(E)(ω)={t3,0,ω∈E,ω∈/E,
é tal que cada caminho Xt(E)(ω) satisfaz a equação diferencial ordinária x′=3x2/3. Se E for mensurável, então {Xt(E)}t≥0 é, de fato, um processo que satisfaz a condição inicial X0(E)=0 e é uma solução por caminhos da equação diferencial aleatória.
No entanto, se E não for mensurável, então os caminhos satisfazem a equação diferencial ordinária mas {Xt(E)}t≥0 não define um processo.
Outros tipos de solução podem ser obtidas relaxando-se o sentido de convergência do limite
dtdXt=τ→0limτXt+τ−Xt.
No caso acima, de soluções por caminhos, o limite vale quase certamente, i.e.
P(∃dtdXt=τ→0limτXt+τ−Xt=f(t,Xt,Yt))=1.
Mas, em princípio, a noção de derivada de um processo pode ser relaxada para convergência em probabilidade, convergência em distribuição, convergência em média-quadrática, convergência em média p≥1, etc. A dificuldade é obtermos condições em f e em Yt, mais fracas, que garantam a existência de soluções da equação diferencial aleatória nesse sentido (também) mais fraco que convergência quase certamente.
Uma sentido bastante utilizado é o de solução no sentido de média quadrática, em que existe um processo {dXt/dt}t∈[0,T) tal que