6.2. Integrais de Riemann-Stieltjes

No caso de um processo \(\{Y_t\}_{t\in [a, b]}\) cujos caminhos são, quase certamente, de variação limitada, podemos definir

\[ Z = \int_a^b f(t, X_t) \;\mathrm{d}Y_t, \]

onde \(\{X_t\}_{t \in [a, b]}\) é um processo estocástico real definido em um intervalo \([a, b]\subset \mathbb{R}\).

Vamos considerar, principalmente, funções e processos em que

1. \(f:[a, b]\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) é contínuo; e

2. Quase certamente, os caminhos amostrais de \(\{X_t\}_{t\in [a,b]}\) são contínuos.

Sob essas condições, para quase todo \(\omega\), a função

\[ t \mapsto f(t, X_t(\omega)) \]

é contínua e limitada no intervalo compacto \(t\in [a, b]\). Portanto, a sua integral de Riemann-Stieltjes com respeito ao caminho de variação limitada \(t \mapsto Y_t(\omega)\) está bem definida. Dessa forma, podemos definir \(Z\) pontualmente, via essa integral:

\[ Z(\omega) = \int_a^b f(s, X_s(\omega)) \;\mathrm{d}Y_s(\omega). \]

O conjunto em que o caminho amostral não é contínuo tem medida nula e, nele, podemos definir \(Z(\omega)\) como sendo zero ou qualquer outro valor.

Integração por partes

Se \(\{X_t\}_t\) e \(\{Y_t\}_t\) são processos com caminhos aleatórios de variação limitada, então \(\{X_tY_t\}_t\) também tem seus caminhos de variação limitada.

Dada uma partição \(0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T\), temos

\[ X_TY_T - X_0Y_0 = \sum_{j=1}^n \left(X_{t_j}Y_{t_j} - X_{t_{j-1}}Y_{t_{j-1}}\right) = \sum_{j=1}^n \left((X_{t_j} - X_{t_{j-1}})Y_{t_j} + X_{t_{j-1}}(Y_{t_j} - Y_{t_{j-1}})\right) \]

Observe que, ao refinarmos a malha, obtemos, no lado direito, duas integrais de Riemann-Stieltjes:

\[ X_TY_T - X_0Y_0 = \int_0^T Y_t \;\mathrm{d}X_t + \int_0^T X_t \;\mathrm{d}X_t. \]

Esta é a fórmula de integração por partes para a integral de Riemann-Stieltjes, aqui aplicada à integração envolvendo processos com caminhos de variação limitada, quase certamente.