6.2. Integrais de Riemann-Stieltjes

No caso de um processo $\{Y_t\}_{t\in [a, b]}$ cujos caminhos são, quase certamente, de variação limitada, podemos definir

onde $\{X_t\}_{t \in [a, b]}$ é um processo estocástico real definido em um intervalo $[a, b]\subset \mathbb{R}.$

Vamos considerar, principalmente, funções e processos em que

1. $f:[a, b]\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é contínuo; e

2. Quase certamente, os caminhos amostrais de $\{X_t\}_{t\in [a,b]}$ são contínuos.

Sob essas condições, para quase todo $\omega,$ a função

é contínua e limitada no intervalo compacto $t\in [a, b].$ Portanto, a sua integral de Riemann-Stieltjes com respeito ao caminho de variação limitada $t \mapsto Y_t(\omega)$ está bem definida. Dessa forma, podemos definir $Z$ pontualmente, via essa integral:

O conjunto em que o caminho amostral não é contínuo tem medida nula e, nele, podemos definir $Z(\omega)$ como sendo zero ou qualquer outro valor.

Integração por partes

Se $\{X_t\}_t$ e $\{Y_t\}_t$ são processos com caminhos aleatórios de variação limitada, então $\{X_tY_t\}_t$ também tem seus caminhos de variação limitada.

Dada uma partição $0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T,$ temos

Observe que, ao refinarmos a malha, obtemos, no lado direito, duas integrais de Riemann-Stieltjes:

Esta é a fórmula de integração por partes para a integral de Riemann-Stieltjes, aqui aplicada à integração envolvendo processos com caminhos de variação limitada, quase certamente.