1.5. Do passeio aleatório ao movimento Browniano

Uma outra maneira de modelar o movimento Browniano é através de um processo conhecido como passeio aleatório, no caso em que consideramos escalas de tempo e de comprimento para os passos temporais e espaciais e quando tomamos os limites quando essas escalas vão para zero de forma apropriada. Louis Bachelier, cinco anos antes do ano miraculoso de Einstein, utilizou um processo que é essencialmente um passeio aleatório, em sua tese L. Bachelier, Théorie de la spéculation, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 3, Volume 17 (1900), pp. 21-86, para justificar a forma da densidade de probabilidades de ações no mercado financeiro.

Vamos pensar em um passeio aleatório unidimensional, em um conjunto discreto $\ell \mathbb{Z},$ onde $\ell > 0$ é uma escala de comprimento. Usamos, também, uma escala de tempo $\tau > 0.$ Assumimos que, a cada passo de tempo $\tau,$ uma partícula pode se movimentar de uma distância exatamente $\ell,$ para a direita ou para a esquerda, com probabilidade $1/2$ em cada sentido. A motivação é que, a cada passo de tempo, a partícula será bombardeada mais de um lado do que de outro, de maneira aleatória e independente. É uma situação bastante idealizada, porque não leva em consideração possíveis variações relativas nas quantidades de bombardeamentos e no tamanho do passo, nem do momento adquirido pela partícula.

Denotamos, então, por $p_n(m)$ a probabilidade da partícula estar na posição $x = m\ell,$ no instante $t = n\tau.$ Naturalmente, $0 \leq p_n(m) \leq 1,$ com $\sum_{m\in \mathbb{Z}} p_n(m) = 1,$ para todo $n = 0, 1, \ldots.$

Inicialmente, em $t = 0,$ consideramos que a partícula está na origem, de modo que $p_0(0) = 1$ e $p_0(m) = 0,$ para $m\ne 0.$ Vamos escrever isso, simetricamente, na forma

$$p_0 = (\ldots, 0, 0, 1, 0, 0, \ldots).$$

Após o primeiro passo, temos $p_1(\pm 1) = 1/2$ e o $p_1(m) = 0$ para $m \neq \pm 1.$ Ou seja,

$$p_1 = (\ldots, 0, 1/2, 0, 1/2, 0, \ldots).$$

No instante seguinte,

$$p_2 = \left(\ldots, 0, \frac{1}{4}, 0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{4}, 0, \ldots \right),$$

e assim por diante:

$$p_3 = \left(\ldots, 0, \frac{1}{8}, 0, \frac{3}{8}, 0, \frac{3}{8}, 0, \frac{1}{8}, 0, \ldots\right),$$ $$p_4 = \left(\ldots, 0, \frac{1}{16}, 0, \frac{5}{16}, 0, \frac{3}{16}, 0, \frac{5}{16}, 0, \frac{1}{16}, 0, \ldots\right),$$ $$\vdots$$

Podemos continuar e buscar um padrão para a sequência, mas podemos deduzir os valores de uma forma mais simples.

Para uma partícula chegar na posição $x = \ell m,$ ela deve dar $i$ passos para a direita e $j$ passos para a esquerda, com $i - j = m.$ Para isso acontecer no passo $n,$ devemos ter $i + j = n.$ Logo, devemos ter $i = (n + m)/2$ passos para a direita e $j = (n - m)/2$ passos para a esquerda. Cada passo ocorre com probabilidade $1/2.$ Assim, após $n$ passos, cada caminho ocorre com probabilidade $1/2^n.$ Resta saber quantos caminhos existem até um determinado ponto $x = \ell m.$

Naturalmente, não há caminho caso $m < -n$ ou $m > n.$ E há apenas um caminho para $m = -n$ e $m = n.$ Mas pode haver vários caminhos ligando a outros pontos. Ou nenhum. De fato, se $n$ e $m$ tiverem paridades diferentes, então $n + m$ é ímpar e não tem como darmos $i = (n + m)/2$ passos para a direita, nem $j = (n - m)/2$ para a esquerda. Resta, agora, saber o número de caminhos possíveis quando $n$ e $m$ têm a mesma paridade e $|m| < n.$

Para ver isso, vamos focar no fato de que, para chegarmos em $x = m\ell$ após $n$ passos, devemos dar $(n + m)/2$ passos para a direita. Se, por exemplo, $n = 6$ e $m = 2,$ devemos dar $(n + m)/2 = 4$ passos para a direita, mas eles podem acontecer em quaisquer quatro dos seis momentos entre $\tau$ e $n\tau.$ Isso nos dá $\left(\begin{matrix} n \\ (n + m)/2 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}\right) = 15$ possibilidades de caminhos, de um total de $2^6.$ Ou seja, $p_6(2) = 15 / 64.$ Mais geralmente, temos

$$p_n(m) = \frac{1}{2^n}\frac{n!}{\left(\frac{n + m}{2}\right)!\left(\frac{n-m}{2}\right)!}.$$

Podemos reconhecer isso como a distribuição binomial

$$p_n(m) = \left(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right) p^k (1-p)^{n-k}, \qquad k = k(n, m) = \frac{n + m}{2}, \quad p = \frac{1}{2},$$

nos dando a probabilidade de $(n+m)/2$ sucessos em $n$ sorteios de Bernoulli, com probabilidade $p = 1 - p = 1/2$ de cada realização, com as realizações sendo os passos $\ell$ e $-\ell.$

Denotando por $X_n$ a posição da partícula no passo $n \in \mathbb{Z}^* = \{0, 1, 2, \ldots\},$ temos que $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ é um processo estocástico discreto, com cada passo $\Delta X = X_{n + 1} - X_n \sim \mathrm{Bernoulli}(\pm \ell, 1/2),$ representando o teste de Bernoulli com valores possíveis $\pm \ell.$ Temos, ainda, que cada $X_n$ é uma distribuição binomial com possíveis valores $-n\ell, \ldots, n\ell,$ que podemos denotar por

$$X_n \sim B(\{-n\ell, \ldots, n\ell\}, 1/2),$$

com $X_0 = 0$ quase sempre, ou seja,

$$X_0 \sim \delta_0.$$

Limite contínuo

Assintoticamente, temos, pela fórmula de Stirling, que $k! \simeq \sqrt{2\pi k} (k / e)^k,$ quando $k \rightarrow \infty.$ Mais precisamente, vale a desigualdade

$$\sqrt{2\pi k} \left( \frac{k}{e} \right)^k e^{\frac{1}{12k+1}} < k! < \sqrt{2\pi k} \left( \frac{k}{e} \right)^k e^{\frac{1}{12k}}, \quad \forall k\in\mathbb{N}.$$

Por exemplo, para $k = 8,$ temos $e^{1/12k} \approx 1.01047,$ de modo que o erro relativo já é da ordem de 1%, diminuindo rapidamente conforme $k$ aumenta.

A ideia, então, é tomar o limite quando $n \rightarrow \infty.$ Por sua vez, $m$ pode ou não ir para infinito também, mas vamos manter sempre $|m \ll n.$ Isso porque, assumindo, $n \gg 1$ e $|m| \ll n,$ temos também

$$n \pm m \gg 1.$$

Com isso,

$$p_n(m) \simeq \frac{1}{2^n}\frac{\sqrt{2\pi n} (n / e)^n}{\sqrt{\pi (n + m)} ((n + m) / 2e)^{(n + m)/2}\sqrt{\pi (n - m)} ((n - m) / 2e)^{(n - m)/2}}.$$

Lembrando que isso é quando $n + m$ é par, caso contrário $p_n(m) = 0.$ Simplificando, obtemos

$$p_n(m) \simeq \sqrt{\frac{2n}{\pi(n^2 - m^2)}}\frac{n^n}{(n + m)^{(n + m)/2}(n - m)^{(n - m)/2}}.$$

Decompondo a potência do numerador em $n^n = n^{(n+m)/2}n^{(n-m)/2},$ obtemos

$$p_n(m) \simeq \sqrt{\frac{2n}{\pi(n^2 - m^2)}}\left(\frac{n}{n+m}\right)^{(n + m)/2}\left(\frac{n}{n-m}\right)^{(n - m)/2}.$$

Invertendo a fração, temos

$$p_n(m) \simeq \sqrt{\frac{2n}{\pi(n^2 - m^2)}}\left(\frac{n+m}{n}\right)^{-(n + m)/2}\left(\frac{n-m}{n}\right)^{-(n - m)/2}.$$

Observe que

$$\left(\frac{n+m}{n}\right)^{-(n + m)/2}\left(\frac{n-m}{n}\right) = e^{\displaystyle -\frac{n + m}{2}\ln\left(1 + \frac{m}{n}\right) - \frac{n - m}{2}\ln\left(1 - \frac{m}{n}\right)}.$$

Sendo $|m| \ll n,$ obtemos, pela expansão $\ln(1 + x) = 0 + x - x^2/2 + \mathcal{O}(x^3) \approx x - x^2/2,$

$$\left(\frac{n+m}{n}\right)^{-(n + m)/2}\left(\frac{n-m}{n}\right) \approx e^{\displaystyle -\frac{n + m}{2}\left(\frac{m}{n} + \frac{1}{2}\frac{m^2}{n^2}\right) - \frac{n - m}{2}\left(-\frac{m}{n} + \frac{1}{2}\frac{m^2}{n^2}\right)} = e^{\displaystyle -\frac{m^2}{2n}}.$$

Portanto,

$$p_n(m) \simeq \sqrt{\frac{2n}{\pi(n^2 - m^2)}} e^{\displaystyle -\frac{m^2}{2n}}.$$

Por outro lado, usando novamente que $n \gg |m|,$ temos $|m|/n \ll 1,$ de modo que

$$n^2 - m^2 = n^2\left(1 - \frac{m^2}{n^2}\right) \approx n^2.$$

Logo,

$$\sqrt{\frac{2n}{\pi(n^2 - m^2)}} \approx \sqrt{\frac{2}{\pi n}}.$$

Portanto, para $n \gg 1$ e $|m| \ll n,$ com $n+m$ par, obtemos

$$p_n(m) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi n}}e^{\displaystyle -\frac{m^2}{2n}}.$$

Passando para o contínuo, com $t \approx n \tau$ e $x \approx m \ell$ e interpretando $p_n(m)$ como a probabilidade da partícula estar no intervalo $(m-1/2)\ell \leq x \leq (m+1/2)\ell,$ no instante $t$ e sendo $p(t, x)$ a densidade de probabilidades no instante $t,$ temos

$$\int_{(m-1/2)\ell}^{(m+1/2)\ell} p(t, x)\;\mathrm{d}x = p_n(m).$$

Mas $p_n(m)$ pode ser nulo quando $n+m$ é ímpar, ou seja,

$$\int_{(m-1/2)\ell}^{(m+1/2)\ell} p(t, x)\;\mathrm{d}x = p_n(m) \begin{cases} = 0, & n + m \textrm{ ímpar,} \\ \approx \sqrt{\frac{2}{\pi n}}e^{\displaystyle -\frac{m^2}{2n}}, & n + m \textrm{ par.} \end{cases}$$

Para garantir que obtemos a probabilidade estimada acima, podemos integrar a densidade no intervalo "dobrado" $(m-1)\ell \leq x \leq (m+1)\ell.$ Assim, obtemos, aproximadamente,

$$2\ell p(t, x) \approx \int_{(m-1)\ell}^{(m+1)\ell} p(t, x)\;\mathrm{d}x = p_n(m) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi n}}e^{-\frac{m^2}{2n}} = \sqrt{\frac{2\tau}{\pi t}}e^{-\frac{\tau x^2}{2t\ell^2}},$$

pelo menos para $n \gg 1,$ $|m| \ll n,$ ou seja, em particular, para

$$\frac{|x|}{\ell} \ll \frac{t}{\tau}.$$

Logo, nessa região,

$$p(t, x) \approx \sqrt{\frac{\tau}{2\ell^2 \pi t}} e^{-\frac{\tau x^2}{2t\ell^2}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi a t}} e^{-\frac{x^2}{4a t}},$$

onde fizemos

$$a = \frac{\ell^2}{2\tau}.$$

Obtivemos, assim, que, para cada $t,$ a função $x \mapsto p(t, x)$ é aproximadamente uma Gaussiana com variância $\sigma^2 = 2at.$

Observe que podemos pensar esse processo limite como tomando $\ell, \tau \rightarrow 0$ mas mantendo a relação $a = \ell^2/2\tau$ fixa. Ou seja, $\tau$ converge para zero muito mais rápido do que $\ell.$ Em particular, fixados $x \approx m\ell$ e $t \approx n\tau,$ e fazendo $\ell, \tau$ irem para zero, com $a = \ell^2/2\tau$ fixo, vemos que $m, n\rightarrow \infty,$ com $n$ crescendo muito mais rápido que $m,$ garantindo a condição de que $|m| \ll n.$ Assim, a aproximação acima para $p_n(m)/2\ell$ converge, de fato, para $p(t, x).$

A condição em $t, x$ pode ser escrita como

$$\ell \ll |x| \ll \frac{\ell}{\tau} t = \frac{a}{2\ell} t.$$

À medida em que $\ell, \tau \rightarrow 0$ com $a$ fixo, temos também $a/2\ell \rightarrow \infty,$ de modo que, no limite, a aproximação vale para todo $x\in\mathbb{R}$ e para $t > 0$ arbitrário. Ou seja, obtemos uma convergência em quase toda a parte e deduzimos que a aproximação normal acima vale em todo $(t, x) \in (0, \infty) \times \mathbb{R}.$

Finalmente, observe a semelhança entre a definição de $a$ acima e de $D$ no modelo de Einstein, onde, no primeiro caso, o passo é fixo, enquanto que, no segundo caso, o passo é uma variável aleatória:

$$a = \frac{\ell^2}{2\tau}, \qquad D = \frac{\mathbb{E}(\ell^2)}{2\tau}.$$

De uma forma mais rigorosa, podemos definir, para cada $\tau, \ell > 0,$ as distribuições constantes por parte

$$\tilde p_{\tau, \ell}(t, x) = \frac{p_m(n)}{2\ell} = \frac{1}{2\ell}\frac{1}{2^n}\frac{n!}{\left(\frac{n + m}{2}\right)!\left(\frac{n-m}{2}\right)!}, \quad (m-1)\ell \leq x < (m+1)x, \;n\tau \leq t < (n+1)\tau, \;n\in \mathbb{Z}^*, \;m\in \mathbb{Z}, \;n+m \textrm{ par,}$$

ou as suas versões $p_n(t, x)$ lineares por parte. Assim, podemos mostrar que

$$\lim_{\tau, \ell \rightarrow 0, \tau/2\ell^2 = a} p_{\tau, \ell}(t, x) = p(t, x),$$

uniformemente em subconjuntos compactos de $(0, \infty) \times \mathbb{R}.$

Processo limite do passeio aleatório

Pensando nesse limite contínuo, e abusando da notação, já que já definimos $X_n,$ podemos escrever $X_t$ como a variável aleatória indicando a posição da partícula no instante $t \sim n\tau,$ associado à distribuição limite $p(t, x).$

Equação de difusão

Podemos reconhecer, pela fórmula acima, que a evolução, no tempo, da distribuição de probabilidades $p(t, x)$ para a posição da partícula satisfaz a equação de difusão (e.g. equação do calor)

$$\frac{\partial p}{\partial t^2} = a\frac{\partial p}{\partial x^2},$$

onde $a$ representa o coeficiente de difusão (térmica, no caso do calor).

Distância média percorrida

Como no modelo de Einstein, sendo $x \mapsto p(t, x)$ uma Gaussiana com variância $\sigma^2 = 2at,$ a distância quadrática média percorrida pelas partículas, após um instante $t,$ é exatamente esse desvio padrão:

$$\sqrt{\mathbb{E}[X_t^2]} = \left( \int_{\mathbb{R}} x^2 p(t, x) \;\mathrm{d}x \right)^{1/2} = \sigma = \sqrt{2 a t}.$$

Se, por outro lado, observarmos $\mathbb{E}(|X_t|),$ obtemos uma distância da mesma ordem: $\mathbb{E}(|X_t|) = 2\int_0^\infty x p(t, x) \;\mathrm{d}x = \sigma\sqrt{2/\pi}.$

Incrementos

Em um instante $t,$ a distribuição normal $\mathcal{N}(0, 2at)$ nos dá a probabilidade de encontrarmos a partícula em uma determinada posição (tendo ela partido de $x = 0$ em $t = 0$). Mas dada a posição da partícula no instante $t,$ a posição dessa partícula em um instante $t + \Delta t,$ com $\Delta t > 0$ não é dada por $\mathcal{N}(0, 2a(t+\Delta t))$ pura e simplesmente. Temos, na verdade, uma probabilidade condicionada.

Pensando, novamente, no passeio aleatório, podemos imaginar um novo processo iniciando-se em $x = X_t$ e caminhando para $x \pm \ell$ no instante $t + \tau$ e para algum ponto entre $x - n\ell \leq x + m\ell \leq x + n\ell,$ em instantes $t + n\tau.$ Assim, o incremento $\Delta X = X_{t + \Delta t} - X_t$ é dado, novamente, por um passeio aleatório, só que começando de $X_t$ e durando um intervalo de tempo $\Delta t.$ Ou seja, a lei de probabilidades para a posição $X_{t + \Delta t}$ da partícula dado $X_t$ é

$$X_{t + \Delta t} \sim \mathcal{N}(X_t, 2a\Delta t) = X_t + \mathcal{N}(0, 2a\Delta t).$$

Ou seja, a lei de probabilidades do incremento é

$$\Delta X = X_{t + \Delta t} - X_t \sim \mathcal{N}(0, 2a\Delta t).$$

Caminhos

Como no modelo de Einstein, podemos ter, no limite, caminhos se deslocando cada vez mais rápido. De fato, ao longo de $n$ passos de tempo $\tau$ até um instante $t,$ podemos ter exatos $n$ passos $\ell$ no mesmo sentido, digamos até $x = n\ell,$ de modo que a velocidade é $x/t = \ell/\tau.$ Fazemos $\ell, \tau \rightarrow 0,$ com $a = \ell^2/2\tau$ constante, enquanto aumentamos $n$ e $m$ para chegarmos ao ponto mais longe possível $x,$ no mesmo instante $t.$ Assim, temos a velocidade $v = x/t = \ell/\tau = \sqrt{2a\tau}/\tau = \sqrt{2a/\tau} \rightarrow \infty.$ Ou seja, não há como limitar a velocidade dos caminhos.

Porém, como feito no modelo de Einstein, é possível mostrar que, com probabilidade um, os caminhos são Hölder contínuos, com expoente arbitrariamente próximo de 1/2.

Diferenças finitas

Uma outra maneira de se trabalhar o limíte contínuo do passeio aleatório é via diferenças finitas. Pense em $p(t, x) \sim p_n(m)$ como uma função densidade de partículas, como se cada $m\in \mathbb{N}$ representasse um sítio, com um certo número $u_n(m)$ de partículas, cuja densidade é $p_n(m) = u_n(m) / U,$ onde $U$ é o número total de partículas. A cada passo de tempo, em média metade das partículas em um sítio $m$ se encaminha para o sítio $m-1$ e a outra metade, para o sítio $m+1.$ Por um outro ponto de vista, todas as partículas de um determinado sítio vão para os sítios vizinhos e metade das partículas de cada um dos sítios vizinhos se encaminha para aquele sítio. Ou seja, o total $u_{n+1}(m)$ de partículas no sítio $m,$ no passo $n+1,$ é inteiramente constituído pelas partículas advindas dos sítios vizinhos, de forma que

$$u_{n+1}(m) = \frac{1}{2}u_n(m-1) + \frac{1}{2}u_n(m+1).$$

Subtraindo $u_n(m)$ dos dois lados, multiplicando a equação resultante por $1/\tau = 2a/\ell^2$ e dividindo-a por $U,$ obtemos

$$\frac{p_{n+1}(m) - p_n(m)}{\tau} = a\frac{p_n(m+1) - 2p_n(m) + p_n(m-1)}{\ell^2}$$

No limite quando $\tau, \ell \rightarrow 0,$ com $a = \ell^2/2\tau$ constante e com $x \sim m\ell$ e $t \sim n\tau,$ obtemos a equação em derivadas parciais

$$\frac{\partial p}{\partial t} = a\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}.$$

Exercícios

1. Considere um passeio aleatório em três dimensões, onde o espaço é $\ell \mathbb{Z}^3.$ Cada passo pode ser em qualquer direção, com oito possíveis destinos, $(\pm \ell, \pm \ell, \pm \ell),$ cada um com probabilidade $1/2^3 = 1/8.$ Mostre que, no limite, a densidade de probabilidades $p(t, \mathbf{x})$ da posição da partícula é dada por

$$p(t, \mathbf{x}) = \frac{1}{(4\pi a t)^{3/2}} e^{-\frac{|\mathbf{x}|^2}{4Dt}}.$$

onde $\mathbf{x} = (x, y, z),$ $|\mathbf{x}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ e $a$ é como no caso unidimensional.

2. Uma versão bidimensional pode ser feita com passos dados por $\ell(\cos\theta, \sin\theta),$ com $\ell > 0$ fixo indicando o tamanho do passo e $\theta$ uma variável aleatória com probabilidade uniforme em $[0, 2\pi]$ indicando a direção do passo. Um passeio aleatório com $n$ passos nos leva a

$$(X_n, Y_n) = \ell \sum_{i = 1, \ldots, n} (\cos\theta_i, \sin\theta_i).$$

onde $\theta_i$ são $n$ realizações da variável ângulo. Usando que $\theta$ segue uma distribuição uniforme, mostre que

$$\mathbb{E}((X_n, Y_n)) = (0, 0).$$

Mostre, ainda, usando também as relações $\cos^2\theta = (1 + \cos(2\theta))/2$ e $\sin^2\theta = (1 - \cos(2\theta))/2,$ que

$$\mathbb{E}(X_n^2 + Y_n^2) = n \ell^2 = \frac{\ell^2}{2\tau} 2n\tau = 2 a t_n,$$

onde $t_n = n\tau$ e, como antes, $a=\ell^2/2\tau$. Ou seja, a distância média quadrática $\sqrt{\mathbb{E}[X_n^2 + Y_n^2]} = \sqrt{2 a t_n}$ cresce de maneira proporcional à raiz quadrada do tempo decorrido.