5.6. Não diferenciabilidade quase sempre dos caminhos amostrais

Caso os caminhos amostrais de um processo de Wiener $\{W_t\}_{t\geq 0}$ fossem diferenciáveis em um instante $t,$ teríamos a existência, quase certamente, do limite

$$\lim_{\tau \rightarrow 0} \frac{W_{t+\tau} - W_t}{\tau}.$$

Em particular, teríamos

$$\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} < \infty.$$

quase certamente. Porém, isso não é verdade. Mais do que isso. Esse limite superior é infinito em todos os pontos, com probabilidade um. Ou seja, com probabilidade um, os caminhos amostrais não são diferenciáveis em instante algum.

Esse é um resultado importante, mas mais no sentido de fechar uma possível porta (de explorar a regularidade dos caminhos amostrais) do que de abrir outras. De qualquer forma, é um resultado fundamental. E as técnicas usadas podem, também, ser eventualmente úteis em outras questões.

A ideia fundamental vem do fato de que $W_{t+\tau} - W_t \sim \mathcal{N}(0, \tau),$ de forma que, tipicamente,

$$\frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} \sim \frac{\sqrt{t}}{\tau} = \frac{1}{\sqrt{\tau}} \rightarrow \infty,$$

quando $\tau \rightarrow 0.$ A questão é mostrar que isso ocorre quase certamente e em todos os instantes $t.$

Não diferenciabilidade na origem

Vamos começar ilustrando isso no instante $t = 0.$ Nesse caso, temos

$$\lim_{\tau\rightarrow 0} \frac{W_\tau - W_0}{\tau} = \lim_{\tau\rightarrow 0} \frac{W_\tau}{\tau}.$$

Vamos mostrar que

$$\limsup_{\tau\rightarrow 0} \frac{|W_\tau|}{\tau} = \infty,$$

quase certamente, ou seja,

$$\mathbb{P}\left(\limsup_{\tau\rightarrow 0} \frac{|W_\tau|}{\tau} = \infty\right) = 1.$$

As sequências envolvidas no limite inferior acima podem variar com o caminho amostral. Mas podemos mostrar, na verdade, que esse limite superior é infinito mesmo fixando uma mesma sequência para os caminhos, desde que essa sequência decresça suficientemente rápido. Na verdade, podemos mostrar que, para essas sequências, até o limite inferior é infinito. Ou seja, vamos mostrar que existe uma sequência positiva $\tau_n \rightarrow 0$ tal que

$$\mathbb{P}\left(\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} = \infty\right) = 1.$$

Observe que, de fato,

$$\left\{\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} = \infty\right\} \subset \left\{\limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} = \infty\right\} \subset \left\{ \limsup_{\tau\rightarrow 0} \frac{|W_\tau|}{\tau} = \infty \right\}.$$

Mostrar que o conjunto à esquerda tem probabilidade $1$ é equivalente a mostrar que

$$\mathbb{P}\left(\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} < \infty\right) = 0.$$

Observe, ainda, que

$$\begin{align*} \left\{\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} < \infty\right\} & = \bigcup_{M\in\mathbb{N}} \left\{\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\} \\ & = \bigcup_{M\in\mathbb{N}} \left\{\forall k \in \mathbb{N}, \;\exists n \geq k, \; \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\} \\ & = \bigcup_{M\in\mathbb{N}} \bigcap_{k\in\mathbb{N}} \bigcup_{n\geq k} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\}. \end{align*}$$

Como a união em $M\in\mathbb{N}$ é enumerável, basta mostrar, então, que, para cada $M > 0,$

$$\mathbb{P}\left(\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \bigcup_{n\geq k} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\}\right) = 0.$$

Observe, para tanto, que

$$\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \bigcup_{n\geq k} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\} = \limsup_{n\rightarrow \infty} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\}.$$

Usando o Lema de Borel-Cantelli para deduzir que o limite superior tem probabilidade nula, basta mostrar que

$$\sum_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{P}\left(\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right) < \infty.$$

Para isso, vamos usar que

$$V_\tau = \frac{W_\tau}{\sqrt{\tau}} \sim \mathcal{N}(0, 1)$$

e que, para uma tal normal padrão $V_\tau,$ vale

$$\mathbb{P}(|V_\tau| \leq r) = \int_{|x|\leq r} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} \;\mathrm{d}x \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-r}^r \;\mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} 2r = \sqrt{\frac{2}{\pi}} r,$$

de modo que

$$\mathbb{P}\left( \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M \right) = \mathbb{P}\left( \frac{|W_{\tau_n}|}{\sqrt{\tau_n}} \leq \sqrt{\tau_n}M \right) \leq \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sqrt{\tau_n} M.$$

Assim,

$$\sum_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{P}\left(\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right) \leq \sqrt{\frac{2}{\pi}} M\sum_{n\in\mathbb{N}} \sqrt{\tau_n}.$$

Basta, então, pegar qualquer sequência decrescendo suficientemente rápido para que o somatório seja finito, por exemplo,

$$\tau_n = \frac{1}{2^{2n}}.$$

Com tal escolha,

$$\sum_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{P}\left(\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right) \leq \sqrt{\frac{2}{\pi}} M\sum_{n\in\mathbb{N}} \frac{1}{2^n} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} M < \infty.$$

Assim, segue do Lema de Borel-Cantelli que

$$\mathbb{P}\left(\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \bigcup_{n\geq k} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\}\right) = \mathbb{P}\left( \limsup_{n\rightarrow \infty} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\} \right) = 0$$

e, portanto,

$$\begin{align*} \mathbb{P}\left(\limsup_{\tau\rightarrow 0} \frac{|W_\tau|}{\tau} = \infty\right) & \geq \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} = \infty\right) \\ & \geq \mathbb{P}\left(\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} = \infty\right) \\ & = 1 - \mathbb{P}\left(\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} < \infty\right) \\ & = 1 - \sum_{M\in\mathbb{N}} \mathbb{P}\left( \limsup_{n\rightarrow \infty} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\} \right) \\ & = 1 - 0 \\ & = 1. \end{align*}$$

Isso conclui a demonstração de que, quase certamente, os caminhos amostrais não são diferenciáveis em $t = 0.$

Não diferenciabilidade em um conjunto enumerável de instantes

Como um processo de Wiener é invariante por translações, aplicando o resultado acima a $V_t^s = W_{s + t} - W_s,$ para $s \geq 0,$ segue que, para qualquer $t \geq 0,$ quase todo caminho amostral é não diferenciável no instante $t.$ Mas isso não é o mesmo que dizer que quase todo caminho amostral é não diferenciável em nenhum dos instantes $t \geq 0.$ Isso também é verdade, mas não segue diretamente do resultado acima. Veremos isso a seguir. O que podemos obter do resultado acima é que quase todo caminho é não diferenciável em um conjunto denso enumerável de pontos, como os racionais. De fato, temos

$$\begin{align*} \mathbb{P}\left(\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} = \infty, \;\forall t\in \mathbb{Q}\cap [0, \infty)\right) & = 1 - \mathbb{P}\left(\exists t\in \mathbb{Q}\cap [0, \infty), \;\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} < \infty\right) \\ & = 1 - \mathbb{P}\left( \bigcup_{t\in \mathbb{Q}\cap [0, \infty)} \limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} < \infty \right) \\ & = 1 - \sum_{t\in \mathbb{Q}\cap [0, \infty)} \mathbb{P}\left(\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t+\tau} - W_t}{\tau} = \infty\right) \\ & = 1 - 0 \\ & = 1. \end{align*}$$

Quase todo caminho amostral é não diferenciável em nenhum ponto

A demonstração de que quase todo caminho amostral não é diferenciável em nenhum ponto é mais delicada, como veremos agora. Vamos seguir essencialmente a demonstração em Mörters & Peres (2010), com algumas modificações.

Começamos mostrando a não diferenciabilidade no intervalo $[0, 1).$ Seja $t \mapsto W_t(\omega)$ um caminho amostral tal que, para algum $0\leq t_0 < 1,$

$$\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} < \infty.$$

Isso acontece se, e somente se, existem $m, M \in \mathbb{N}$ tais que

$$\sup_{\tau\in (0,2^{-n+2}]} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} \leq M, \qquad \forall n \geq m.$$

O motivo de usarmos $2^{-n+2}$ acima, ao invés de $2^{-n},$ é que vamos usar, abaixo, a partição diádica de tal forma que quatro intervalos sucessivos da malha com espaçamento $2^{-n}$ cabem em um único intervalo da malha com espaçamento $2^{-n+2}.$ A importância disso será vista em seguida.

Com a caracterização acima, podemos escrever

$$\left\{\omega; \;\exists t_0 \in [0, 1), \;\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t_0+\tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} < \infty \right\} = \bigcup_{M\in\mathbb{N}} \bigcap_{m\in \mathbb{N}}\bigcup_{n \geq m} \left\{\omega; \;\exists t_0 \in [0, 1), \;\sup_{\tau\in (0,2^{-n+2}]} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} \leq M\right\}$$

Observe que também podemos escrever que o conjunto à esquerda é a união em $M$ e em $n$ dos conjuntos mais à direita, mas não é tão simples mostrar que os conjuntos mais à direita têm medida nula. É mais fácil trabalhar refinando a malha e escrevendo a interseção das uniões, ou seja, como um limite superior, para aplicarmos o Lema de Borel-Cantelli. Nesse caso, basta mostrar que as medidas dos conjuntos mais à esquerda são somáveis em $n.$

Considere, então, as malhas diádicas $\{k/2^n, \;k=0, \ldots, 2^n\},$ $n\in \mathbb{N}.$ O ponto $t_0$ pode estar em qualquer um dos intervalos definidos por essa malha. Logo, podemos escrever

$$\left\{\omega; \;\exists t_0 \in [0, 1), \;\sup_{\tau\in (0,2^{-n+2}]} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} \leq M\right\} = \bigcup_{k = 1, \ldots, 2^n}\left\{\omega; \;\exists t_0 \in \left[\frac{k-1}{2^n}, \frac{k}{2^n}\right), \;\sup_{\tau\in (0,2^{-n+2})} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} \leq M\right\}$$

Suponha que $t_0$ pertença a um determinado intervalo $(k-1)/2^n \leq t_0 < k/2^n.$ Considere os incrementos $W_{(k+j)/2^n} - W_{(k+j-1)/2^n},$ para $j=1, 2, 3.$ Observe que

$$t_0 < \frac{k}{2^n} < \frac{k+j}{2^n} = \frac{k-1}{2^n} + \frac{j+1}{2^n} \leq \frac{k-1}{2^n} + \frac{4}{2^{n}} \leq t_0 + \frac{1}{2^{n-2}}.$$

Assim, todos os pontos $k/2^n$ e $(k+j)/2^n,$ para $j=1, 2, 3,$ são da forma $t_0 + \tau,$ para $\tau$ no intervalo $(0, 2^{-n+2}].$

Dessa forma, podemos usar a estimativa acima, em conjunto com a desigualdade triangular, para obter

$$\begin{align*} \left|W_{(k+j)/2^n} - W_{(k+j-1)/2^n}\right| & \leq \left|W_{(k+j)/2^n} - W_{t_0}\right| + \left| W_{(k+j-1)/2^n} - W_{t_0}\right| \\ & \leq M\left(\frac{k+j}{2^n} - t_0\right) + M \left(\frac{(k+j-1)}{2^n} - t_0\right) \\ & \leq M\left(\frac{2k+2j-1}{2^n} - \frac{2(k-1)}{2^n}\right) \\ & = \frac{(2j+1)M}{2^n} \\ & \leq \frac{7M}{2^n}. \end{align*}$$

Ou seja, para cada $n, M, k,$ vale

$$\left\{\omega; \;\exists t_0 \in \left[\frac{k-1}{2^n}, \frac{k}{2^n}\right), \;\sup_{\tau\in (0,2^{-n+2})} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} \leq M\right\} \leq \left\{\omega; \;\left|W_{(k+j)/2^n}(\omega) - W_{(k+j-1)/2^n}(\omega)\right| \leq \frac{7M}{2^n}, \;j=1,2,3\right\}.$$

Com isso,

$$\left\{\omega; \;\exists t_0 \in [0, 1), \;\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t_0+\tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} < \infty \right\} \subset \bigcup_{M\in\mathbb{N}} \bigcap_{m\in \mathbb{N}}\bigcup_{n \geq m} E_{M, n},$$

onde

$$E_{M, n} = \bigcup_{k = 1, \ldots, 2^n} E_{M, n, k}, \qquad E_{M, n, k} = \left\{\omega; \;\left|W_{(k+j)/2^n}(\omega) - W_{(k+j-1)/2^n}(\omega)\right| \leq \frac{7M}{2^n}, \;j=1,2,3\right\}.$$

Aqui fica evidente o uso da malha mais grossa, na estimativa da diferença finita, gerando as estimativas nos incrementos na malha mais fina. O motivo do uso desses três incrementos será aparente em seguida.

Vamos mostrar, usando o Lema de Borel-Cantelli, que

$$\bigcap_{m\in \mathbb{N}}\bigcup_{n \geq m} E_{M, n} = \limsup_{n\rightarrow \infty} E_{M, n} = 0.$$

Para isso, basta mostrar que

$$\sum_{n\in \mathbb{N}} \mathbb{P}(E_{M, n}) < \infty.$$

Como os incrementos são independentes, temos que

$$\mathbb{P}(E_{M, n, k}) = \prod_{j=1,2,3}\mathbb{P}\left(\left|W_{(k+j)/2^n} - W_{(k+j-1)/2^n}\right| \leq \frac{7M}{2^n}\right) = \prod_{j=1,2,3}\mathbb{P}\left(2^{n/2}\left|W_{(k+j)/2^n} - W_{(k+j-1)/2^n}\right| \leq \frac{7M}{2^{n/2}}\right).$$

Pela invariância dos processos de Wiener padrão por translações e por rescalonamento (com $a= 2^{n/2}$),

$$Z_{n, k, j} = 2^{n/2}\left(W_{(k+j)/2^n} - W_{(k+j-1)/2^n}\right) \sim \mathcal{N}(0, 1).$$

Assim,

$$\mathbb{P}(E_{M, n, k}) = \prod_{j=1,2,3}\mathbb{P}\left(|Z_{n, k, j}| \leq \frac{7M}{2^{n/2}}\right).$$

Como a função de distribuição de probabilidade da normal padrão é limitada por $1/\sqrt{2\pi},$ temos

$$\mathbb{P}\left(|Z_{n, k, j}| \leq r\right) \leq \frac{2r}{\sqrt{2\pi}} \leq r, \qquad \forall r > 0.$$

Logo,

$$\mathbb{P}(E_{M, n, k}) \leq \left(\frac{7M}{2^{n/2}}\right)^3.$$

Portanto,

$$\mathbb{P}\left(E_{M, n}\right) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1, \ldots, 2^n} E_{M, n, k}\right) \leq 2^n \left(\frac{7M}{2^{n/2}}\right)^3 = \frac{7^3M^3}{2^{n/2}}.$$

Isso nos dá que

$$\sum_n \mathbb{P}\left(E_{M, n}\right) \leq 7^3M^3\sum_n \frac{1}{2^{n/2}} < \infty.$$

Aqui revelou-se a importância do uso dos três incrementos. A probabilidade de termos a limitação em um dos incrementos é da ordem de $2^{-n/2}.$ Como os incrementos são independentes, a probabilidade de termos a limitação em três incrementos consecutívos é o cubo disso, i.e. da ordem de $2^{-3n/2}.$ Como temos $2^n$ conjuntos em cada malha, isso nos dá uma estimativa total ainda pequena, da ordem de $2^{-n/2}.$ Se usássemos só um incremento, a estimativa total cresceria exponencialmente. Se usássemos só dois, a estimativa seria uma constante. Mas usando três incrementos, conseguimos uma estimativa decrescendo exponencialmente e sendo, portanto, somável.

Assim, pelo Lema de Borel-Cantelli,

$$\mathbb{P}\left( \left\{ \exists t_0 \in [0, 1), \; \sup_{\tau\in [0,1]} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} \leq M \right\}\right) \leq \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_{M, n}\right) = 0.$$

Portanto,

$$\mathbb{P}\left( \left\{ \exists t_0 \in [0, 1), \; \sup_{\tau\in [0,1]} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} < \infty \right\}\right) = \lim_{M\rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \left\{ \exists t_0 \in [0, 1), \; \sup_{\tau\in [0,1]} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} \leq M \right\}\right) = 0.$$

Isso conclui a demonstração de que, quase certamente, os caminhos amostrais de um processo de Wiener padrão não são diferenciáveis em nenhum ponto no intervalo $[0, 1).$ Pela invariância por translações, isso se estende para qualquer intervalo $[n, n+1).$ Fazendo a interseção desse conjunto contável, obtemos que, quase certamente, os caminhos amostrais não são diferenciáveis em nenhum ponto $t\geq 0.$