5.6. Não diferenciabilidade quase sempre dos caminhos amostrais

Caso os caminhos amostrais de um processo de Wiener \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) fossem diferenciáveis em um instante \(t,\) teríamos a existência, quase certamente, do limite

\[ \lim_{\tau \rightarrow 0} \frac{W_{t+\tau} - W_t}{\tau}. \]

Em particular, teríamos

\[ \limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} < \infty. \]

quase certamente. Porém, isso não é verdade. Mais do que isso. Esse limite superior é infinito em todos os pontos, com probabilidade um. Ou seja, com probabilidade um, os caminhos amostrais não são diferenciáveis em instante algum.

Esse é um resultado importante, mas mais no sentido de fechar uma possível porta (de explorar a regularidade dos caminhos amostrais) do que de abrir outras. De qualquer forma, é um resultado fundamental. E as técnicas usadas podem, também, ser eventualmente úteis em outras questões.

A ideia fundamental vem do fato de que \(W_{t+\tau} - W_t \sim \mathcal{N}(0, \tau),\) de forma que, tipicamente,

\[ \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} \sim \frac{\sqrt{t}}{\tau} = \frac{1}{\sqrt{\tau}} \rightarrow \infty, \]

quando \(\tau \rightarrow 0.\) A questão é mostrar que isso ocorre quase certamente e em todos os instantes \(t.\)

Não diferenciabilidade na origem

Vamos começar ilustrando isso no instante \(t = 0.\) Nesse caso, temos

\[ \lim_{\tau\rightarrow 0} \frac{W_\tau - W_0}{\tau} = \lim_{\tau\rightarrow 0} \frac{W_\tau}{\tau}. \]

Vamos mostrar que

\[ \limsup_{\tau\rightarrow 0} \frac{|W_\tau|}{\tau} = \infty, \]

quase certamente, ou seja,

\[ \mathbb{P}\left(\limsup_{\tau\rightarrow 0} \frac{|W_\tau|}{\tau} = \infty\right) = 1. \]

As sequências envolvidas no limite inferior acima podem variar com o caminho amostral. Mas podemos mostrar, na verdade, que esse limite superior é infinito mesmo fixando uma mesma sequência para os caminhos, desde que essa sequência decresça suficientemente rápido. Na verdade, podemos mostrar que, para essas sequências, até o limite inferior é infinito. Ou seja, vamos mostrar que existe uma sequência positiva \(\tau_n \rightarrow 0\) tal que

\[ \mathbb{P}\left(\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} = \infty\right) = 1. \]

Observe que, de fato,

\[ \left\{\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} = \infty\right\} \subset \left\{\limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} = \infty\right\} \subset \left\{ \limsup_{\tau\rightarrow 0} \frac{|W_\tau|}{\tau} = \infty \right\}. \]

Mostrar que o conjunto à esquerda tem probabilidade \(1\) é equivalente a mostrar que

\[ \mathbb{P}\left(\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} < \infty\right) = 0. \]

Observe, ainda, que

\[ \begin{align*} \left\{\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} < \infty\right\} & = \bigcup_{M\in\mathbb{N}} \left\{\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\} \\ & = \bigcup_{M\in\mathbb{N}} \left\{\forall k \in \mathbb{N}, \;\exists n \geq k, \; \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\} \\ & = \bigcup_{M\in\mathbb{N}} \bigcap_{k\in\mathbb{N}} \bigcup_{n\geq k} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\}. \end{align*} \]

Como a união em \(M\in\mathbb{N}\) é enumerável, basta mostrar, então, que, para cada \(M > 0,\)

\[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \bigcup_{n\geq k} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\}\right) = 0. \]

Observe, para tanto, que

\[ \bigcap_{k\in\mathbb{N}} \bigcup_{n\geq k} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\} = \limsup_{n\rightarrow \infty} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\}. \]

Usando o Lema de Borel-Cantelli para deduzir que o limite superior tem probabilidade nula, basta mostrar que

\[ \sum_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{P}\left(\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right) < \infty. \]

Para isso, vamos usar que

\[ V_\tau = \frac{W_\tau}{\sqrt{\tau}} \sim \mathcal{N}(0, 1) \]

e que, para uma tal normal padrão \(V_\tau,\) vale

\[ \mathbb{P}(|V_\tau| \leq r) = \int_{|x|\leq r} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} \;\mathrm{d}x \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-r}^r \;\mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} 2r = \sqrt{\frac{2}{\pi}} r, \]

de modo que

\[ \mathbb{P}\left( \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M \right) = \mathbb{P}\left( \frac{|W_{\tau_n}|}{\sqrt{\tau_n}} \leq \sqrt{\tau_n}M \right) \leq \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sqrt{\tau_n} M. \]

Assim,

\[ \sum_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{P}\left(\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right) \leq \sqrt{\frac{2}{\pi}} M\sum_{n\in\mathbb{N}} \sqrt{\tau_n}. \]

Basta, então, pegar qualquer sequência decrescendo suficientemente rápido para que o somatório seja finito, por exemplo,

\[ \tau_n = \frac{1}{2^{2n}}. \]

Com tal escolha,

\[ \sum_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{P}\left(\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right) \leq \sqrt{\frac{2}{\pi}} M\sum_{n\in\mathbb{N}} \frac{1}{2^n} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} M < \infty. \]

Assim, segue do Lema de Borel-Cantelli que

\[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \bigcup_{n\geq k} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\}\right) = \mathbb{P}\left( \limsup_{n\rightarrow \infty} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\} \right) = 0 \]

e, portanto,

\[ \begin{align*} \mathbb{P}\left(\limsup_{\tau\rightarrow 0} \frac{|W_\tau|}{\tau} = \infty\right) & \geq \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} = \infty\right) \\ & \geq \mathbb{P}\left(\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} = \infty\right) \\ & = 1 - \mathbb{P}\left(\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} < \infty\right) \\ & = 1 - \sum_{M\in\mathbb{N}} \mathbb{P}\left( \limsup_{n\rightarrow \infty} \left\{\frac{|W_{\tau_n}|}{\tau_n} \leq M\right\} \right) \\ & = 1 - 0 \\ & = 1. \end{align*} \]

Isso conclui a demonstração de que, quase certamente, os caminhos amostrais não são diferenciáveis em \(t = 0.\)

Não diferenciabilidade em um conjunto enumerável de instantes

Como um processo de Wiener é invariante por translações, aplicando o resultado acima a \(V_t^s = W_{s + t} - W_s,\) para \(s \geq 0,\) segue que, para qualquer \(t \geq 0,\) quase todo caminho amostral é não diferenciável no instante \(t.\) Mas isso não é o mesmo que dizer que quase todo caminho amostral é não diferenciável em nenhum dos instantes \(t \geq 0.\) Isso também é verdade, mas não segue diretamente do resultado acima. Veremos isso a seguir. O que podemos obter do resultado acima é que quase todo caminho é não diferenciável em um conjunto denso enumerável de pontos, como os racionais. De fato, temos

\[ \begin{align*} \mathbb{P}\left(\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} = \infty, \;\forall t\in \mathbb{Q}\cap [0, \infty)\right) & = 1 - \mathbb{P}\left(\exists t\in \mathbb{Q}\cap [0, \infty), \;\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} < \infty\right) \\ & = 1 - \mathbb{P}\left( \bigcup_{t\in \mathbb{Q}\cap [0, \infty)} \limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} < \infty \right) \\ & = 1 - \sum_{t\in \mathbb{Q}\cap [0, \infty)} \mathbb{P}\left(\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t+\tau} - W_t}{\tau} = \infty\right) \\ & = 1 - 0 \\ & = 1. \end{align*} \]

Quase todo caminho amostral é não diferenciável em nenhum ponto

A demonstração de que quase todo caminho amostral não é diferenciável em nenhum ponto é mais delicada, como veremos agora. Vamos seguir essencialmente a demonstração em Mörters & Peres (2010), com algumas modificações.

Começamos mostrando a não diferenciabilidade no intervalo \([0, 1).\) Seja \(t \mapsto W_t(\omega)\) um caminho amostral tal que, para algum \(0\leq t_0 < 1,\)

\[ \limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} < \infty. \]

Isso acontece se, e somente se, existem \(m, M \in \mathbb{N}\) tais que

\[ \sup_{\tau\in (0,2^{-n+2}]} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} \leq M, \qquad \forall n \geq m. \]

O motivo de usarmos \(2^{-n+2}\) acima, ao invés de \(2^{-n},\) é que vamos usar, abaixo, a partição diádica de tal forma que quatro intervalos sucessivos da malha com espaçamento \(2^{-n}\) cabem em um único intervalo da malha com espaçamento \(2^{-n+2}.\) A importância disso será vista em seguida.

Com a caracterização acima, podemos escrever

\[ \left\{\omega; \;\exists t_0 \in [0, 1), \;\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t_0+\tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} < \infty \right\} = \bigcup_{M\in\mathbb{N}} \bigcap_{m\in \mathbb{N}}\bigcup_{n \geq m} \left\{\omega; \;\exists t_0 \in [0, 1), \;\sup_{\tau\in (0,2^{-n+2}]} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} \leq M\right\} \]

Observe que também podemos escrever que o conjunto à esquerda é a união em \(M\) e em \(n\) dos conjuntos mais à direita, mas não é tão simples mostrar que os conjuntos mais à direita têm medida nula. É mais fácil trabalhar refinando a malha e escrevendo a interseção das uniões, ou seja, como um limite superior, para aplicarmos o Lema de Borel-Cantelli. Nesse caso, basta mostrar que as medidas dos conjuntos mais à esquerda são somáveis em \(n.\)

Considere, então, as malhas diádicas \(\{k/2^n, \;k=0, \ldots, 2^n\},\) \(n\in \mathbb{N}.\) O ponto \(t_0\) pode estar em qualquer um dos intervalos definidos por essa malha. Logo, podemos escrever

\[ \left\{\omega; \;\exists t_0 \in [0, 1), \;\sup_{\tau\in (0,2^{-n+2}]} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} \leq M\right\} = \bigcup_{k = 1, \ldots, 2^n}\left\{\omega; \;\exists t_0 \in \left[\frac{k-1}{2^n}, \frac{k}{2^n}\right), \;\sup_{\tau\in (0,2^{-n+2})} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} \leq M\right\} \]

Suponha que \(t_0\) pertença a um determinado intervalo \((k-1)/2^n \leq t_0 < k/2^n.\) Considere os incrementos \(W_{(k+j)/2^n} - W_{(k+j-1)/2^n},\) para \(j=1, 2, 3.\) Observe que

\[ t_0 < \frac{k}{2^n} < \frac{k+j}{2^n} = \frac{k-1}{2^n} + \frac{j+1}{2^n} \leq \frac{k-1}{2^n} + \frac{4}{2^{n}} \leq t_0 + \frac{1}{2^{n-2}}. \]

Assim, todos os pontos \(k/2^n\) e \((k+j)/2^n,\) para \(j=1, 2, 3,\) são da forma \(t_0 + \tau,\) para \(\tau\) no intervalo \((0, 2^{-n+2}].\)

Dessa forma, podemos usar a estimativa acima, em conjunto com a desigualdade triangular, para obter

\[ \begin{align*} \left|W_{(k+j)/2^n} - W_{(k+j-1)/2^n}\right| & \leq \left|W_{(k+j)/2^n} - W_{t_0}\right| + \left| W_{(k+j-1)/2^n} - W_{t_0}\right| \\ & \leq M\left(\frac{k+j}{2^n} - t_0\right) + M \left(\frac{(k+j-1)}{2^n} - t_0\right) \\ & \leq M\left(\frac{2k+2j-1}{2^n} - \frac{2(k-1)}{2^n}\right) \\ & = \frac{(2j+1)M}{2^n} \\ & \leq \frac{7M}{2^n}. \end{align*} \]

Ou seja, para cada \(n, M, k,\) vale

\[ \left\{\omega; \;\exists t_0 \in \left[\frac{k-1}{2^n}, \frac{k}{2^n}\right), \;\sup_{\tau\in (0,2^{-n+2})} \frac{|W_{t_0 + \tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} \leq M\right\} \leq \left\{\omega; \;\left|W_{(k+j)/2^n}(\omega) - W_{(k+j-1)/2^n}(\omega)\right| \leq \frac{7M}{2^n}, \;j=1,2,3\right\}. \]

Com isso,

\[ \left\{\omega; \;\exists t_0 \in [0, 1), \;\limsup_{\tau \rightarrow 0} \frac{|W_{t_0+\tau}(\omega) - W_{t_0}(\omega)|}{\tau} < \infty \right\} \subset \bigcup_{M\in\mathbb{N}} \bigcap_{m\in \mathbb{N}}\bigcup_{n \geq m} E_{M, n}, \]

onde

\[ E_{M, n} = \bigcup_{k = 1, \ldots, 2^n} E_{M, n, k}, \qquad E_{M, n, k} = \left\{\omega; \;\left|W_{(k+j)/2^n}(\omega) - W_{(k+j-1)/2^n}(\omega)\right| \leq \frac{7M}{2^n}, \;j=1,2,3\right\}. \]

Aqui fica evidente o uso da malha mais grossa, na estimativa da diferença finita, gerando as estimativas nos incrementos na malha mais fina. O motivo do uso desses três incrementos será aparente em seguida.

Vamos mostrar, usando o Lema de Borel-Cantelli, que

\[ \bigcap_{m\in \mathbb{N}}\bigcup_{n \geq m} E_{M, n} = \limsup_{n\rightarrow \infty} E_{M, n} = 0. \]

Para isso, basta mostrar que

\[ \sum_{n\in \mathbb{N}} \mathbb{P}(E_{M, n}) < \infty. \]

Como os incrementos são independentes, temos que

\[ \mathbb{P}(E_{M, n, k}) = \prod_{j=1,2,3}\mathbb{P}\left(\left|W_{(k+j)/2^n} - W_{(k+j-1)/2^n}\right| \leq \frac{7M}{2^n}\right) = \prod_{j=1,2,3}\mathbb{P}\left(2^{n/2}\left|W_{(k+j)/2^n} - W_{(k+j-1)/2^n}\right| \leq \frac{7M}{2^{n/2}}\right). \]

Pela invariância dos processos de Wiener padrão por translações e por rescalonamento (com \(a= 2^{n/2}\)),

\[ Z_{n, k, j} = 2^{n/2}\left(W_{(k+j)/2^n} - W_{(k+j-1)/2^n}\right) \sim \mathcal{N}(0, 1). \]

Assim,

\[ \mathbb{P}(E_{M, n, k}) = \prod_{j=1,2,3}\mathbb{P}\left(|Z_{n, k, j}| \leq \frac{7M}{2^{n/2}}\right). \]

Como a função de distribuição de probabilidade da normal padrão é limitada por \(1/\sqrt{2\pi},\) temos

\[ \mathbb{P}\left(|Z_{n, k, j}| \leq r\right) \leq \frac{2r}{\sqrt{2\pi}} \leq r, \qquad \forall r > 0. \]

Logo,

\[ \mathbb{P}(E_{M, n, k}) \leq \left(\frac{7M}{2^{n/2}}\right)^3. \]

Portanto,

\[ \mathbb{P}\left(E_{M, n}\right) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1, \ldots, 2^n} E_{M, n, k}\right) \leq 2^n \left(\frac{7M}{2^{n/2}}\right)^3 = \frac{7^3M^3}{2^{n/2}}. \]

Isso nos dá que

\[ \sum_n \mathbb{P}\left(E_{M, n}\right) \leq 7^3M^3\sum_n \frac{1}{2^{n/2}} < \infty. \]

Aqui revelou-se a importância do uso dos três incrementos. A probabilidade de termos a limitação em um dos incrementos é da ordem de \(2^{-n/2}.\) Como os incrementos são independentes, a probabilidade de termos a limitação em três incrementos consecutívos é o cubo disso, i.e. da ordem de \(2^{-3n/2}.\) Como temos \(2^n\) conjuntos em cada malha, isso nos dá uma estimativa total ainda pequena, da ordem de \(2^{-n/2}.\) Se usássemos só um incremento, a estimativa total cresceria exponencialmente. Se usássemos só dois, a estimativa seria uma constante. Mas usando três incrementos, conseguimos uma estimativa decrescendo exponencialmente e sendo, portanto, somável.

Assim, pelo Lema de Borel-Cantelli,

\[ \mathbb{P}\left( \left\{ \exists t_0 \in [0, 1), \; \sup_{\tau\in [0,1]} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} \leq M \right\}\right) \leq \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_{M, n}\right) = 0. \]

Portanto,

\[ \mathbb{P}\left( \left\{ \exists t_0 \in [0, 1), \; \sup_{\tau\in [0,1]} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} < \infty \right\}\right) = \lim_{M\rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \left\{ \exists t_0 \in [0, 1), \; \sup_{\tau\in [0,1]} \frac{|W_{t+\tau} - W_t|}{\tau} \leq M \right\}\right) = 0. \]

Isso conclui a demonstração de que, quase certamente, os caminhos amostrais de um processo de Wiener padrão não são diferenciáveis em nenhum ponto no intervalo \([0, 1).\) Pela invariância por translações, isso se estende para qualquer intervalo \([n, n+1).\) Fazendo a interseção desse conjunto contável, obtemos que, quase certamente, os caminhos amostrais não são diferenciáveis em nenhum ponto \(t\geq 0.\)