7.3. Equação logística aleatória

Vamos considerar, agora, a equação diferencial aleatória

dXtdt=(At−BtXt)Xt \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = (A_t - B_t X_t)X_t

com uma condição inicial

Xt∣t=0=X0. \left.X_t\right|_{t = 0} = X_0.

Assumimos que {At}t≥0\{A_t\}_{t\geq 0} e {Bt}t≥0\{B_t\}_{t \geq 0} são processos limitados satisfazendo, quase certamente, as desigualdades

a−δ≤At≤a+δ,b−ε≤Bt≤b+ε. a - \delta \leq A_t \leq a + \delta, \quad b - \varepsilon \leq B_t \leq b + \varepsilon.

Por exemplo, podemos considerar

At=a+δYt,Bt=b+εZt, A_t = a + \delta Y_t, \qquad B_t = b + \varepsilon Z_t,

com

a,b,δ,ε>0,a−δ>0,b−ε>0, a, b, \delta, \varepsilon > 0, \quad a - \delta > 0, \quad b - \varepsilon > 0,

e onde

Yt=Wt1+∣Wt∣,Zt=sin⁡(Wt). Y_t = \frac{W_t}{1 + |W_t|}, \quad Z_t = \sin(W_t).

onde {Wt}t≥0\{W_t\}_{t \geq 0} é um processo de Wiener. Como ambos {Yt}t≥0\{Y_t\}_{t \geq 0} e {Zt}t≥0\{Z_t\}_{t \geq 0} estão concentrados no intervalo [−1,1],[-1, 1], as condições acima são satisfeitas.

Usamos um mesmo processo de Wiener {Wt}t≥0\{W_t\}_{t \geq 0} para definir YtY_t e Zt,Z_t, mas poderíamos ter usado processos de Wiener independentes.

Em relação a X0,X_0, assumimos que X0≥0X_0 \geq 0 quase certamente. Por exemplo, podemos tomar a condição como sendo uma log-normal:

X0=ec+dN, X_0 = e^{c + d N},

onde

c∈R,d>0,N∼N(0,1). c \in \mathbb{R}, \quad d > 0, \quad N \sim \mathcal{N}(0, 1).

Ou uma distribuição uniforme X0∼Unif(c,d),X_0 \sim \mathrm{Unif}(c, d), com d>c>0.d > c > 0.

Existência

Sob essas condições, temos, para quase todo ω,\omega, que

X0(ω),At(ω),Bt(ω)>0. X_0(\omega), A_t(\omega), B_t(\omega) > 0.

Dessa forma, a solução t↦Xt(ω)t \mapsto X_t(\omega) do problema de valor inicial da equação diferencial ordinária

{dXt(ω)dt=(At(ω)−Bt(ω)Xt(ω))Xt(ω),t≥0,Xt(ω)∣t=0=X0(ω), \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d}X_t(\omega)}{\mathrm{d}t} = (A_t(\omega) - B_t(\omega)X_t(\omega))X_t(\omega), \quad t \geq 0, \\ X_t(\omega)|_{t = 0} = X_0(\omega), \end{cases}

está definida para todo t≥0.t \geq 0.

Assim, {Xt}t≥0\{X_t\}_{t \geq 0} nos dá um processo definido em toda a reta e que é solução da equação diferencial aleatória.

Comportamento assintótico

Além disso, para cada ω,\omega, temos

At(ω)−Bt(ω)x≥a−δ−(b+δ)x>0, A_t(\omega) - B_t(\omega)x \geq a - \delta - (b + \delta) x > 0,

para

0<x<a−δb+δ. 0 < x < \frac{a - \delta}{b + \delta}.

Ou seja,

lim⁡t→∞Xt(ω)≥a−δb+δ. \lim_{t \rightarrow \infty} X_t(\omega) \geq \frac{a - \delta}{b + \delta}.

Analogamente,

At(ω)−Bt(ω)x≤a+δ−(b−δ)x<0, A_t(\omega) - B_t(\omega)x \leq a + \delta - (b - \delta) x < 0,

para

x>a+δb−δ. x > \frac{a + \delta}{b - \delta}.

Ou seja,

lim⁡t→∞Xt(ω)≤a+δb−δ. \lim_{t \rightarrow \infty} X_t(\omega) \leq \frac{a + \delta}{b - \delta}.

Portanto, para quase todo caminho amostral, temos

a−δb+δ≤lim⁡t→∞Xt(ω)≤a+δb−δ. \frac{a - \delta}{b + \delta} \leq \lim_{t \rightarrow \infty} X_t(\omega) \leq \frac{a + \delta}{b - \delta}.

Abaixo, uma simulação de Monte Carlo exibindo diversos alguns caminhos amostrais (em azul) e com um deles em destaque (em vermelho).

(CC BY-NC-ND 4.0) Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International Ricardo M. S. Rosa
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