7.3. Equação logística aleatória

Vamos considerar, agora, a equação diferencial aleatória

\[ \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = (A_t - B_t X_t)X_t \]

com uma condição inicial

\[ \left.X_t\right|_{t = 0} = X_0. \]

Assumimos que \(\{A_t\}_{t\geq 0}\) e \(\{B_t\}_{t \geq 0}\) são processos limitados satisfazendo, quase certamente, as desigualdades

\[ a - \delta \leq A_t \leq a + \delta, \quad b - \varepsilon \leq B_t \leq b + \varepsilon. \]

Por exemplo, podemos considerar

\[ A_t = a + \delta Y_t, \qquad B_t = b + \varepsilon Z_t, \]

com

\[ a, b, \delta, \varepsilon > 0, \quad a - \delta > 0, \quad b - \varepsilon > 0, \]

e onde

\[ Y_t = \frac{W_t}{1 + |W_t|}, \quad Z_t = \sin(W_t). \]

onde \(\{W_t\}_{t \geq 0}\) é um processo de Wiener. Como ambos \(\{Y_t\}_{t \geq 0}\) e \(\{Z_t\}_{t \geq 0}\) estão concentrados no intervalo \([-1, 1]\), as condições acima são satisfeitas.

Usamos um mesmo processo de Wiener \(\{W_t\}_{t \geq 0}\) para definir \(Y_t\) e \(Z_t\), mas poderíamos ter usado processos de Wiener independentes.

Em relação a \(X_0\), assumimos que \(X_0 \geq 0\) quase certamente. Por exemplo, podemos tomar a condição como sendo uma log-normal:

\[ X_0 = e^{c + d N}, \]

onde

\[ c \in \mathbb{R}, \quad d > 0, \quad N \sim \mathcal{N}(0, 1). \]

Ou uma distribuição uniforme \(X_0 \sim \mathrm{Unif}(c, d)\), com \(d > c > 0\).

Existência

Sob essas condições, temos, para quase todo \(\omega\), que

\[ X_0(\omega), A_t(\omega), B_t(\omega) > 0. \]

Dessa forma, a solução \(t \mapsto X_t(\omega)\) do problema de valor inicial da equação diferencial ordinária

\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d}X_t(\omega)}{\mathrm{d}t} = (A_t(\omega) - B_t(\omega)X_t(\omega))X_t(\omega), \quad t \geq 0, \\ X_t(\omega)|_{t = 0} = X_0(\omega), \end{cases} \]

está definida para todo \(t \geq 0\).

Assim, \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) nos dá um processo definido em toda a reta e que é solução da equação diferencial aleatória.

Comportamento assintótico

Além disso, para cada \(\omega\), temos

\[ A_t(\omega) - B_t(\omega)x \geq a - \delta - (b + \delta) x > 0, \]

para

\[ 0 < x < \frac{a - \delta}{b + \delta}. \]

Ou seja,

\[ \lim_{t \rightarrow \infty} X_t(\omega) \geq \frac{a - \delta}{b + \delta}. \]

Analogamente,

\[ A_t(\omega) - B_t(\omega)x \leq a + \delta - (b - \delta) x < 0, \]

para

\[ x > \frac{a + \delta}{b - \delta}. \]

Ou seja,

\[ \lim_{t \rightarrow \infty} X_t(\omega) \leq \frac{a + \delta}{b - \delta}. \]

Portanto, para quase todo caminho amostral, temos

\[ \frac{a - \delta}{b + \delta} \leq \lim_{t \rightarrow \infty} X_t(\omega) \leq \frac{a + \delta}{b - \delta}. \]

Abaixo, uma simulação de Monte Carlo exibindo diversos alguns caminhos amostrais (em azul) e com um deles em destaque (em vermelho).