5.4. Relação com ruído branco

Como já vimos, o conceito de processo do tipo ruído branco é delicado. Deve ser um processo estacionário com esperança nula, \(\mathbb{E}[X_t] = 0,\) variância constante \(\mathrm{Var}(X_t) = \mathbb{E}[X_t^2] = \sigma^2\) e cuja covariância \(c(t-s) = \mathrm{Cov}(X_t, X_s)\) é uma delta de Dirac:

\[ c(\tau) = \sigma_0^2\delta_0. \]

Assim, o seu espectro \(\hat c(\varpi)\) é, de fato, constante (usamos \(\varpi\), aqui, para denotar a frequência, já que \(\omega\) é usado como elemento do espaço amostral):

\[ \hat c(\varpi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty c(\tau) e^{-i\varpi \tau} \;\mathrm{d}\tau = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\varpi^2, \quad \forall \varpi \in \mathbb{R}. \]

Formalizar isso necessita de um espaço apropriado de distribuições. Não faremos os detalhes formais por aqui. O objetivo é apenas estabelecer conexões informais de que, em alguma sentido apropriado, a derivada de um processo de Wiener é um ruído branco.

Via representação

A primeira conexão pode ser obtida via representação de Paley-Wiener de um processo de Wiener, dada por

\[ W_t = \frac{t}{\sqrt{2\pi}} Z_0 + \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(\frac{1}{2}nt)}{n}Z_n, \qquad 0 \leq t \leq 2\pi. \]

Formalmente, derivando a série termo a termo, temos que a derivada temporal \(\dot W_t\) do processo se escreve como

\[ \dot W_t = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} Z_0 + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=1}^\infty \sin(\frac{1}{2}nt)Z_n, \qquad 0 \leq t \leq 2\pi, \]

de modo que os coeficientes de Fourier são constantes.

É claro que a série acima não converge em um sentido clássico. Mas serve como conexão com a ideia da derivada ser um ruído branco. De qualquer forma, um sentido mais preciso pode ser dado em um espaço apropriado de distribuições.

Limite de diferenças finitas de um processo de Wiener

A outra conexão pode ser vista mostrando-se que os processos obtidos via diferenças finitas de um processo de Wiener tem covariância convergindo para um delta de Dirac. Para isso, seguimos a derivação feita no Capítulo 3.8 de Higham & Kloeden (2021).

Vamos considerar as diferenças finitas \(\{D^h_t\}_{t\geq 0}\) de um processo de Wiener \(\{W_t\}_{t\geq 0}\), para cada \(h>0:\)

\[ D^h_t = \frac{W_{t+h} - W_t}{h}. \]

Defina

\[ c_h(t, s) = \mathbb{E}\left[ D^h_tD^h_s\right] = \mathbb{E}\left[ \left(\frac{W_{t+h} - W_t}{h} \right) \left(\frac{W_{s+h} - W_{s}}{h}\right)\right]. \]

Expandindo, temos

\[ c_h(t, s) = \frac{1}{h^2}\mathbb{E}\left[ W_{t+h}W_{s+h} - W_tW_{s+h} - W_{t+h}W_{s} + W_tW_{s}\right]. \]

Usando a expressão para a covariância de um processo de Wiener, obtemos

\[ c_h(t, s) = \frac{1}{h^2}\left( \min\{t + h, s + h\} - \min\{t, s + h\} - \min\{t + h, s\} + \min\{t, s\}\right). \]

Observe que, se \(t \leq s - h\), então

\[ c_h(t, s) = \frac{1}{h^2}\left( (t + h) - t - (t + h) + t \right) = 0. \]

Se \(s - h \leq t \leq s\), então

\[ c_h(t, s) = \frac{1}{h^2}\left( (t + h) - t - s + t \right) = \frac{t + h - s}{h^2}, \]

que é linearmente crescente, de \(0\) a \(1/h\). Se \(s \leq t \leq s + h\), então

\[ c_h(t, s) = \frac{1}{h^2}\left( (s + h) - t - s + s \right) = \frac{h + s - t}{h^2}, \]

que é linearmente decrescente, de \(1/h\) a \(0\). Por último, se \(t \geq s + h\), então

\[ c_h(t, s) = \frac{1}{h^2}\left( (s + h) - (s + h) - s + s \right) = 0. \]

Assim,

\[ c_h(t, s) = \frac{1}{h^2}\begin{cases} 0, & t \leq s - h, \\ t + h - s, & s - h \leq t \leq s, \\ h + s - h, & s \leq t \leq s + h, \\ 0, & t \geq s + h. \end{cases} \]

Observe, ainda, que

\[ \int_\mathbb{R} c_h(t, s) \;\mathrm{d}t = 1, \qquad \forall s\in \mathbb{R}. \]

Ou seja, no limite, temos, de fato, uma delta de Dirac:

\[ c_h(\cdot, s) \rightarrow \delta_s, \qquad h \rightarrow 0. \]