Como já vimos, o conceito de processo do tipo ruído branco é delicado. Deve ser um processo estacionário com esperança nula, E[Xt]=0, variância constante Var(Xt)=E[Xt2]=σ2 e cuja covariância c(t−s)=Cov(Xt,Xs) é uma delta de Dirac:
c(τ)=σ02δ0(τ).
Assim, o seu espectro c^(ϖ) é, de fato, constante (usamos ϖ, aqui, para denotar a frequência, já que ω é usado como elemento do espaço amostral):
c^(ϖ)=2π1∫−∞∞c(τ)e−iϖτdτ=2π1σ02,∀ϖ∈R.
Formalizar isso necessita de um espaço apropriado de distribuições. Não faremos os detalhes formais por aqui. O objetivo é apenas estabelecer conexões informais de que, em alguma sentido apropriado, a derivada de um processo de Wiener é um ruído branco.
A primeira conexão pode ser obtida via representação de Paley-Wiener de um processo de Wiener, dada por
Wt=2πtZ0+2π2n=1∑∞nsin(21nt)Zn,0≤t≤2π.
Formalmente, derivando a série termo a termo, temos que a derivada temporal W˙t do processo se escreve como
W˙t=2π1Z0+2π1n=1∑∞sin(21nt)Zn,0≤t≤2π,
de modo que os coeficientes de Fourier são constantes.
É claro que a série acima não converge em um sentido clássico. Mas serve como conexão com a ideia da derivada ser um ruído branco. De qualquer forma, um sentido mais preciso pode ser dado em um espaço apropriado de distribuições.
A outra conexão pode ser vista mostrando-se que os processos obtidos via diferenças finitas de um processo de Wiener tem covariância convergindo para um delta de Dirac. Para isso, seguimos a derivação feita no Capítulo 3.8 de Higham & Kloeden (2021).
Vamos considerar as diferenças finitas {Dth}t≥0 de um processo de Wiener {Wt}t≥0, para cada h>0: