8.9. A equação de Langevin e o processo de Ornstein-Uhlenbeck

O modelo clássico (processo de Wiener) para o movimento Browniano de uma micro-partícula em um determinado meio é fundamentado na ação causada pelo bombardeamento aleatório das partículas do meio, mas não leva em consideração o momento da partícula. De fato, cada colisão acarreta diretamente em uma mudança de posição da micro-partícula, influenciando a taxa de variação de posição (i.e. velocidade), ao invés de acarretar em uma mudança na taxa de variação de momento (ou de aceleração). Uma alternativa a esse modelo é a equação de Langevin

$$\frac{\mathrm{d}v_t}{\mathrm{d}t} = - \nu v_t + \sigma \xi_t$$

onde $\nu > 0,$ $\sigma > 0,$ $v_t$ representa a velocidade da partícula no instante $t$ e $\xi_t$ é um ruído branco, modelado por $\mathrm{d}W_t/\mathrm{d}t.$

Essa é uma versão estocástica das equações de movimento de Newton. O primeiro termo do lado direito representa um termo viscoso, com uma resultante de forças proporcional à velocidade da partícula. O segundo termo do lado direito representa a ação causada pelo bombardeamento aleatório das partículas do meio. O termo viscoso representa um bombardeamento "médio" ordenado, condizente com a ideia de que a maior parte do bombardeamento ocorre à frente do objeto, conjugada com uma atração molecular das partículas que ficam para trás, puxando a partícula no sentido contrário ao do seu movimento. Em cima desse bombardeamento médio, gerando a viscosidade, temos as flutuações desordenadas dos bombardeamentos, representado pelo ruído branco.

Em termos da posição $x_t$ da partícula em cada instante $t,$ o modelo de Langevin toma a forma

$$\ddot x_t = - \nu \dot x_t + \sigma \eta_t.$$

No entanto, a derivada de um processo de Wiener não está bem definida no sentido clássico, de modo que a equação de Langevin tem apenas um sentido heurístico. Um modelo rigoroso utilizado com esse mesmo sentido físico é o processo de Ornstein-Uhlenbeck $\{O_t\}_{t \geq 0},$ dado como solução da equação diferencial estocástica

$$\mathbb{d}O_t = - \nu O_t\;\mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W_t,$$

onde $O_t$ é interpretado como sendo uma variável aleatória representando a velocidade da partícula no instante $t.$

Resolução

A solução dessa equação é

$$O_t = e^{-\nu t}O_0 + \sigma \int_0^t e^{-\nu(t - s)}\;\mathrm{d}W_s.$$

De fato, somando e subtraindo $1$ nos dois termos e renomeando a variável de integração, temos

$$O_t = O_0 + \left(e^{-\nu t} - 1\right)O_0 + \sigma \int_0^t \left(e^{-\nu(t - \tau)} - 1\right)\;\mathrm{d}W_\tau + \sigma\int_0^t \;\mathrm{d}W_s.$$

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, escrevemos

$$O_t = O_0 - \nu\left(\int_0^t e^{-\nu s}\;\mathrm{d}s\right)O_0 - \nu \sigma \int_0^t \left(\int_{\tau}^t e^{-\nu(s - \tau)}\;\mathrm{d}s\right)\;\mathrm{d}W_\tau + \sigma\int_0^t \;\mathrm{d}W_s.$$

Trocando a ordem de integração do terceiro termo e reescrevendo o segundo termo, obtemos

$$O_t = O_0 - \nu\int_0^t e^{-\nu s}O_0\;\mathrm{d}s - \nu \sigma \int_0^t \int_0^s e^{-\nu(s - \tau)}\;\mathrm{d}W_\tau\;\mathrm{d}s + \sigma\int_0^t \;\mathrm{d}W_s$$

Juntando o segundo e o terceiro termos, chegamos a

$$O_t = O_0 - \nu\int_0^t \left(e^{-\nu s}O_0 + \sigma \int_0^s e^{-\nu(s - \tau)}\;\mathrm{d}W_\tau\right)\;\mathrm{d}s + \sigma\int_0^t \;\mathrm{d}W_s.$$

O integrando do segundo termo é precisamente $O_s,$ de modo que

$$O_t = O_0 - \int_0^t \nu O_s\;\mathrm{d}s + \int_0^t \sigma\;\mathrm{d}W_s.$$

Isso significa, exatamente, que $\{O_t\}_{t \geq 0},$ conforme definido acima, satisfaz a equação diferencial estocástica

$$\mathrm{d}O_t = -\nu O_t\;\mathrm{d}t + \sigma\;\mathrm{d}W_t.$$

De outra forma, escrevendo

$$O_t = e^{-\nu t}O_0 + \sigma e^{-\nu t}\int_0^t e^{\nu s}\;\mathrm{d}W_t,$$

e derivando informalmente os produtos, vemos que

$$\begin{align*} \mathrm{d}O_t & = -\nu e^{-\nu t}O_0 \;\mathrm{d}t - \sigma \nu e^{-\nu t}\;\mathrm{d}t \int_0^t e^{\nu s}\;\mathrm{d}W_t + \sigma \;\mathrm{d}W_t \\ & = -\nu O_t\;\mathrm{d}t + \sigma\;\mathrm{d}W_t. \end{align*}$$

Bom, essas contas mostram que a fórmula acima nos dá, de fato, uma solução da equação. Mas como podemos chegar na solução a partir da equação? Podemos usar um fator de integração dado pelo termo de drift, a saber, $e^{\nu t}.$ Dessa forma, temos

$$\mathrm{d}(e^{\nu t}O_t) = \nu e^{\nu t}O_t \;\mathrm{d}t + e^{\nu t}\;\mathrm{d}O_t = \nu e^{\nu t}O_t \;\mathrm{d}t + e^{\nu t}\left( - \nu O_t\;\mathrm{d}t + \sigma \;\mathrm{d}W_t \right) = \sigma e^{\nu t}\;\mathrm{d}W_t.$$

Integrando, obtemos

$$e^{\nu t}O_t - O_0 = \sigma\int_0^t e^{\nu s}\;\mathrm{d}W_s.$$

Isso nos dá, exatamente, a solução

$$O_t = e^{-\nu t}O_0 + \sigma \int_0^t e^{-\nu(t - s)}\;\mathrm{d}W_s.$$

Propriedades estatísticas

Da fórmula

$$O_t = e^{-\nu t}O_0 + \sigma \int_0^t e^{-\nu(t - s)}\;\mathrm{d}W_s,$$

como a esperança da integral de Itô é nula, deduzimos que

$$\mathbb{E}[O_t] = e^{-\nu t}\mathbb{E}[O_0].$$

Calculando a média quadrática, temos

$$O_t^2 = e^{-2\nu t}O_0^2 + 2\sigma e^{-\nu t}O_0\int_0^t e^{-\nu(t - s)}\;\mathrm{d}W_s + \sigma^2\left( \int_0^t e^{-\nu(t - s)}\;\mathrm{d}W_s\right)^2.$$

Usando que $O_0$ é independente do processo de Wiener, o termo misto se anula. Assim, usando a isometria de Itô no último termo, obtemos

$$\mathbb{E}[O_t^2] = e^{-2\nu t}\mathbb{E}[O_0^2] + \sigma^2 \int_0^t e^{-2\nu(t - s)}\;\mathrm{d}s = e^{-2\nu t}\mathbb{E}[O_0^2] + \frac{\sigma^2}{2\nu}\left(1 - e^{-2\nu t}\right).$$

Com isso,

$$\mathrm{Var}(O_t) = \mathbb{E}[O_t^2] - \mathbb{E}[O_t]^2 = e^{-2\nu t}\left(\mathbb{E}[O_0^2]-\mathbb{E}[O_0]^2\right) + \frac{\sigma^2}{2\nu}\left(1 - e^{-2\nu t}\right),$$

de modo que

$$\mathrm{Var}(O_t) = e^{-2\nu t}\mathrm{Var}(O_0) + \frac{\sigma^2}{2\nu}\left(1 - e^{-2\nu t}\right).$$

Observe que

$$\mathbb{E}[O_t] \rightarrow 0, \quad \mathrm{Var}(O_t) \rightarrow \frac{\sigma^2}{2\nu}, \qquad \textrm{quando } t \rightarrow \infty.$$

Além disso, para $0 \leq t_1 < t_2,$

$$O_{t_1}O_{t_2} = e^{-\nu (t_1 + t_2)}O_0^2 + \sigma e^{-\nu t_1}O_0\int_0^{t_2} e^{-\nu (t_2 - s)}\;\mathrm{d}W_s + \sigma e^{-\nu t_2}O_0\int_0^{t_1} e^{-\nu (t_1 - s)}\;\mathrm{d}W_s \\ + \sigma^2 \left(\int_0^{t_1} e^{-\nu(t_1 - s)}\;\mathrm{d}W_s\right)\left(\int_0^{t_2} e^{-\nu(t_2 - s)}\;\mathrm{d}W_s\right)$$

Novamente, a esperança dos termos mistos se anula, nos dando

$$\mathbb{E}[O_{t_1} O_{t_2}] = e^{-\nu (t_1+t_2)}\mathbb{E}[O_0^2] + \sigma^2\mathbb{E}[\left(\int_0^{t_1} e^{-\nu(t_1 - s)}\;\mathrm{d}W_s\right)\left(\int_0^{t_2} e^{-\nu(t_2 - s)}\;\mathrm{d}W_s\right)].$$

Como $t_2 > t_1,$ separamos o segundo integral em duas partes,

$$\int_0^{t_2} e^{-\nu(t_2 - s)}\;\mathrm{d}W_s = \int_0^{t_1} e^{-\nu(t_2 - s)}\;\mathrm{d}W_s + \int_{t_1}^{t_2} e^{-\nu(t_2 - s)}\;\mathrm{d}W_s.$$

Pela propriedade dos processos de Wiener, o segundo termo é independente da outra integral, ou seja,

$$\mathbb{E}\left[ \left(\int_0^{t_1} e^{-\nu(t_1 - s)}\;\mathrm{d}W_s\right)\left(\int_{t_1}^{t_2} e^{-\nu(t_2 - s)}\;\mathrm{d}W_s\right)\right] = \mathbb{E}\left[ \left(\int_0^{t_1} e^{-\nu(t_1 - s)}\;\mathrm{d}W_s\right)\right]\mathbb{E}\left[\left(\int_{t_1}^{t_2} e^{-\nu(t_2 - s)}\;\mathrm{d}W_s\right)\right] = 0.$$

Sobram, então,

$$\mathbb{E}[O_{t_1} O_{t_2}] = e^{-\nu (t_1+t_2)}\mathbb{E}[O_0^2] + \sigma^2\mathbb{E}[\left(\int_0^{t_1} e^{-\nu(t_1 - s)}\;\mathrm{d}W_s\right)\left(\int_0^{t_1} e^{-\nu(t_2 - s)}\;\mathrm{d}W_s\right)].$$

A isometria de Itô na versão de dois integrandos diferentes nos dá

$$\mathbb{E}[O_{t_1} O_{t_2}] = e^{-\nu (t_1+t_2)}\mathbb{E}[O_0^2] + \sigma^2\int_0^{t_1} e^{-\nu(t_1 - s)} e^{-\nu(t_2 - s)}\;\mathrm{d}s = e^{-\nu (t_1 + t_2)} \mathbb{E}[O_0^2] + \sigma^2e^{-\nu (t_1 + t_2)}\int_0^{t_1} e^{2\nu s} \;\mathrm{d}s \\ = e^{-\nu (t_1 + t_2)}\mathbb{E}[O_0^2] + \frac{\sigma^2}{2\nu}e^{-\nu (t_1 + t_2)}\left(e^{2\nu t_1} - 1\right) = e^{-\nu (t_1 + t_2)}\mathbb{E}[O_0^2] + \frac{\sigma^2}{2\nu}\left( e^{-\nu (t_2 - t_1)} - e^{-\nu (t_1 + t_2)}\right).$$

Para $t_1, t_2 \geq 0$ arbitrários, isso nos dá, por simetria,

$$\mathrm{Cov}(O_{t_1}, O_{t_2}) = e^{-\nu (t_1 + t_2)}\mathrm{Var}(O_0) + \frac{\sigma^2}{2\nu}\left( e^{-\nu |t_2 - t_1|} - e^{-\nu (t_1 + t_2)}\right).$$

Para $t_1 = t$ e $t_2 = t + \tau,$

$$\mathrm{Cov}(O_{t}, O_{t+\tau}) = e^{-\nu (2t + \tau)}\mathrm{Var}(O_0) + \frac{\sigma^2}{2\nu}e^{-\nu \tau}\left( 1 - e^{-2\nu t}\right).$$

Assintoticamente em $t\rightarrow \infty,$ temos

$$\mathrm{Cov}(O_{t}, O_{t+\tau}) \sim \frac{\sigma^2}{2\nu}e^{-\nu \tau},$$

ou seja, para $\tau \gg 1/\nu,$ os processos estão essencialmente descorrelacionados. O parâmetro $1/\nu$ funciona como uma escala de tempo para o correlacionamento.

Veremos, abaixo, como isso pode ser usado para se obter uma aproximação de um ruído branco.

Posição e velocidade na forma de sistema

Interpretando um processo de Ornstein-Uhlenbeck como representando a evolução da velocidade de uma partícula, podemos obter a posição integrando esse processo. Nesse caso, é comum denotarmos o processo de Ornstein-Uhlenbeck, modelando a equação de Langevin, como $\{Y_t\}_{t \geq 0},$ de modo que a posição fica sendo dada por

$$X_t = X_0 + \int_0^t Y_s \;\mathrm{d}s.$$

Podemos, ainda escrever ambos os processos como solução do sistema de equações diferenciais estocásticas

$$\begin{cases} \mathrm{d}X_t = Y_t\;\mathrm{d}t, \\ \mathrm{d}Y_t = - \nu Y_t \;\mathrm{d}t + \sigma \;\mathrm{d}W_t, \end{cases}$$

com condições iniciais

$$\left. X_t \right|_{t = 0} = X_0, \qquad \left. O_t \right|_{t = 0} = O_0.$$

Essa é a versão rigorosa da equação de segunda ordem

$$\ddot x_t = - \nu \dot x_t + \sigma \eta_t.$$

Propriedade de reversão à média

O processo de Orstein-Uhlenbeck $\{O_t\}_{t \geq 0},$ conforme definido acima, tem a propriedade $\mathbb{E}[O_t] = \mathbb{E}[O_0] e^{-\nu t} \rightarrow 0,$ quando $t \rightarrow \infty$ (veja os Exercícios). Nesse caso, podemos dizer que a média assintótica é nula e que o processo "reverte", assintoticamente, a essa média nula. Mais geralmente, podemos adicionar um termo extra $\nu\mu\;\mathrm{d}t$ de drift aditivo, nos levando à equação

$$\mathbb{d}\hat O_t = - \nu (\hat O_t - \mu)\;\mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W_t.$$

Escrevendo $O_t = \hat O_t - \mu,$ vemos que $\{O_t\}_{t \geq 0}$ é um processo de Orstein-Uhlenbeck sem o termo extra:

$$\mathbb{d} O_t = -\nu O_t \;\mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W_t.$$

Como $\mathbb{E}[O_t] \rightarrow 0,$ quando $t \rightarrow 0,$ então $\mathbb{E}[\hat O_t] = \mathbb{E}[O_t] + \mu \rightarrow \mu,$ ou seja, a esperança de $\{\hat O_t\}_{t \geq 0}$ converge para a média $\mu.$ Assim, o processo de Orstein-Uhlenbeck é um exemplo de mean-reverting process, ou "processo que reverte à média".

Exercícios

Nos exercícios abaixo, considere o sistema

$$\begin{cases} \mathrm{d}X_t = Y_t\;\mathrm{d}t, \\ \mathrm{d}Y_t = - \nu Y_t \;\mathrm{d}t + \sigma \;\mathrm{d}W_t, \end{cases}$$

1. Mostre que

$$\mathbb{E}[Y_t] = \mathbb{E}[Y_0] e^{-\nu t}.$$

2. Mostre que

$$\mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}[X_0] + \frac{1}{\nu}\mathbb{E}[Y_0] \left(1 - e^{-\nu t}\right).$$

3. Para $Y_0 = y_0$ determinístico, calcule a variância $\mathrm{Var}(Y_t).$

4. Para $X_0 = x_0,$ $Y_0 = y_0$ determinísticos, calcule a variância $\mathrm{Var}(X_t).$