8.8. Ponte Browniana

Uma outra equação clássica é a da ponte Browniana (Brownian Bridge)

\[ \mathrm{d}B_t = - \frac{B_t}{1-t}\;\mathrm{d}t + \;\mathrm{d}W_t, \]

com condição inicial

\[ B_0 = 0. \]

Resolução

Esta é uma equação linear e cuja solução pode ser obtida, também, via fator de integração, tendo a forma

\[ B_t = (1 - t)\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s, \quad 0 \leq t < 1. \]

Isso pode ser verificado diretamente, já que a integral de Itô acima é explícita. De fato,

\[ \mathrm{d}B_t = - \int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s + (1 - t)\frac{\mathrm{d}W_t}{1 - t} = - \frac{1}{1-t}B_t + \;\mathrm{d}W_t. \]

Para deduzir a solução via fator de integração, observe que uma primitiva de \(p(t) = 1/(1-t)\) é \(-\ln(1-t) = \ln((1-t)^{-1})\), de modo que o fator de integração é \(I(t) = e^{\int^t 1/(1-s)\;\mathrm{d}s} = (1-t)^{-1}\). Dividindo, então, a equação por \(1-t\), temos

\[ \frac{1}{1-t}\mathrm{d}B_t + \frac{B_t}{(1-t)^2}\;\mathrm{d}t = \frac{1}{1-t}\;\mathrm{d}W_t. \]

O lado esquerdo é a derivada do termo \(Y_t = B_t/(1-t)\), de modo que

\[ \mathrm{d}Y_t = \frac{1}{1-t}\;\mathrm{d}W_t. \]

A solução é a primitiva do lado direito:

\[ Y_t = \int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s. \]

Voltando para \(B_t\), temos

\[ B_t = (1-t)Y_t = (1-t)\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s. \]

A ponte

O motivo do nome desse processo vem do fato de que

\[ \lim_{t \rightarrow 1} B_t = 0, \]

quase certamente. Ou seja, o processo \(\{B_t\}_{0 \leq t < 1}\) faz uma "ponte", saindo da origem e voltando à origem, com caminhos contínuos quase certamente. Para mostrar esse resultado, observe, primeiro, que

\[ \mathbb{E}[B_t] = (1-t)\mathbb{E}\left[\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s\right] = 0. \]

Temos, também, pela isometria de Itô, que

\[ \begin{align*} \mathrm{Var}(B_t) & = \mathbb{E}[B_t^2] \\ & = (1-t)^2\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s\right)^2\right] \\ & = (1 - t)^2\int_0^t \frac{1}{(1-s)^2}\;\mathrm{d}s \\ & = (1 - t)^2 \left.\left( \frac{1}{1-s} \right)\right|_{s = 0}^{t} \\ & = (1 - t)^2 \left(\frac{1}{(1 - t)} - 1 \right) \\ & = (1 - t) - (1 - t)^2 \\ & = t(1 - t). \end{align*} \]

Em particular,

\[ \lim_{t \rightarrow 0} \mathbb{E}\left[B_t^2\right] = 0, \qquad \lim_{t \rightarrow 1} \mathbb{E}\left[B_t^2\right] = 0. \]

Portanto,

\[ \lim_{t \rightarrow 0} B_t = 0, \qquad \lim_{t \rightarrow 1} B_t = 0, \]

em probabilidade. Como os caminhos amostrais são contínuos, obtemos a convergência quase certamente.

Observe, ainda, que a variância é simétrica em relação ao instante médio \(t = 1/2\) e alcança o seu máximo exatamente nesse ponto.

Outras representações

Uma ponte browniana também tem outras representações, como

\[ B_t = W_t - t W_1 = (1-t)W_{t/(1-t)}. \]

Por sua vez, um processo de Wiener também pode ser escrito em termos de pontes brownianas, como em

\[ W_t = B_t + t N, \quad 0\leq t < 1, \]

onde \(N\) é uma variável aleatória normal e independente de \(\{B_t\}_{t \geq 0}\), e

\[ W_t = (1 + t)B_{t/(1 + t)}, \quad t \geq 0. \]

Mas deixamos isso a cargo do leitor mais interessado.

Exercícios

1. Uma ponte browniana pode ser definida, mais geralmente, em um intervalo \([0, T)\), como solução da equação

\[ \mathrm{d}B_t = - \frac{B_t}{T-t}\;\mathrm{d}t + \;\mathrm{d}W_t, \]

com condição inicial \(B_0 = 0\). Ache uma fórmula explíta para \(B_t\) como uma integral de Itô e encontro a variância \(\mathrm{V}(B_t)\), ao longo de \(0 \leq t < T\).