8.8. Ponte Browniana

Uma outra equação clássica é a da ponte Browniana (Brownian Bridge), que é definida pelo processo de Wiener restrito a um determinado intervalo e com valores condicionados nos extremos do intervalo. A ponte Browniana padrão é definida no intervalo \([0, 1]\) e condicionada a \(W_t = 1,\) ou seja, é o processo

\[ B_t = W_t |_{W_1 = 0}, \quad 0 \leq t \leq 1. \]

É possível mostrar que esse processo satisfaz a equação diferencial estocástica (veja os exercícios)

\[ \mathrm{d}B_t = - \frac{B_t}{1-t}\;\mathrm{d}t + \;\mathrm{d}W_t, \]

no intervalo \([0, 1],\) com condição inicial

\[ B_0 = 0. \]

Em forma integral, temos

\[ B_t = \int_0^t \frac{B_s}{1 - s}\;\mathrm{d}s + W_t, \quad 0 \leq t \leq 1. \]

Observe que a equação diferencial estocástica, em si, não faz sentido em \(t = 1,\) pois o denominador de um dos termos se anula, mas a forma integral faz, pelo menos no espaço de processos estocásticos de quadrado integrável, visto que, nesse caso,

\[ \mathbb{E}\left[ \int_0^t \frac{B_s}{1 - s}\;\mathrm{d}s\right] \leq \left(\int_0^T \mathbb{E}[B_s^2] \;\mathrm{d}s\right)^{1/2} \left(\int_0^T \frac{1}{(1-s)^2}\;\mathrm{d}s\right)^{1/2} < \infty. \]

Resolução

Esta é uma equação linear e cuja solução pode ser obtida, também, via fator de integração, tendo a forma

\[ B_t = (1 - t)\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s, \quad 0 \leq t \leq 1. \]

Isso pode ser verificado diretamente, já que a integral de Itô acima é explícita. De fato,

\[ \mathrm{d}B_t = - \int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s + (1 - t)\frac{\mathrm{d}W_t}{1 - t} = - \frac{1}{1-t}B_t + \;\mathrm{d}W_t. \]

Para deduzir a solução via fator de integração, observe que uma primitiva de \(p(t) = 1/(1-t)\) é \(-\ln(1-t) = \ln((1-t)^{-1}),\) de modo que o fator de integração é \(I(t) = e^{\int^t 1/(1-s)\;\mathrm{d}s} = (1-t)^{-1}.\) Dividindo, então, a equação por \(1-t,\) temos

\[ \frac{1}{1-t}\mathrm{d}B_t + \frac{B_t}{(1-t)^2}\;\mathrm{d}t = \frac{1}{1-t}\;\mathrm{d}W_t. \]

O lado esquerdo é a derivada do termo \(Y_t = B_t/(1-t),\) de modo que

\[ \mathrm{d}Y_t = \frac{1}{1-t}\;\mathrm{d}W_t. \]

A solução é a primitiva do lado direito:

\[ Y_t = \int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s. \]

Voltando para \(B_t,\) temos

\[ B_t = (1-t)Y_t = (1-t)\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s. \]

A ponte

O motivo do nome desse processo vem do fato de que \(B_0 = B_1 = 0,\) ou seja, é um processo que sai de zero e termina em zero, com um movimento estocástico no meio. E, mais ainda, os caminhos são, quase certamente, contínuos em \([0, 1],\) com

\[ \lim_{t \rightarrow 1} B_t = 0, \]

quase certamente. Ou seja, o processo \(\{B_t\}_{0 \leq t < 1}\) faz uma "ponte", saindo da origem e voltando à origem, com caminhos contínuos quase certamente. Para mostrar o limite acima, observe, primeiro, que

\[ \mathbb{E}[B_t] = (1-t)\mathbb{E}\left[\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s\right] = 0. \]

Temos, também, pela isometria de Itô, que

\[ \begin{align*} \mathrm{Var}(B_t) & = \mathbb{E}[B_t^2] \\ & = (1-t)^2\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s\right)^2\right] \\ & = (1 - t)^2\int_0^t \frac{1}{(1-s)^2}\;\mathrm{d}s \\ & = (1 - t)^2 \left.\left( \frac{1}{1-s} \right)\right|_{s = 0}^{t} \\ & = (1 - t)^2 \left(\frac{1}{(1 - t)} - 1 \right) \\ & = (1 - t) - (1 - t)^2 \\ & = t(1 - t). \end{align*} \]

Em particular,

\[ \lim_{t \rightarrow 0} \mathbb{E}\left[B_t^2\right] = 0, \qquad \lim_{t \rightarrow 1} \mathbb{E}\left[B_t^2\right] = 0. \]

Portanto,

\[ \lim_{t \rightarrow 0} B_t = 0, \qquad \lim_{t \rightarrow 1} B_t = 0, \]

em probabilidade. Como os caminhos amostrais são contínuos, obtemos a convergência quase certamente.

Observe, ainda, que a variância é simétrica em relação ao instante médio \(t = 1/2\) e alcança o seu máximo exatamente nesse ponto.

Por fim, podemos calcular a covariância entre instantes \(0 \leq s, t \leq 1.\) Nesse caso, temos

\[ \mathbb{E}[B_tB_s] = (1 - t)(1 - s)\mathbb{E}\left[ \int_0^t \int_0^s \frac{1}{(1-\xi)(1-\tau)}\;\mathrm{d}W_\xi \mathrm{d}W_\tau\right] \]

Caso \(0 \leq s \leq t \leq 1,\) dividimos a integral exterior de \(0\) a \(s\) e de \(s\) a \(t.\) Como os incrementos no intervalo \([s, t]\) são independentes dos incrementos no intervalo \([0, s],\) temos

\[ \mathbb{E}\left[ \int_s^t \int_0^s \frac{1}{(1-\xi)(1-\tau)}\;\mathrm{d}W_\xi \mathrm{d}W_\tau \right], \]

de modo que

\[ \mathbb{E}[B_tB_s] = (1 - t)(1 - s)\mathbb{E}\left[ \int_0^s \int_0^s \frac{1}{(1-\xi)(1-\tau)}\;\mathrm{d}W_\xi \mathrm{d}W_\tau \right] = (1 - t)(1 - s) \mathbb{E}\left[ \left(\int_0^s \frac{1}{(1-\tau)}\;\mathrm{d}W_\tau\right)^2\right]. \]

Usando a fórmula de Itô para dois processos, temos

\[ \mathbb{E}[B_tB_s] = (1 - t)(1 - s)\int_0^s \frac{1}{(1-\tau)^2}\;\mathrm{d}\tau = (1 - t)(1 - s)\left(\frac{1}{1 - \tau}\right)\bigg|_{\tau = 0}^{\tau = s} = (1 - t) - (1 - t)(1 - s) = (1 - t)s. \]

Caso \(0 \leq t \leq s \leq 1,\) obtemos, por simetria,

\[ \mathbb{E}[B_tB_s] = (1 - s)t \]

De modo geral, como a ponte Browniana tem esperança nula, temos

\[ \operatorname{Cov}(B_t, B_s) = \mathbb{E}[B_tB_s] = \min\{s, t\} - st, \qquad 0 \leq s, t \leq 1. \]

Outras representações

Uma ponte browniana também tem outras representações, como

\[ B_t = W_t - t W_1 = (1-t)W_{t/(1-t)}. \]

Por sua vez, um processo de Wiener também pode ser escrito em termos de pontes brownianas, como em

\[ W_t = B_t + t N, \quad 0\leq t < 1, \]

onde \(N\) é uma variável aleatória normal e independente de \(\{B_t\}_{t \geq 0}.\) Deixamos a verificação desses fatos como exercício.

Uma outra representação é

\[ W_t = (1 + t)B_{t/(1 + t)}, \quad t \geq 0. \]

Conexão com a definição via condicionamento nos extremos do intervalo

Vimos acima que a solução \(\{B_t\}_t\) da equação diferencial estocástica acima é um processo Gaussiano caracterizado por ter média zero ao longo do intervalo e covariância dada por

\[ \operatorname{Cov}(B_t, B_s) = \mathbb{E}[B_tB_s] = \min\{s, t\} - st, \qquad 0 \leq s, t \leq 1. \]

Para mostrar que essa é, de fato, a ponte Browniana definida por

\[ B_t = W_t |_{W_1 = 0}, \quad 0 \leq t \leq 1, \]

basta mostrar que esse último também é um processo Gaussiano com média zero e mesma covariância. Como o processo de Wiener é Gaussiano, então esse processo condicionado também o é. Para analisar a média e a covariância, vamos usar a PDF do vetor aleatório \((W_t, W_s, W_1).\)

Na verdade, vamos apenas verificar que \(\mathbb{E}[B_t] = 0\) e \(\mathbb{E}[B_t^2] = t(1 - t).\) Deixamos a covariância como exercício. Para essas duas propriedades estatísticas, basta analisarmos o vetor aleatório \(X = (W_t, W_1).\) A média é zero,

\[ \mathbb{E}[X] = (\mathbb{E}[W_t], \mathbb{E}[W_1]) = (0, 0). \]

A matriz de covariância é dada por

\[ \Sigma = \begin{bmatrix} \mathbb{E}[W_t^2] & \mathbb{E}[W_tW_1] \\ \mathbb{E}[W_tW_1] & \mathbb{E}[W_1^2] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t & t \\ t & 1 \end{bmatrix}, \]

onde usamos que \(0 \leq t \leq 1.\) Temos

\[ \det(\Sigma) = t(1 - t), \qquad \Sigma^{-1} = \frac{1}{t(1-t)}\begin{bmatrix} 1 & -t \\ -t & t \end{bmatrix}. \]

Assim, a PDF de \(X\) é dada por

\[ p(x) = p(x_t, x_1) = \frac{1}{2\pi \det(\Sigma)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x_t, x\end{pmatrix} \Sigma^{-1}\begin{pmatrix} x_t \\ x\end{pmatrix} } = \frac{1}{2\pi t^{1/2}(1 - t)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}\frac{1}{t(1-t)} (x_t^2 - 2tx_tx_1 + t^2x_1^2) } \]

onde o espaço de eventos é descrito por \(x = (x_t, x_1)\in \mathbb{R}^2.\) A marginal correspondendo ao condicionamento \(W_1 = 0\) é

\[ p(x_t, 0) = \frac{1}{2\pi t^{1/2}(1 - t)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}\frac{1}{t(1-t)} x_t^2 }. \]

Com essa marginal, podemos calcular

\[ \mathbb{E}[B_t] = \int_{-\infty}^\infty x_t p(x_t, 0) \;\mathrm{d}x_t = 0, \]

pela simetria da marginal, e

\[ \begin{align*} \mathbb{E}[B_t^2] & = \int_{-\infty}^\infty x_t^2 p(x_t, 0) \;\mathrm{d}x_t \\ & = \frac{1}{2\pi t^{1/2}(1 - t)^{1/2}} \int_{-\infty}^\infty x_t^2 e^{-\frac{1}{2}\frac{1}{t(1-t)} x_t^2 } \;\mathrm{d}x_t \\ & = \frac{t(1 - t)}{2\pi t^{1/2}(1 - t)^{1/2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}\frac{1}{t(1-t)} x_t^2 } \;\mathrm{d}x_t \\ & = t(1 - t). \end{align*} \]

Para a covariância, precisamos considerar o vetor aleatório \(X = (W_s, W_t, W_1).\) Por simetria, podemos assumir \(0 \leq s \leq t \leq 1.\) Nesse caso, também temos \(\mathbb{E}[X] = (0, 0, 0)\) e a covariância toma a forma

\[ \Sigma = \begin{bmatrix} s & s & s \\ s & t & t \\ s & t & 1 \end{bmatrix}. \]

A inversa (e o determinante) pode ser calculado via escalonamento da matriz

\[ \begin{align*} \left[ \begin{matrix} s & s & s \\ s & t & t \\ s & t & 1 \end{matrix} \;\middle\vert\; \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] & \mapsto \left[ \begin{matrix} s & 0 & 0 \\ 0 & t-s & 0 \\ 0 & 0 & 1-t \end{matrix} \;\middle\vert\; \begin{matrix} \frac{t}{t-s} & -\frac{s}{t-s} & 0 \\ -1 & \frac{1-s}{1-t} & -\frac{t-s}{1-t} \\ 0 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \\ & \mapsto \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \;\middle\vert\; \begin{matrix} \frac{t}{s(t-s)} & -\frac{1}{t-s} & 0 \\ -\frac{1}{t-s} & \frac{1-s}{(t-s)(1-t)} & -\frac{1}{1-t} \\ 0 & -\frac{1}{1-t} & \frac{1}{1-t} \end{matrix} \right]. \end{align*} \]

Portanto,

\[ \det\Sigma = s(t-s)(1-t), \qquad \Sigma^{-1} = \frac{1}{s(t-s)(1-t)}\begin{bmatrix} t(1-t) & s(1-t) & 0 \\ -s(1-t) & s(1-s) & -s(t-s) \\ 0 & -s(t-s) & s(t-s) \end{bmatrix} \]

Assim, a PDF de \(X=(W_s, W_t, W_1)\) é dada por

\[ p(x) = p(x_s, x_t, x_1) = \frac{1}{2\pi \det(\Sigma)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x_s, x_t, x \end{pmatrix} \Sigma^{-1}\begin{pmatrix} x_s \\ x_t \\ x\end{pmatrix} }. \]

onde o espaço de eventos é descrito por \(x = (x_s, x_t, x_1)\in \mathbb{R}^3.\) Não precisamos explicitar toda a PDF pois estamos interessados apenas na marginal correspondendo ao condicionamento \(W_1 = 0,\) que é

\[ p(x_s, x_t, 0) = \frac{1}{2\pi s^{1/2}(t-s)^{1/2}(1 - t)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}\frac{1}{s(t-s)(1-t)} \left( t(1-t)x_s^2 - 2s(1-t)x_tx_s + s(1-s)x_t^2\right) }. \]

A covariância, ainda com \(1 < s < t < 1,\) pode ser calculada, agora, via

\[ \mathbb{E}[B_sB_t] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x_sx_t p(x_s, x_t, 0) \;\mathrm{d}x_t\;\mathrm{d}x_s. \]

Deixamos como exercício a verificação de que \(\mathbb{E}[B_sB_t] = s - st.\) Por simetria, para \(1 < t < s < 1,\) obtemos \(\mathbb{E}[B_sB_t] = t - st.\) Com isso, e juntando com os cálculos anteriores, obtemos, para \(0 \leq t \leq s \leq 1,\)

\[ \mathbb{E}[B_sB_t] = \min\{s, t\} - st. \]

Isso conclui a demonstração de que \(B_t = W_t |_{W_1 = 0}\) é o mesmo processo que é solução da equação diferencial estocástica inicial.

Exercícios

1. Uma ponte Browniana, sendo um processo gaussiano, também pode ser definido através da sua covariância, ou seja, como sendo um processo Gaussiano \(\{B_t\}_{0 \leq t \leq 1}\) com caminhos contínuous quase certamente; satisfazendo \(B_0 = B_1 = 0\) quase certamente; \(\mathbb{E}[B_t] = 0,\) para todo \(0 \leq t \leq 1;\) e \(\operatorname{Cov}(B_t, B_s) = \min\{s, t\} - st,\) para \(0 \leq s, t \leq 1.\) (i) Usando essa caracterização, mostre que, se \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) é um processo de Wiener, então \(B_t = W_t - tW_1,\) \(0\leq t \leq 1,\) é uma ponte Browniana. (ii) Por sua vez, mostre que se \(\{B_t\}_{0\leq t \leq 1}\) é uma ponte Browniana segundo essa definição via caracterização da covariância e \(N\sim \mathcal{N}(0, 1)\) é independente dessa ponte, então \(W_t = B_t + tZ,\) \(0\leq t \leq 1,\) é um processo de Wiener no intervalo \([0, 1].\) (iii) Por último, assumindo, novamente, que \(\{B_t\}_{0\leq t \leq 1}\) é uma ponte Browniana segundo essa definição via caracterização da covariância, considere o processo \(V_t = \int_0^t B_s / (1 - s) \;\mathrm{d}s\) e mostre que \(W_t = B_t + V_t\) é um processo de Wiener, concluindo que \(B_t\) satisfaz a equação diferencial estocástica \(\mathrm{d}B_t = - B_t / (1 - t) \;\mathrm{d}t + \mathrm{d}W_t.\)

2. Uma ponte browniana também pode ser considerada em um intervalo \([0, T],\) cuja equação toma a forma

\[ \mathrm{d}B_t = - \frac{B_t}{T-t}\;\mathrm{d}t + \;\mathrm{d}W_t, \]

com condições inicial e final \(B_0 = B_T = 0.\) Ache uma fórmula explícita para \(B_t\) como uma integral de Itô ao longo de \(0 \leq t \leq T\) e encontre a variância e a covariância desse processo.

3. Seja \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) um processo de Wiener e considere o processo \(\{B_t\}_{0\leq t \leq T}\) definido por \(B_t = W_t - t W_T / T,\) para \(0 \leq t \leq T.\) Mostre que \(\{B_t\}_{0\leq t \leq T}\) é independente de \(\{W_t\}_{t \geq T}.\)

4. Mais geralmente, uma ponte Browniana pode ser definida ligando valores distintos e não necessariamente nulos, e.g. \(B_{t_0} = a\) e \(B_{t_1} = b,\) com \(t_0 < t_1\) e \(a, b\in\mathbb{R}\) arbitrários. Nesse caso, o processo \(\tilde B_t = B_t - a(t_1 - t) / (t_1 - t_0) - b(t - t_0)/(t_1 - t_0)\) é uma ponte Browniana ligando \(\tilde B_{t_0} = 0\) a \(\tilde B_{t_1} = 1.\) Faça uma implementação numérica da ponte Browniana \(\{B_t\}_{t_0 \leq t \leq t_1},\) exibindo uma variedade de caminhos aleatórios, junto com o valor esperado \(\mathbb{E}[B_t]\) e o desvio padrão \(\sigma(B_t),\) ao longo de \(t_0 \leq t \leq t_1,\) escolhendo valores quaisquer não nulos e distintos \(a\) e \(b\) e instantes \(t_0 < t_1.\)