8.8. Ponte Browniana

Uma outra equação clássica é a da ponte Browniana (Brownian Bridge), que é definida pelo processo de Wiener restrito a um determinado intervalo e com valores condicionados nos extremos do intervalo. A ponte Browniana padrão é definida no intervalo [0,1][0, 1] e condicionada a Wt=1,W_t = 1, ou seja, é o processo

Bt=Wt∣W1=0,0≤t≤1. B_t = W_t |_{W_1 = 0}, \quad 0 \leq t \leq 1.

É possível mostrar que esse processo satisfaz a equação diferencial estocástica (veja os exercícios)

dBt=−Bt1−t dt+ dWt, \mathrm{d}B_t = - \frac{B_t}{1-t}\;\mathrm{d}t + \;\mathrm{d}W_t,

no intervalo [0,1],[0, 1], com condição inicial

B0=0. B_0 = 0.

Em forma integral, temos

Bt=∫0tBs1−s ds+Wt,0≤t≤1. B_t = \int_0^t \frac{B_s}{1 - s}\;\mathrm{d}s + W_t, \quad 0 \leq t \leq 1.

Observe que a equação diferencial estocástica, em si, não faz sentido em t=1,t = 1, pois o denominador de um dos termos se anula, mas a forma integral faz, pelo menos no espaço de processos estocásticos de quadrado integrável, visto que, nesse caso,

E[∫0tBs1−s ds]≤(∫0TE[Bs2] ds)1/2(∫0T1(1−s)2 ds)1/2<∞. \mathbb{E}\left[ \int_0^t \frac{B_s}{1 - s}\;\mathrm{d}s\right] \leq \left(\int_0^T \mathbb{E}[B_s^2] \;\mathrm{d}s\right)^{1/2} \left(\int_0^T \frac{1}{(1-s)^2}\;\mathrm{d}s\right)^{1/2} < \infty.

Resolução

Esta é uma equação linear e cuja solução pode ser obtida, também, via fator de integração, tendo a forma

Bt=(1−t)∫0t11−s dWs,0≤t≤1. B_t = (1 - t)\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s, \quad 0 \leq t \leq 1.

Isso pode ser verificado diretamente, já que a integral de Itô acima é explícita. De fato,

dBt=−∫0t11−s dWs+(1−t)dWt1−t=−11−tBt+ dWt. \mathrm{d}B_t = - \int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s + (1 - t)\frac{\mathrm{d}W_t}{1 - t} = - \frac{1}{1-t}B_t + \;\mathrm{d}W_t.

Para deduzir a solução via fator de integração, observe que uma primitiva de p(t)=1/(1−t)p(t) = 1/(1-t) é −ln⁡(1−t)=ln⁡((1−t)−1),-\ln(1-t) = \ln((1-t)^{-1}), de modo que o fator de integração é I(t)=e∫t1/(1−s) ds=(1−t)−1.I(t) = e^{\int^t 1/(1-s)\;\mathrm{d}s} = (1-t)^{-1}. Dividindo, então, a equação por 1−t,1-t, temos

11−tdBt+Bt(1−t)2 dt=11−t dWt. \frac{1}{1-t}\mathrm{d}B_t + \frac{B_t}{(1-t)^2}\;\mathrm{d}t = \frac{1}{1-t}\;\mathrm{d}W_t.

O lado esquerdo é a derivada do termo Yt=Bt/(1−t),Y_t = B_t/(1-t), de modo que

dYt=11−t dWt. \mathrm{d}Y_t = \frac{1}{1-t}\;\mathrm{d}W_t.

A solução é a primitiva do lado direito:

Yt=∫0t11−s dWs. Y_t = \int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s.

Voltando para Bt,B_t, temos

Bt=(1−t)Yt=(1−t)∫0t11−s dWs. B_t = (1-t)Y_t = (1-t)\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s.

A ponte

O motivo do nome desse processo vem do fato de que B0=B1=0,B_0 = B_1 = 0, ou seja, é um processo que sai de zero e termina em zero, com um movimento estocástico no meio. E, mais ainda, os caminhos são, quase certamente, contínuos em [0,1],[0, 1], com

lim⁡t→1Bt=0, \lim_{t \rightarrow 1} B_t = 0,

quase certamente. Ou seja, o processo {Bt}0≤t<1\{B_t\}_{0 \leq t < 1} faz uma "ponte", saindo da origem e voltando à origem, com caminhos contínuos quase certamente. Para mostrar o limite acima, observe, primeiro, que

E[Bt]=(1−t)E[∫0t11−s dWs]=0. \mathbb{E}[B_t] = (1-t)\mathbb{E}\left[\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s\right] = 0.

Temos, também, pela isometria de Itô, que

Var(Bt)=E[Bt2]=(1−t)2E[(∫0t11−s dWs)2]=(1−t)2∫0t1(1−s)2 ds=(1−t)2(11−s)∣s=0t=(1−t)2(1(1−t)−1)=(1−t)−(1−t)2=t(1−t). \begin{align*} \mathrm{Var}(B_t) & = \mathbb{E}[B_t^2] \\ & = (1-t)^2\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t \frac{1}{1-s}\;\mathrm{d}W_s\right)^2\right] \\ & = (1 - t)^2\int_0^t \frac{1}{(1-s)^2}\;\mathrm{d}s \\ & = (1 - t)^2 \left.\left( \frac{1}{1-s} \right)\right|_{s = 0}^{t} \\ & = (1 - t)^2 \left(\frac{1}{(1 - t)} - 1 \right) \\ & = (1 - t) - (1 - t)^2 \\ & = t(1 - t). \end{align*}

Em particular,

lim⁡t→0E[Bt2]=0,lim⁡t→1E[Bt2]=0. \lim_{t \rightarrow 0} \mathbb{E}\left[B_t^2\right] = 0, \qquad \lim_{t \rightarrow 1} \mathbb{E}\left[B_t^2\right] = 0.

Portanto,

lim⁡t→0Bt=0,lim⁡t→1Bt=0, \lim_{t \rightarrow 0} B_t = 0, \qquad \lim_{t \rightarrow 1} B_t = 0,

em probabilidade. Como os caminhos amostrais são contínuos, obtemos a convergência quase certamente.

Observe, ainda, que a variância é simétrica em relação ao instante médio t=1/2t = 1/2 e alcança o seu máximo exatamente nesse ponto.

Por fim, podemos calcular a covariância entre instantes 0≤s,t≤1.0 \leq s, t \leq 1. Nesse caso, temos

E[BtBs]=(1−t)(1−s)E[∫0t∫0s1(1−ξ)(1−τ) dWξdWτ] \mathbb{E}[B_tB_s] = (1 - t)(1 - s)\mathbb{E}\left[ \int_0^t \int_0^s \frac{1}{(1-\xi)(1-\tau)}\;\mathrm{d}W_\xi \mathrm{d}W_\tau\right]

Caso 0≤s≤t≤1,0 \leq s \leq t \leq 1, dividimos a integral exterior de 00 a ss e de ss a t.t. Como os incrementos no intervalo [s,t][s, t] são independentes dos incrementos no intervalo [0,s],[0, s], temos

E[∫st∫0s1(1−ξ)(1−τ) dWξdWτ], \mathbb{E}\left[ \int_s^t \int_0^s \frac{1}{(1-\xi)(1-\tau)}\;\mathrm{d}W_\xi \mathrm{d}W_\tau \right],

de modo que

E[BtBs]=(1−t)(1−s)E[∫0s∫0s1(1−ξ)(1−τ) dWξdWτ]=(1−t)(1−s)E[(∫0s1(1−τ) dWτ)2]. \mathbb{E}[B_tB_s] = (1 - t)(1 - s)\mathbb{E}\left[ \int_0^s \int_0^s \frac{1}{(1-\xi)(1-\tau)}\;\mathrm{d}W_\xi \mathrm{d}W_\tau \right] = (1 - t)(1 - s) \mathbb{E}\left[ \left(\int_0^s \frac{1}{(1-\tau)}\;\mathrm{d}W_\tau\right)^2\right].

Usando a fórmula de Itô para dois processos, temos

E[BtBs]=(1−t)(1−s)∫0s1(1−τ)2 dτ=(1−t)(1−s)(11−τ)∣τ=0τ=s=(1−t)−(1−t)(1−s)=(1−t)s. \mathbb{E}[B_tB_s] = (1 - t)(1 - s)\int_0^s \frac{1}{(1-\tau)^2}\;\mathrm{d}\tau = (1 - t)(1 - s)\left(\frac{1}{1 - \tau}\right)\bigg|_{\tau = 0}^{\tau = s} = (1 - t) - (1 - t)(1 - s) = (1 - t)s.

Caso 0≤t≤s≤1,0 \leq t \leq s \leq 1, obtemos, por simetria,

E[BtBs]=(1−s)t \mathbb{E}[B_tB_s] = (1 - s)t

De modo geral, como a ponte Browniana tem esperança nula, temos

Cov⁡(Bt,Bs)=E[BtBs]=min⁡{s,t}−st,0≤s,t≤1. \operatorname{Cov}(B_t, B_s) = \mathbb{E}[B_tB_s] = \min\{s, t\} - st, \qquad 0 \leq s, t \leq 1.

Outras representações

Uma ponte browniana também tem outras representações, como

Bt=Wt−tW1=(1−t)Wt/(1−t). B_t = W_t - t W_1 = (1-t)W_{t/(1-t)}.

Por sua vez, um processo de Wiener também pode ser escrito em termos de pontes brownianas, como em

Wt=Bt+tN,0≤t<1, W_t = B_t + t N, \quad 0\leq t < 1,

onde NN é uma variável aleatória normal e independente de {Bt}t≥0.\{B_t\}_{t \geq 0}. Deixamos a verificação desses fatos como exercício.

Uma outra representação é

Wt=(1+t)Bt/(1+t),t≥0. W_t = (1 + t)B_{t/(1 + t)}, \quad t \geq 0.

Conexão com a definição via condicionamento nos extremos do intervalo

Vimos acima que a solução {Bt}t\{B_t\}_t da equação diferencial estocástica acima é um processo Gaussiano caracterizado por ter média zero ao longo do intervalo e covariância dada por

Cov⁡(Bt,Bs)=E[BtBs]=min⁡{s,t}−st,0≤s,t≤1. \operatorname{Cov}(B_t, B_s) = \mathbb{E}[B_tB_s] = \min\{s, t\} - st, \qquad 0 \leq s, t \leq 1.

Para mostrar que essa é, de fato, a ponte Browniana definida por

Bt=Wt∣W1=0,0≤t≤1, B_t = W_t |_{W_1 = 0}, \quad 0 \leq t \leq 1,

basta mostrar que esse último também é um processo Gaussiano com média zero e mesma covariância. Como o processo de Wiener é Gaussiano, então esse processo condicionado também o é. Para analisar a média e a covariância, vamos usar a PDF do vetor aleatório (Wt,Ws,W1).(W_t, W_s, W_1).

Na verdade, vamos apenas verificar que E[Bt]=0\mathbb{E}[B_t] = 0 e E[Bt2]=t(1−t).\mathbb{E}[B_t^2] = t(1 - t). Deixamos a covariância como exercício. Para essas duas propriedades estatísticas, basta analisarmos o processo multivariado Vt=(Wt,W1).V_t = (W_t, W_1). A média é zero,

E[Vt]=(E[Wt],E[W1])=(0,0). \mathbb{E}[V_t] = (\mathbb{E}[W_t], \mathbb{E}[W_1]) = (0, 0).

A matriz de covariância é dada por

Σ(t)=[E[Wt2]E[WtW1]E[WtW1]E[W12]]=[ttt1], \Sigma(t) = \begin{bmatrix} \mathbb{E}[W_t^2] & \mathbb{E}[W_tW_1] \\ \mathbb{E}[W_tW_1] & \mathbb{E}[W_1^2] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t & t \\ t & 1 \end{bmatrix},

onde usamos que 0≤t≤1.0 \leq t \leq 1. Temos

det⁡(Σ(t))=t(1−t),Σ−1=1t(1−t)[1−t−tt]. \det(\Sigma(t)) = t(1 - t), \qquad \Sigma^{-1} = \frac{1}{t(1-t)}\begin{bmatrix} 1 & -t \\ -t & t \end{bmatrix}.

Assim, a PDF p(t,x,y)p(t, x, y) de Vt=(Wt,W1)V_t=(W_t, W_1) é dada por

p(t,x,y)=12πdet⁡(Σ)1/2e−12(x,y)Σ−1(xy)=12πt1/2(1−t)1/2e−121t(1−t)(x2−2txy+t2y2) p(t, x, y) = \frac{1}{2\pi \det(\Sigma)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x, y\end{pmatrix} \Sigma^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} } = \frac{1}{2\pi t^{1/2}(1 - t)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}\frac{1}{t(1-t)} (x^2 - 2txy + t^2y^2) }

onde o espaço de eventos é descrito por (x,y)∈R2.(x, y)\in \mathbb{R}^2. A marginal correspondendo ao condicionamento W1=0W_1 = 0 é

p(t,x,0)=12πt1/2(1−t)1/2e−121t(1−t)x2. p(t, x, 0) = \frac{1}{2\pi t^{1/2}(1 - t)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}\frac{1}{t(1-t)} x^2 }.

Com essa marginal, podemos calcular

E[Bt]=∫−∞∞xp(t,x,0) dx=0, \mathbb{E}[B_t] = \int_{-\infty}^\infty x p(t, x, 0) \;\mathrm{d}x = 0,

pela simetria da marginal, e

E[Bt2]=∫−∞∞x2p(t,x,0) dx=12πt1/2(1−t)1/2∫−∞∞x2e−121t(1−t)x2 dx=t(1−t)2πt1/2(1−t)1/2∫−∞∞e−121t(1−t)x2 dx=t(1−t). \begin{align*} \mathbb{E}[B_t^2] & = \int_{-\infty}^\infty x^2 p(t, x, 0) \;\mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{2\pi t^{1/2}(1 - t)^{1/2}} \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-\frac{1}{2}\frac{1}{t(1-t)} x^2 } \;\mathrm{d}x \\ & = \frac{t(1 - t)}{2\pi t^{1/2}(1 - t)^{1/2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}\frac{1}{t(1-t)} x^2 } \;\mathrm{d}x \\ & = t(1 - t). \end{align*}

Para a covariância entre instantes ss e t,t, podemos considerar Vs,t=(Ws,Wt,W1).V_{s,t} = (W_s, W_t, W_1). Por simetria, podemos assumir 0≤s≤t≤1.0 \leq s \leq t \leq 1. Nesse caso, também temos E[Vs,t]=(0,0,0)\mathbb{E}[V_{s, t}] = (0, 0, 0) e a covariância toma a forma

Σ(s,t)=[ssssttst1]. \Sigma(s, t) = \begin{bmatrix} s & s & s \\ s & t & t \\ s & t & 1 \end{bmatrix}.

A inversa (e o determinante) pode ser calculado via escalonamento da matriz

[ssssttst1 | 100010001]↦[s000t−s0001−t | tt−s−st−s0−11−s1−t−t−s1−t0−11]↦[100010001 | ts(t−s)−1t−s0−1t−s1−s(t−s)(1−t)−11−t0−11−t11−t]. \begin{align*} \left[ \begin{matrix} s & s & s \\ s & t & t \\ s & t & 1 \end{matrix} \;\middle\vert\; \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] & \mapsto \left[ \begin{matrix} s & 0 & 0 \\ 0 & t-s & 0 \\ 0 & 0 & 1-t \end{matrix} \;\middle\vert\; \begin{matrix} \frac{t}{t-s} & -\frac{s}{t-s} & 0 \\ -1 & \frac{1-s}{1-t} & -\frac{t-s}{1-t} \\ 0 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \\ & \mapsto \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \;\middle\vert\; \begin{matrix} \frac{t}{s(t-s)} & -\frac{1}{t-s} & 0 \\ -\frac{1}{t-s} & \frac{1-s}{(t-s)(1-t)} & -\frac{1}{1-t} \\ 0 & -\frac{1}{1-t} & \frac{1}{1-t} \end{matrix} \right]. \end{align*}

Portanto,

det⁡Σ(s,t)=s(t−s)(1−t),Σ−1=1s(t−s)(1−t)[t(1−t)s(1−t)0−s(1−t)s(1−s)−s(t−s)0−s(t−s)s(t−s)] \det\Sigma(s, t) = s(t-s)(1-t), \qquad \Sigma^{-1} = \frac{1}{s(t-s)(1-t)}\begin{bmatrix} t(1-t) & s(1-t) & 0 \\ -s(1-t) & s(1-s) & -s(t-s) \\ 0 & -s(t-s) & s(t-s) \end{bmatrix}

Assim, a PDF de Vs,t=(Ws,Wt,W1)V_{s,t}=(W_s, W_t, W_1) é dada por

p(xs,xt,x1)=12πdet⁡(Σ)1/2e−12(xs,xt,x1)Σ−1(xsxtx). p(x_s, x_t, x_1) = \frac{1}{2\pi \det(\Sigma)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x_s, x_t, x_1 \end{pmatrix} \Sigma^{-1}\begin{pmatrix} x_s \\ x_t \\ x\end{pmatrix} }.

onde o espaço de eventos é descrito por x=(xs,xt,x1)∈R3.x = (x_s, x_t, x_1)\in \mathbb{R}^3. Não precisamos explicitar toda a PDF pois estamos interessados apenas na marginal correspondendo ao condicionamento W1=0,W_1 = 0, que é

p(xs,xt,0)=12πs1/2(t−s)1/2(1−t)1/2e−121s(t−s)(1−t)(t(1−t)xs2−2s(1−t)xtxs+s(1−s)xt2). p(x_s, x_t, 0) = \frac{1}{2\pi s^{1/2}(t-s)^{1/2}(1 - t)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}\frac{1}{s(t-s)(1-t)} \left( t(1-t)x_s^2 - 2s(1-t)x_tx_s + s(1-s)x_t^2\right) }.

A covariância, ainda com 1<s<t<1,1 < s < t < 1, pode ser calculada, agora, via

E[BsBt]=∫−∞∞∫−∞∞xsxtp(xs,xt,0) dxt dxs. \mathbb{E}[B_sB_t] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x_sx_t p(x_s, x_t, 0) \;\mathrm{d}x_t\;\mathrm{d}x_s.

Deixamos como exercício a verificação de que E[BsBt]=s−st.\mathbb{E}[B_sB_t] = s - st. Por simetria, para 1<t<s<1,1 < t < s < 1, obtemos E[BsBt]=t−st.\mathbb{E}[B_sB_t] = t - st. Com isso, e juntando com os cálculos anteriores, obtemos, para 0≤t≤s≤1,0 \leq t \leq s \leq 1,

E[BsBt]=min⁡{s,t}−st. \mathbb{E}[B_sB_t] = \min\{s, t\} - st.

Isso conclui a demonstração de que Bt=Wt∣W1=0B_t = W_t |_{W_1 = 0} é o mesmo processo que é solução da equação diferencial estocástica inicial.

Exercícios

  1. Uma ponte Browniana, sendo um processo gaussiano, também pode ser definido através da sua covariância, ou seja, como sendo um processo Gaussiano {Bt}0≤t≤1\{B_t\}_{0 \leq t \leq 1} com caminhos contínuous quase certamente; satisfazendo B0=B1=0B_0 = B_1 = 0 quase certamente; E[Bt]=0,\mathbb{E}[B_t] = 0, para todo 0≤t≤1;0 \leq t \leq 1; e Cov⁡(Bt,Bs)=min⁡{s,t}−st,\operatorname{Cov}(B_t, B_s) = \min\{s, t\} - st, para 0≤s,t≤1.0 \leq s, t \leq 1. (i) Usando essa caracterização, mostre que, se {Wt}t≥0\{W_t\}_{t\geq 0} é um processo de Wiener, então Bt=Wt−tW1,B_t = W_t - tW_1, 0≤t≤1,0\leq t \leq 1, é uma ponte Browniana. (ii) Por sua vez, mostre que se {Bt}0≤t≤1\{B_t\}_{0\leq t \leq 1} é uma ponte Browniana segundo essa definição via caracterização da covariância e Z∼N(0,1)Z\sim \mathcal{N}(0, 1) é independente dessa ponte, então Wt=Bt+tZ,W_t = B_t + tZ, 0≤t≤1,0\leq t \leq 1, é um processo de Wiener no intervalo [0,1].[0, 1]. (iii) Por último, assumindo, novamente, que {Bt}0≤t≤1\{B_t\}_{0\leq t \leq 1} é uma ponte Browniana segundo essa definição via caracterização da covariância, considere o processo Vt=∫0tBs/(1−s) dsV_t = \int_0^t B_s / (1 - s) \;\mathrm{d}s e mostre que Wt=Bt+VtW_t = B_t + V_t é um processo de Wiener, concluindo que BtB_t satisfaz a equação diferencial estocástica dBt=−Bt/(1−t) dt+dWt.\mathrm{d}B_t = - B_t / (1 - t) \;\mathrm{d}t + \mathrm{d}W_t.

  2. Uma ponte browniana também pode ser considerada em um intervalo [0,T],[0, T], cuja equação toma a forma dBt=−BtT−t dt+ dWt,\mathrm{d}B_t = - \frac{B_t}{T-t}\;\mathrm{d}t + \;\mathrm{d}W_t, com condições inicial e final B0=BT=0.B_0 = B_T = 0. Ache uma fórmula explícita para BtB_t como uma integral de Itô ao longo de 0≤t≤T0 \leq t \leq T e, usando essa fórmula, encontre a variância e a covariância desse processo.

  3. Seja {Wt}t≥0\{W_t\}_{t\geq 0} um processo de Wiener e considere o processo {Bt}0≤t≤T\{B_t\}_{0\leq t \leq T} definido por Bt=Wt−tWT/T,B_t = W_t - t W_T / T, para 0≤t≤T.0 \leq t \leq T. Mostre que {Bt}0≤t≤T\{B_t\}_{0\leq t \leq T} é independente de {Wt}t≥T\{W_t\}_{t \geq T} e calcule a variância e a covariância desse processo.

  4. Considere, agora, a ponte Browniana no intervalo [0,T][0, T] definida através de Bt=Wt∣WT=0,B_t = W_t |_{W_T = 0}, 0≤t≤T.0 \leq t \leq T. Usando a PDF p(t,x,y)p(t, x, y) do processo {(Wt,WT)}0≤t≤T,\{(W_t, W_T)\}_{0\leq t \leq T}, calcule a variância Var(Bt)\mathrm{Var}(B_t) desse processo, conforme feito acima no caso T=1.T=1.

  5. Mais geralmente, uma ponte Browniana pode ser definida ligando valores distintos e não necessariamente nulos, e.g. Bt0=aB_{t_0} = a e Bt1=b,B_{t_1} = b, com t0<t1t_0 < t_1 e a,b∈Ra, b\in\mathbb{R} arbitrários. Nesse caso, o processo B~t=Bt−a(t1−t)/(t1−t0)−b(t−t0)/(t1−t0)\tilde B_t = B_t - a(t_1 - t) / (t_1 - t_0) - b(t - t_0)/(t_1 - t_0) é uma ponte Browniana ligando B~t0=0\tilde B_{t_0} = 0 a B~t1=0.\tilde B_{t_1} = 0. Calcule a média E[Bt]\mathbb{E}[B_t] e a variância Var(Bt)\mathrm{Var}(B_t) de {Bt}t0≤t≤t1\{B_t\}_{t_0\leq t\leq t_1} e faça uma implementação numérica dessa ponte Browniana, exibindo uma variedade de caminhos aleatórios, junto com o valor esperado e o desvio padrão teóricos, ao longo de t0≤t≤t1,t_0 \leq t \leq t_1, escolhendo valores quaisquer não nulos e distintos aa e bb e instantes t0<t1.t_0 < t_1.

(CC BY-NC-ND 4.0) Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International Ricardo M. S. Rosa
Last modified: June 01, 2026. Built with Franklin.jl, using the Book Template.