10.5. Simulações ilustrando ordem de convergência do método de Euler-Maruyama

Podemos ilustrar e conferir a order de convergência do método de Euler-Maruyama considerando equações diferenciais estocásticas para as quais conhemos explicitamente a solução exata.

Vamos considerar duas equações, uma com ruído multiplicativo, que teoricamente nos dá uma convergência forte de ordem $1/2,$ e outra com ruído aditivo, que teoricamente nos dá uma convergência forte de ordem $1.$ Em ambas temos, também, convergência fraca de ordem $1.$

O caso com ruído multiplicativo é ilustrado com o movimento Browniano geométrico, enquanto que o caso com ruído aditivo é ilustrado com o processo de Orstein-Uhlenbeck.

Convergência forte de ordem 1/2 no movimento browniano geométrico

Nesse caso, a equação do movimento browniano geométrico é

cuja solução é

Aproximamos a solução pelo método de Euler-Maruyama, em um intervalo de tempo $[0, T],$ dado por

onde

Os incrementos $\Delta W_j$ nos dão um processo discreto $\{W_j^n\}_{j = 0, \ldots, n}$ via

Para cada $n$ fixo, podemos interpretar $\{W_j^n\}_j$ como, de fato, uma amostra exata de um processo de Wiener $\{W_t\}_{t \geq 0},$ com $W_j^n = W_{t_j}.$

De posse de $\{W_j^n\}_j,$ podemos considerar uma amostra da solução exata

Usamos o método de Monte-Carlo para resolver a equação um certo número $M\in \mathbb{N}$ de vezes, obtendo caminhos amostrais $\{X_j^n(\omega_m)\}_{j = 1}^n$ do método de Euler-Maruyama, assim como amostras de $M$ caminhos amostrais $\{X_{t_j}^n\}_{j = 1}^n$ da solução exata.

Ao final, podemos estimar o erro forte via

onde o valor esperado é tomado em relação às amostras $\omega_1, \ldots, \omega_M.$

Observe que devemos considerar o erro em relação ao passo $\Delta t,$ mas também temos o erro em relação à amostragem, que pode ser significativo se $M$ não for suficientemente grande.

Nas simulações abaixo, tomamos alguns valores de $\mu,$ $\sigma,$ $T,$ $M$ e $n$ para ilustrar os efeitos desse parâmetros. Fazemos uma regressão linear de mínimos quadrados nos $(\Delta t^n, e_n^{\mathrm{forte}})$ para encontrar $\ln(C)$ e a ordem de convergência $p$ tais que

de modo que

correspondendo a uma taxa de convergência da ordem de $\Delta t^p.$

As amostras do processo de Wiener são calculadas na malha mais fina. Os passos correspondentes são dados a partir dessas amostras, seja na malha mais fina ou nas mais grossas.

Se o ruído for relativamente pequeno, o erro pode não sofrer tanto e acabar sendo de ordem um pouco melhor:

Nesse caso, não é questão de falta de amostras. A ordem permanece mais alta, se aumentarmos o número de amostras:

Mas se dermos mais tempo ao processo, para o ruído ter um efeito mais significativo, obtemos a ordem forte $1/2$:

Ou, podemos manter um tempo mais curto mas aumentarmos a difusão, observando novamente a ordem forte $1/2$:

Se por outro lado, diminuirmos a amostragem, enxergamos uma ordem forte diferente, mas isso é por conta do erro amostral, mascarando a taxa real de convergência:

Convergência fraca de ordem 1 no movimento Browniano geométrico

A ordem da convergência fraca também sofre influências do número de amostras e da intensidade de ruído. Mas não vamos ilustrar isso aqui. Exibimos apenas uma simulação, com uma ordem de convergência próxima de $1.$ Observe, também, que, além da ordem mais alta de convergência, o erro em si tem uma magnitude bem menor.

Convergência forte de ordem 1 no processo de Orstein-Uhlenbeck

A equação, nesse caso, é

cuja solução é

Como o ruído é aditivo, esperamos recuperar a convergência forte de ordem $1.$