2.10. Lema de Borel-Cantelli

"To infinity and beyond!" - Buzz Lightyear, in the movie series Toy Story (Pixar Studios).

O Lema de Borel-Cantelli é um dos resultados mais utilizados em Teoria da Medida e em Probabilidade. Com ele, podemos deduzir, a partir de certas estimativas, se um determinado conjunto é de medida nula ou não. Vejamos o resultado e algumas de suas consequências.

Lema de Borel-Cantelli

Considere um espaço de probabilidades \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) e uma sequência de eventos \(E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{A}.\) O Lema de Borel-Cantelli garante que, se

\[ \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n) < \infty, \]

então

\[ \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) = 0. \]

Aqui, o limite superior da sequência de eventos é o evento dado por

\[ \limsup_{n\rightarrow \infty} E_n = \bigcap_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{j\geq n} E_j = \left\{x\in \Omega; \;\exists j_n\rightarrow \infty, x \in E_{j_n} \right\}. \]

Esse conjunto é comumente escrito na forma

\[ \limsup_{n\rightarrow \infty} E_n = \left\{E_n \textit{ i.o.}\right\}, \]

onde i.o. significa "infinitas vezes" (do inglês, "infinitely often").

A demonstração é simples. Observe que os conjuntos \(\bigcup_{j\geq n} E_j\) são decrescentes em \(n\in\mathbb{N}.\) Então, para qualquer \(n\in \mathbb{N},\)

\[ \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) \leq \mathbb{P}\left(\bigcup_{j\geq n} E_j\right) \leq \sum_{j=n}^\infty \mathbb{P}(E_j). \]

Com a hipótese do somatório ser finito, o termo do lado direito da desigualdade acima, que é o rabo da série, converge para zero. Assim, a probabilidade do limite superior é arbitrariamente pequena, ou seja, é nula.

Exemplo

No caso particular, comumente encontrado, de termos variáveis aleatórias \(\{X_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) em \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) e os eventos dados por \(E_n = \{X_n \geq r\},\) então

\[ \limsup_{n\rightarrow \infty} \{X_n \geq r\} = \left\{X_n \geq r \textit{ i.o.} \right\} = \left\{\limsup_{n\rightarrow \infty} X_n \geq r\right\}. \]

Daí, tiramos que, se

\[ \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(X_n \geq r) < \infty, \]

então

\[ \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} X_n \geq r \right) = 0, \]

ou seja

\[ \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} X_n < r \right) = 1 \]

Lema Borel-Cantelli complementar

Um resultado complementar vale no caso dos eventos serem independentes. Mais precisamente, se

\[ \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n) = \infty \]

e

\[ \mathbb{P}(E_{n_1}\cap \cdots \cap E_{n_k}) = \mathbb{P}(E_{n_1})\cdots \mathbb{P}(E_{n_k}), \qquad \forall n_1 < n_2 < \cdots < n_k. \]

então

\[ \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) = 1. \]

Começamos escrevendo

\[ \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) = \mathbb{P}\left(\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{j\geq n} E_j\right) = 1 - \mathbb{P}\left(\left(\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{j\geq n} E_j\right)^c\right) = 1 - \mathbb{P}\left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcap_{j\geq n} E_j^c\right), \]

onde \(E^c = \Omega \setminus E\) é o complementar de um conjunto \(E\) no espaço amostral \(\Omega.\) Como a sequência de conjuntos \(\cap_{j\geq n} E_n^c\) é crescente em \(n\) e as medidas de probabilidade são contínuas por baixo, então

\[ \mathbb{P}\left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcap_{j\geq n} E_j^c\right) = \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_j^c\right). \]

Logo,

\[ \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) = 1 - \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_n^c\right). \]

Agora, lembremos que, se os eventos são independentes, então os seus complementares também o são. Assim,

\[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_n^c\right) = \Pi_{j\geq n}\mathbb{P}\left( E_n^c\right). \]

Usando que \(\mathbb{P}\left( E_n^c\right) = 1 - \mathbb{P}(E_n)\) e que \(e^{-s} \geq 1 - s,\) para qualquer \(s\in \mathbb{R},\) obtemos

\[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_n^c\right) = \Pi_{j\geq n}\left(1 - \mathbb{P}(E_n)\right) \leq e^{-\sum_{j\geq n}\mathbb{P}(E_n)}. \]

Como \(\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n) = \infty,\) então \(\sum_{j\geq n}^\infty \mathbb{P}(E_j) = \infty\) para qualquer \(n\in \mathbb{N},\) de modo que

\[ 0 \leq \mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_n^c\right) \leq e^{-\sum_{j\geq n}\mathbb{P}(E_n)} = 0. \]

Portanto,

\[ \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) = 1 - \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_n^c\right) = 1 - 0 = 1, \]

concluindo a demonstração.