2.10. Lema de Borel-Cantelli

"To infinity and beyond!" - Buzz Lightyear, in the movie series Toy Story (Pixar Studios).

O Lema de Borel-Cantelli é um dos resultados mais utilizados em Teoria da Medida e em Probabilidade. Com ele, podemos deduzir, a partir de certas estimativas, se um determinado conjunto é de medida nula ou não. Vejamos o resultado e algumas de suas consequências.

Lema de Borel-Cantelli

Considere um espaço de probabilidades (Ω,A,P)(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) e uma sequência de eventos E1,E2,…∈A.E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{A}. O Lema de Borel-Cantelli garante que, se

∑n=1∞P(En)<∞, \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n) < \infty,

então

P(lim sup⁡n→∞En)=0. \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) = 0.

Aqui, o limite superior da sequência de eventos é o evento dado por

lim sup⁡n→∞En=⋂n∈N⋃j≥nEj={x∈Ω; ∃jn→∞,x∈Ejn}. \limsup_{n\rightarrow \infty} E_n = \bigcap_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{j\geq n} E_j = \left\{x\in \Omega; \;\exists j_n\rightarrow \infty, x \in E_{j_n} \right\}.

Esse conjunto é comumente escrito na forma

lim sup⁡n→∞En={En i.o.}, \limsup_{n\rightarrow \infty} E_n = \left\{E_n \textit{ i.o.}\right\},

onde i.o. significa "infinitas vezes" (do inglês, "infinitely often").

A demonstração é simples. Observe que os conjuntos ⋃j≥nEj\bigcup_{j\geq n} E_j são decrescentes em n∈N.n\in\mathbb{N}. Então, para qualquer n∈N,n\in \mathbb{N},

P(lim sup⁡n→∞En)≤P(⋃j≥nEj)≤∑j=n∞P(Ej). \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) \leq \mathbb{P}\left(\bigcup_{j\geq n} E_j\right) \leq \sum_{j=n}^\infty \mathbb{P}(E_j).

Com a hipótese do somatório ser finito, o termo do lado direito da desigualdade acima, que é o rabo da série, converge para zero. Assim, a probabilidade do limite superior é arbitrariamente pequena, ou seja, é nula.

Exemplo

No caso particular, comumente encontrado, de termos variáveis aleatórias {Xn}n∈N\{X_n\}_{n\in \mathbb{N}} em (Ω,A,P)(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) e os eventos dados por En={Xn≥r},E_n = \{X_n \geq r\}, então

lim sup⁡n→∞{Xn≥r}={Xn≥r i.o.}={lim sup⁡n→∞Xn≥r}. \limsup_{n\rightarrow \infty} \{X_n \geq r\} = \left\{X_n \geq r \textit{ i.o.} \right\} = \left\{\limsup_{n\rightarrow \infty} X_n \geq r\right\}.

Daí, tiramos que, se

∑n=1∞P(Xn≥r)<∞, \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(X_n \geq r) < \infty,

então

P(lim sup⁡n→∞Xn≥r)=0, \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} X_n \geq r \right) = 0,

ou seja

P(lim sup⁡n→∞Xn<r)=1 \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} X_n < r \right) = 1

Lema Borel-Cantelli complementar

Um resultado complementar vale no caso dos eventos serem independentes. Mais precisamente, se

∑n=1∞P(En)=∞ \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n) = \infty

e

P(En1∩⋯∩Enk)=P(En1)⋯P(Enk),∀n1<n2<⋯<nk. \mathbb{P}(E_{n_1}\cap \cdots \cap E_{n_k}) = \mathbb{P}(E_{n_1})\cdots \mathbb{P}(E_{n_k}), \qquad \forall n_1 < n_2 < \cdots < n_k.

então

P(lim sup⁡n→∞En)=1. \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) = 1.

Começamos escrevendo

P(lim sup⁡n→∞En)=P(⋂n∈N⋃j≥nEj)=1−P((⋂n∈N⋃j≥nEj)c)=1−P(⋃n∈N⋂j≥nEjc), \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) = \mathbb{P}\left(\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{j\geq n} E_j\right) = 1 - \mathbb{P}\left(\left(\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{j\geq n} E_j\right)^c\right) = 1 - \mathbb{P}\left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcap_{j\geq n} E_j^c\right),

onde Ec=Ω∖EE^c = \Omega \setminus E é o complementar de um conjunto EE no espaço amostral Ω.\Omega. Como a sequência de conjuntos ∩j≥nEnc\cap_{j\geq n} E_n^c é crescente em nn e as medidas de probabilidade são contínuas por baixo, então

P(⋃n∈N⋂j≥nEjc)=lim⁡n→∞P(⋂j≥nEjc). \mathbb{P}\left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcap_{j\geq n} E_j^c\right) = \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_j^c\right).

Logo,

P(lim sup⁡n→∞En)=1−lim⁡n→∞P(⋂j≥nEnc). \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) = 1 - \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_n^c\right).

Agora, lembremos que, se os eventos são independentes, então os seus complementares também o são. Assim,

P(⋂j≥nEnc)=Πj≥nP(Enc). \mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_n^c\right) = \Pi_{j\geq n}\mathbb{P}\left( E_n^c\right).

Usando que P(Enc)=1−P(En)\mathbb{P}\left( E_n^c\right) = 1 - \mathbb{P}(E_n) e que e−s≥1−s,e^{-s} \geq 1 - s, para qualquer s∈R,s\in \mathbb{R}, obtemos

P(⋂j≥nEnc)=Πj≥n(1−P(En))≤e−∑j≥nP(En). \mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_n^c\right) = \Pi_{j\geq n}\left(1 - \mathbb{P}(E_n)\right) \leq e^{-\sum_{j\geq n}\mathbb{P}(E_n)}.

Como ∑n=1∞P(En)=∞,\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n) = \infty, então ∑j≥n∞P(Ej)=∞\sum_{j\geq n}^\infty \mathbb{P}(E_j) = \infty para qualquer n∈N,n\in \mathbb{N}, de modo que

0≤P(⋂j≥nEnc)≤e−∑j≥nP(En)=0. 0 \leq \mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_n^c\right) \leq e^{-\sum_{j\geq n}\mathbb{P}(E_n)} = 0.

Portanto,

P(lim sup⁡n→∞En)=1−lim⁡n→∞P(⋂j≥nEnc)=1−0=1, \mathbb{P}\left(\limsup_{n\rightarrow \infty} E_n\right) = 1 - \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\geq n} E_n^c\right) = 1 - 0 = 1,

concluindo a demonstração.

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