6. Integração estocástica

Como motivação, vimos modelos de crescimento natural,

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \mu x, \]

onde o parâmetro \(\mu\) pode ser considerado de várias formas. Por exemplo, como uma constante

\[ \mu = \mu_0, \qquad \mu_0 > 0; \]

como uma função determinística

\[ \mu = \mu(t) = \mu_0 + \sigma\sin(\varpi t), \quad \mu_0, \sigma, \varpi > 0; \]

como uma função aleatória (processo estocástico de transporte)

\[ \mu = \mu_t = \mu_0 + \sigma\sin(\varpi t), \qquad \sigma \sim \operatorname{Beta}(a, b), \; \varpi \sim \operatorname{Exponential}(\lambda), \;\mu_0, a, b, \lambda > 0; \]

como um processo estocástico

\[ \mu = \mu_t = \mu_0 + \sigma \frac{\sin(W_t)}{1 + \sin(W_t)}, \qquad \mu_0, \sigma > 0; \]

ou com um "ruído branco"

\[ \mu = \mu_t = \mu_0 + \sigma \dot \xi, \qquad \mu_0, \sigma > 0, \;\dot\xi \sim \frac{\mathrm{d}W_t}{\mathrm{d}t}. \]

Assumindo uma condição inicial determinística \(x(0) = x_0,\) os dois primeiros casos são equações diferenciais ordinárias clássicas, cujas soluções são

\[ x(t) = x_0 e^{\mu_0 t} \]

e

\[ x(t) = x_0 e^{\int_0^t \mu(s)\;\mathrm{d}s}. \]

No terceiro e no quarto casos, as soluções são processos estocásticos \(\{X_t\}_{t\geq 0}\) dados por

\[ X_t = x_0 e^{\int_0^t \mu_s\;\mathrm{d}s}, \]

onde \(\{\mu_t\}_{t\geq 0}\) são, também, processos estocásticos, o que nos levam às integrais

\[ \int_0^t \left(\mu_0 + \sigma\sin(\varpi s)\right) \;\mathrm{d}s \]

e

\[ \int_0^t \left(\mu_0 + \sigma \frac{\sin(W_s)}{1 + \sin(W_s)}\right) \;\mathrm{d}s. \]

Como os caminhos amostrais de \(\{\mu_t\}_{t\geq 0}\) são contínuous (quase certamente) em ambos os casos, essas integrais podem ser definidas por caminho, e.g.

\[ \omega \mapsto \int_0^t \left(\mu_0 + \sigma \frac{\sin(W_s(\omega))}{1 + \sin(W_s(\omega))}\right) \;\mathrm{d}s. \]

No quinto e último caso, podemos ficar tentados a escrever

\[ X_t = x_0 e^{\int_0^t \mu_s\;\mathrm{d}s}, \]

com

\[ \int_0^t \mu_s\;\mathrm{d}s = \mu_0 t + \sigma \int_0^t \frac{\mathrm{d}W_s}{\mathrm{d}s} \;\mathrm{d}s = \mu_0 t + \sigma \int_0^t \;\mathrm{d}W_s = \mu_0t + \sigma W_t. \]

Mas as coisas não são tão simples assim... A equação

\[ \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = \left(\mu_0 + \sigma \frac{\mathrm{d}W_t}{\mathrm{d}t}\right) x \]

não tem sentido como está e deve ser vista como uma equação

\[ \mathrm{d}X_t = \mu_0 X_t\;\mathrm{d}t + \sigma X_t\;\mathrm{d}W_t, \]

que por sua vez deve ser interpretada como uma equação integral

\[ X_t = x_0 + \mu_0\int_0^t X_s\;\mathrm{d}s + \sigma \int_0^t X_s\;\mathrm{d}W_s. \]

A integral estocástica mais à direita deve ser tratada com cuidado e nos levará a uma solução ligeiramente diferente da esperada acima, a saber

\[ X_t = x_0 e^{\left(\mu_0 - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t}. \]

Observe o termo extra envolvendo \(\sigma^2.\)

Com isso em mente, vamos ver, neste capítulo, integração de processos no sentido de Riemann,

\[ \int_0^t H_s\;\mathrm{d}s \]

e, como objeto de maior interesse, a integração estocástica em relação a um processo de Wiener,

\[ \int_0^t H_s\;\mathrm{d}W_s, \]

onde \(\{H_t\}_{t\geq 0}\) é um dado processo a ser integrado. Veremos também propriedades curiosas da integral estocástica com respeito a \(\{W_t\}_{t\geq 0}.\) Veremos quais propriedades da integral clássica se estendem a essa integral e quais propriedades devem ser modificadas.