6. Integração estocástica

Como motivação, vimos modelos de crescimento natural,

dxdt=μx, \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \mu x,

onde o parâmetro μ\mu pode ser considerado de várias formas. Por exemplo, como uma constante

μ=μ0,μ0>0; \mu = \mu_0, \qquad \mu_0 > 0;

como uma função determinística

μ=μ(t)=μ0+σsin⁡(ϖt),μ0,σ,ϖ>0; \mu = \mu(t) = \mu_0 + \sigma\sin(\varpi t), \quad \mu_0, \sigma, \varpi > 0;

como uma função aleatória (processo estocástico de transporte)

μ=μt=μ0+σsin⁡(ϖt),σ∼Beta⁡(a,b), ϖ∼Exponential⁡(λ), μ0,a,b,λ>0; \mu = \mu_t = \mu_0 + \sigma\sin(\varpi t), \qquad \sigma \sim \operatorname{Beta}(a, b), \; \varpi \sim \operatorname{Exponential}(\lambda), \;\mu_0, a, b, \lambda > 0;

como um processo estocástico

μ=μt=μ0+σsin⁡(Wt)1+sin⁡(Wt),μ0,σ>0; \mu = \mu_t = \mu_0 + \sigma \frac{\sin(W_t)}{1 + \sin(W_t)}, \qquad \mu_0, \sigma > 0;

ou com um "ruído branco"

μ=μt=μ0+σξ˙,μ0,σ>0, ξ˙∼dWtdt. \mu = \mu_t = \mu_0 + \sigma \dot \xi, \qquad \mu_0, \sigma > 0, \;\dot\xi \sim \frac{\mathrm{d}W_t}{\mathrm{d}t}.

Assumindo uma condição inicial determinística x(0)=x0,x(0) = x_0, os dois primeiros casos são equações diferenciais ordinárias clássicas, cujas soluções são

x(t)=x0eμ0t x(t) = x_0 e^{\mu_0 t}

e

x(t)=x0e∫0tμ(s) ds. x(t) = x_0 e^{\int_0^t \mu(s)\;\mathrm{d}s}.

No terceiro e no quarto casos, as soluções são processos estocásticos {Xt}t≥0\{X_t\}_{t\geq 0} dados por

Xt=x0e∫0tμs ds, X_t = x_0 e^{\int_0^t \mu_s\;\mathrm{d}s},

onde {μt}t≥0\{\mu_t\}_{t\geq 0} são, também, processos estocásticos, o que nos levam às integrais

∫0t(μ0+σsin⁡(ϖs)) ds \int_0^t \left(\mu_0 + \sigma\sin(\varpi s)\right) \;\mathrm{d}s

e

∫0t(μ0+σsin⁡(Ws)1+sin⁡(Ws)) ds. \int_0^t \left(\mu_0 + \sigma \frac{\sin(W_s)}{1 + \sin(W_s)}\right) \;\mathrm{d}s.

Como os caminhos amostrais de {μt}t≥0\{\mu_t\}_{t\geq 0} são contínuous (quase certamente) em ambos os casos, essas integrais podem ser definidas por caminho, e.g.

ω↦∫0t(μ0+σsin⁡(Ws(ω))1+sin⁡(Ws(ω))) ds. \omega \mapsto \int_0^t \left(\mu_0 + \sigma \frac{\sin(W_s(\omega))}{1 + \sin(W_s(\omega))}\right) \;\mathrm{d}s.

No quinto e último caso, podemos ficar tentados a escrever

Xt=x0e∫0tμs ds, X_t = x_0 e^{\int_0^t \mu_s\;\mathrm{d}s},

com

∫0tμs ds=μ0t+σ∫0tdWsds ds=μ0t+σ∫0t dWs=μ0t+σWt. \int_0^t \mu_s\;\mathrm{d}s = \mu_0 t + \sigma \int_0^t \frac{\mathrm{d}W_s}{\mathrm{d}s} \;\mathrm{d}s = \mu_0 t + \sigma \int_0^t \;\mathrm{d}W_s = \mu_0t + \sigma W_t.

Mas as coisas não são tão simples assim... A equação

dXtdt=(μ0+σdWtdt)x \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = \left(\mu_0 + \sigma \frac{\mathrm{d}W_t}{\mathrm{d}t}\right) x

não tem sentido como está e deve ser vista como uma equação

dXt=μ0Xt dt+σXt dWt, \mathrm{d}X_t = \mu_0 X_t\;\mathrm{d}t + \sigma X_t\;\mathrm{d}W_t,

que por sua vez deve ser interpretada como uma equação integral

Xt=x0+μ0∫0tXs ds+σ∫0tXs dWs. X_t = x_0 + \mu_0\int_0^t X_s\;\mathrm{d}s + \sigma \int_0^t X_s\;\mathrm{d}W_s.

A integral estocástica mais à direita deve ser tratada com cuidado e nos levará a uma solução ligeiramente diferente da esperada acima, a saber

Xt=x0e(μ0−σ22)t+σWt. X_t = x_0 e^{\left(\mu_0 - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t}.

Observe o termo extra envolvendo σ2.\sigma^2.

Com isso em mente, vamos ver, neste capítulo, integração de processos no sentido de Riemann,

∫0tHs ds \int_0^t H_s\;\mathrm{d}s

e, como objeto de maior interesse, a integração estocástica em relação a um processo de Wiener,

∫0tHs dWs, \int_0^t H_s\;\mathrm{d}W_s,

onde {Ht}t≥0\{H_t\}_{t\geq 0} é um dado processo a ser integrado. Veremos também propriedades curiosas da integral estocástica com respeito a {Wt}t≥0.\{W_t\}_{t\geq 0}. Veremos quais propriedades da integral clássica se estendem a essa integral e quais propriedades devem ser modificadas.

(CC BY-NC-ND 4.0) Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International Ricardo M. S. Rosa
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