4.5. Filtração

O conceito de filtração é fundamental para a definição e análise de processos do tipo Martingale e no cálculo estocástico com integrais de Itô, por exemplo. Intuitivamente, uma filtração carrega a informação de algum processo até um determinado instante. Vamos começar com um exemplo, para ilustrar a ideia.

Filtração em um passeio aleatório

Considere o passeio aleatório \(\{X_n\}_{n=0}^\infty\), onde \(X_0 = 0\). Digamos que queiramos calcular a esperança de \(X_2\), dado \(X_1\):

\[ \mathbb{E}\left[X_2 | X_1 = x_1\right]. \]

As únicas possibilidades para \(X_1\) são \(X_1 = -1\) e \(X_1 = 1\). Caso \(X_1 = 1\), então podemos ter \(X_2\) igual a \(2\) ou \(0\), com probabilidade \(1/2\) cada um. Ou seja,

\[ \mathbb{E}\left[X_2 | X_1 = 1\right] = 2 \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = 1. \]

Caso \(X_1 = -1\), temos

\[ \mathbb{E}\left[X_2 | X_1 = -1\right] = 0 \times \frac{1}{2} - 2 \times \frac{1}{2} = -1. \]

De qualquer forma, temos

\[ \mathbb{E}\left[X_2 | X_1\right] = X_1. \]

Lembremos que as probabilidades condicionadas se traduzem na forma de probabilidades de conjuntos:

\[ \begin{align*} \mathbb{P}(X_2 \in E | X_1 \in E_1) & = \mathbb{P}(\{\omega; \;X_2(\omega) \in E\} | \{\omega; X_1(\omega) \in E_1\}) \\ & = \mathbb{P}(X_2^{-1}(E) | X_1^{-1}(E_1)). \end{align*} \]

De outra forma,

\[ \mathbb{P}(X_2 \in E | X_1 \in E_1) = \mathbb{P}(X_2 \in E | A_1) = \mathbb{P}_{A_1}(X_2 \in E), \]

onde \(A_1 = X_1^{-1}(E_1)\).

Caso tenhamos eventos \(X_0 \in E_0, X_1\in E_1, \ldots, X_n \in E_n\), podemos considerar o valor esperado para \(X_{n+1}\):

\[ \mathbb{E}\left[X_{n+1} | X_0 \in E_0, X_1\in E_1, \ldots, X_n \in E_n\right]. \]

Este é calculado em termos da probabilidade condicionada

\[ \mathbb{P}_{A_n}(E) = \mathbb{P}\left(X_{n+1}\in E | X_0 \in E_0, X_1\in E_1, \ldots, X_n \in E_n\right) = \mathbb{P}\left(X_{n+1}\in E | A_n\right), \]

onde

\[ A_n = \{\omega; X_0(\omega) \in E_0, X_1(\omega) \in E_1, \ldots, X_n(\omega) \in E_n\} = X_0^{-1}(E_0) \cap X_1^{-1}(E_1) \cap \ldots \cap X_n^{-1}(E_n). \]

Na verdade, não há motivo para nos restringirmos a conjuntos cilíndricos dessa forma. Podemos considerar informações sobre os estados passados que formem conjuntos que sejam uniões e/ou interseções de diferentes conjuntos cilíndricos da forma acima. Isso nos leva, naturalmente, a considerarmos conjuntos \(A_n\) que pertençam à \(\sigma\)-álgebra gerada por esses conjuntos cilíndricos. Denotamos essa tal \(\sigma\)-álgebra por \(\mathcal{F}_n\). Ou seja, \(\mathcal{F}_n\) é a \(\sigma\)-álgebra gerada pelo conjunto de cilindros da forma \(X_0^{-1}(E_0) \cap X_1^{-1}(E_1) \cap \ldots \cap X_n^{-1}(E_n)\), onde \(E_0, E_1, \ldots, E_n\in \mathcal{E}\). Escrevemos isso como

\[ \mathcal{F}_n = \sigma\left(\left\{ X_0^{-1}(E_0) \cap X_1^{-1}(E_1) \cap \ldots \cap X_n^{-1}(E_n); \;E_1, \ldots, E_n\in \mathcal{E}\right\}\right). \]

Observe que, por construção,

\[ \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{A}. \]

Assim, podemos considerar as probabilidades condicionadas

\[ \mathbb{P}_{A_n}(X_{n+1} \in E), \]

para um \(A_n \in \mathcal{F}_n\) arbitrário.

Essa sequência \(\mathcal{F}_n\) de \(\sigma\)-álgebras in \(\mathcal{A}\) é um exemplo de filtração denominado de filtração natural do processo \(\{X_n\}_n\) do passeio aleatório.

Para tornar o exemplo mais concreto, podemos considerar

1. \(\Omega = \mathbb{Z}^{\mathbb{Z}^*} = \{\omega = (\omega_0, \omega_1, \ldots); \; \omega_n \in \mathbb{Z}, n = 0, 1, \ldots\}\);

2. \(\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)\) como sendo o conjunto de todas as partes de \(\Omega\); e

3. \(X_n(\omega) = \omega_n\), para \(\omega = (\omega_0, \omega_1, \omega_2, \ldots) \in \Omega\).

Assim, a filtração é dada por \(\mathcal{F}_n\) definido como a \(\sigma\)-álgebra gerada pelos conjuntos cilíndricos da forma

\[ E_0 \times E_1 \times \ldots \times E_n \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \cdots, \]

onde \(E_0, E_1, \ldots, E_n \subset \mathbb{Z}\). Dessa forma, não temos como observar eventos a partir de \(X_{n+1}\) olhando para a filtração até \(\mathcal{F}_n\).

Filtração

Vamos, agora, à definição formal. Uma filtração em um espaço mensurável \((\Omega, \mathcal{A})\) é uma família não decrescente \(\{\mathcal{F}_t\}_{t\in I}\), em algum espaço de índices \(I\) discreto ou contínuo, de \(\sigma\)-álgebras contidas em \(\mathcal{A}\), i.e.

1. \(\mathcal{F}_t\) é uma \(\sigma\)-álgebra em \(\Omega\), para todo \(t\in I\);

2. \(\mathcal{F}_t\) é uma sub \(\sigma\)-álgebra de \(\mathcal{A}\), i.e. \(\mathcal{F}_t \subset \mathcal{A}\); e

3. É uma família não decrescente, i.e. \(\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t\), para todo \(s, t\in I\) com \(s < t\).

Denominamos um tal \((\Omega, \mathcal{A}, \{\mathcal{F}_t\}_{t\in I})\) por espaço filtrado..

No caso discreto \(I = \mathbb{N}\), basta pedir que \(\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1} \subset \ldots \subset \mathcal{A}\), com cada \(\mathcal{F}_n\) sendo uma \(\sigma\)-álgebra.

Processo adaptado

Um processo \(\{X_t\}_{t\in I}\) em \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) é dito adaptado a uma filtração \(\{\mathcal{F}_t\}_{t\in I}\) nesse espaço de probabilidades quando \(X_t\) é \(\mathcal{F}_t\)-mensurável, para qualquer \(t \in I\). Um tal processo também é dito não antecipativo, em relação a essa filtração. De fato, qualquer evento \(E\) observável por \(X_t\) deve estar associado a um conjunto amostral \(X_t^{-1}(E)\) em \(\mathcal{F}_t\), sem necessitar de conjuntos nas \(\sigma\)-álgebras posteriores.

Por exemplo, o passeio aleatório considerado acima está adaptado à filtração natural definida por ele. De fato, qualquer processo é adaptado à sua filtração natural, por construção.

Esse conceito é útil na definição formal de Martingale, onde exigimos, para ser uma Martingale, um determinado processo \(\{X_t\}_t\) seja tal que

\[ \mathbb{E}[|X_t|] < \infty \quad \textrm{e} \quad \mathbb{E}[X_{t + \tau} | A_t] = X_t, \; \forall A_t \in \mathcal{F}_t, \;\forall t < t + \tau \text{ em } I. \]

No desenvolvimento da integral de Itô, veremos uma outra situação, em que exigiremos que um determinando processo \(\{H_t\}_t\) seja adaptado à filtração natural de outro processo, como um processo de Wiener \(\{W_t\}_t\). Dessa forma, teremos boas propriedades da integral de Itô \(\int_a^b H_t \;\mathrm{d}W_t\) de \(\{H_t\}_t\) em relação a \(\{W_t\}_t\).

Filtração natural

Conforme feito no exemplo inicial, dado um processo discreto \(\{X_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) em um espaço de probabilidades \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\), com valores em um espaço mensurável \((\Sigma, \mathcal{E})\), definimos a filtração natural desse processo como sendo a filtração em que cada \(\mathcal{F}_n\) é dado pela \(\sigma\)-álgebra gerada pelas variáveis aleatórias \(X_1, \ldots, X_n\), ou seja, a menor \(\sigma\)-álgebra em que \(X_1, \ldots, X_n\) são mensuráveis (mas que \(X_{n+1}, \ldots\) não precisam ser).

Uma tal \(\sigma\) álgebra precisa conter todos os conjuntos da forma \(X_j^{-1}(E_j)\), onde \(j = 1, \ldots, n\) e \(E_j\in \mathcal{E}\).

Para \(n=1\), essa \(\sigma\)-álgebra é exatamente a pré-imagem, por \(X_1\), de \(\Sigma\) (a pré-imagem de uma \(\sigma\)-álgebra por uma função qualquer é necessariamente uma \(\sigma\)-álgebra, já que a operação inversa de função preserva todas as operações de conjuntos):

\[ \mathcal{F}_1 = \sigma(X_1) = X_1^{-1}(\mathcal{E}) = \{X_1^{-1}(E); \;\forall E\in \mathcal{E}\}. \]

No caso geral \(n\), escrevemos

\[ \mathcal{F}_n = \sigma(X_1, \ldots, X_n) = \sigma( \{X_1^{-1}(E_1) \cap \ldots \cap X_n^{-1}(E_n); \; E_1, \ldots, E_n \in \Sigma\}). \]

Por construção, um processo está sempre adaptado à sua filtração natural.