4.5. Filtração

O conceito de filtração é fundamental para a definição e análise de processos do tipo Martingale e no cálculo estocástico com integrais de Itô, por exemplo. Intuitivamente, uma filtração carrega a informação de algum processo até um determinado instante. Vamos começar com um exemplo, para ilustrar a ideia.

Filtração em um passeio aleatório

Considere o passeio aleatório {Xn}n=0∞,\{X_n\}_{n=0}^\infty, onde X0=0.X_0 = 0. Digamos que queiramos calcular a esperança de X2,X_2, dado X1X_1:

E[X2∣X1=x1]. \mathbb{E}\left[X_2 | X_1 = x_1\right].

As únicas possibilidades para X1X_1 são X1=−1X_1 = -1 e X1=1.X_1 = 1. Caso X1=1,X_1 = 1, então podemos ter X2X_2 igual a 22 ou 0,0, com probabilidade 1/21/2 cada um. Ou seja,

E[X2∣X1=1]=2×12+0×12=1. \mathbb{E}\left[X_2 | X_1 = 1\right] = 2 \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = 1.

Caso X1=−1,X_1 = -1, temos

E[X2∣X1=−1]=0×12−2×12=−1. \mathbb{E}\left[X_2 | X_1 = -1\right] = 0 \times \frac{1}{2} - 2 \times \frac{1}{2} = -1.

De qualquer forma, temos

E[X2∣X1]=X1. \mathbb{E}\left[X_2 | X_1\right] = X_1.

Lembremos que as probabilidades condicionadas se traduzem na forma de probabilidades de conjuntos:

P(X2∈E∣X1∈E1)=P({ω; X2(ω)∈E}∣{ω;X1(ω)∈E1})=P(X2−1(E)∣X1−1(E1)). \begin{align*} \mathbb{P}(X_2 \in E | X_1 \in E_1) & = \mathbb{P}(\{\omega; \;X_2(\omega) \in E\} | \{\omega; X_1(\omega) \in E_1\}) \\ & = \mathbb{P}(X_2^{-1}(E) | X_1^{-1}(E_1)). \end{align*}

De outra forma,

P(X2∈E∣X1∈E1)=P(X2∈E∣A1)=PA1(X2∈E), \mathbb{P}(X_2 \in E | X_1 \in E_1) = \mathbb{P}(X_2 \in E | A_1) = \mathbb{P}_{A_1}(X_2 \in E),

onde A1=X1−1(E1).A_1 = X_1^{-1}(E_1).

Caso tenhamos eventos X0∈E0,X1∈E1,…,Xn∈En,X_0 \in E_0, X_1\in E_1, \ldots, X_n \in E_n, podemos considerar o valor esperado para Xn+1X_{n+1}:

E[Xn+1∣X0∈E0,X1∈E1,…,Xn∈En]. \mathbb{E}\left[X_{n+1} | X_0 \in E_0, X_1\in E_1, \ldots, X_n \in E_n\right].

Este é calculado em termos da probabilidade condicionada

PAn(E)=P(Xn+1∈E∣X0∈E0,X1∈E1,…,Xn∈En)=P(Xn+1∈E∣An), \mathbb{P}_{A_n}(E) = \mathbb{P}\left(X_{n+1}\in E | X_0 \in E_0, X_1\in E_1, \ldots, X_n \in E_n\right) = \mathbb{P}\left(X_{n+1}\in E | A_n\right),

onde

An={ω;X0(ω)∈E0,X1(ω)∈E1,…,Xn(ω)∈En}=X0−1(E0)∩X1−1(E1)∩…∩Xn−1(En). A_n = \{\omega; X_0(\omega) \in E_0, X_1(\omega) \in E_1, \ldots, X_n(\omega) \in E_n\} = X_0^{-1}(E_0) \cap X_1^{-1}(E_1) \cap \ldots \cap X_n^{-1}(E_n).

Na verdade, não há motivo para nos restringirmos a conjuntos cilíndricos dessa forma. Podemos considerar informações sobre os estados passados que formem conjuntos que sejam uniões e/ou interseções de diferentes conjuntos cilíndricos da forma acima. Isso nos leva, naturalmente, a considerarmos conjuntos AnA_n que pertençam à σ\sigma-álgebra gerada por esses conjuntos cilíndricos. Denotamos essa tal σ\sigma-álgebra por Fn.\mathcal{F}_n. Ou seja, Fn\mathcal{F}_n é a σ\sigma-álgebra gerada pelo conjunto de cilindros da forma X0−1(E0)∩X1−1(E1)∩…∩Xn−1(En),X_0^{-1}(E_0) \cap X_1^{-1}(E_1) \cap \ldots \cap X_n^{-1}(E_n), onde E0,E1,…,En∈E.E_0, E_1, \ldots, E_n\in \mathcal{E}. Escrevemos isso como

Fn=σ({X0−1(E0)∩X1−1(E1)∩…∩Xn−1(En); E1,…,En∈E}). \mathcal{F}_n = \sigma\left(\left\{ X_0^{-1}(E_0) \cap X_1^{-1}(E_1) \cap \ldots \cap X_n^{-1}(E_n); \;E_1, \ldots, E_n\in \mathcal{E}\right\}\right).

Observe que, por construção,

F1⊂F2⊂…⊂A. \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{A}.

Assim, podemos considerar as probabilidades condicionadas

PAn(Xn+1∈E), \mathbb{P}_{A_n}(X_{n+1} \in E),

para um An∈FnA_n \in \mathcal{F}_n arbitrário.

Essa sequência Fn\mathcal{F}_n de σ\sigma-álgebras in A\mathcal{A} é um exemplo de filtração denominado de filtração natural do processo {Xn}n\{X_n\}_n do passeio aleatório.

Para tornar o exemplo mais concreto, podemos considerar

  1. Ω=ZZ∗={ω=(ω0,ω1,…); ωn∈Z,n=0,1,…}\Omega = \mathbb{Z}^{\mathbb{Z}^*} = \{\omega = (\omega_0, \omega_1, \ldots); \; \omega_n \in \mathbb{Z}, n = 0, 1, \ldots\};

  2. A=P(Ω)\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega) como sendo o conjunto de todas as partes de Ω\Omega; e

  3. Xn(ω)=ωn,X_n(\omega) = \omega_n, para ω=(ω0,ω1,ω2,…)∈Ω.\omega = (\omega_0, \omega_1, \omega_2, \ldots) \in \Omega.

Assim, a filtração é dada por Fn\mathcal{F}_n definido como a σ\sigma-álgebra gerada pelos conjuntos cilíndricos da forma

E0×E1×…×En×Z×Z×⋯ , E_0 \times E_1 \times \ldots \times E_n \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \cdots,

onde E0,E1,…,En⊂Z.E_0, E_1, \ldots, E_n \subset \mathbb{Z}. Dessa forma, não temos como observar eventos a partir de Xn+1X_{n+1} olhando para a filtração até Fn.\mathcal{F}_n.

Filtração

Vamos, agora, à definição formal. Uma filtração em um espaço mensurável (Ω,A)(\Omega, \mathcal{A}) é uma família não decrescente {Ft}t∈I,\{\mathcal{F}_t\}_{t\in I}, em algum espaço de índices II discreto ou contínuo, de σ\sigma-álgebras contidas em A,\mathcal{A}, i.e.

  1. Ft\mathcal{F}_t é uma σ\sigma-álgebra em Ω,\Omega, para todo t∈It\in I;

  2. Ft\mathcal{F}_t é uma sub σ\sigma-álgebra de A,\mathcal{A}, i.e. Ft⊂A\mathcal{F}_t \subset \mathcal{A}; e

  3. É uma família não decrescente, i.e. Fs⊂Ft,\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t, para todo s,t∈Is, t\in I com s<t.s < t.

Denominamos um tal (Ω,A,{Ft}t∈I)(\Omega, \mathcal{A}, \{\mathcal{F}_t\}_{t\in I}) por espaço filtrado..

No caso discreto I=N,I = \mathbb{N}, basta pedir que F1⊂F2⊂…⊂Fn⊂Fn+1⊂…⊂A,\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1} \subset \ldots \subset \mathcal{A}, com cada Fn\mathcal{F}_n sendo uma σ\sigma-álgebra.

Processo adaptado

Um processo {Xt}t∈I\{X_t\}_{t\in I} em (Ω,A,P)(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) é dito adaptado a uma filtração {Ft}t∈I\{\mathcal{F}_t\}_{t\in I} nesse espaço de probabilidades quando XtX_t é Ft\mathcal{F}_t-mensurável, para qualquer t∈I.t \in I. Um tal processo também é dito não antecipativo, em relação a essa filtração. De fato, qualquer evento EE observável por XtX_t deve estar associado a um conjunto amostral Xt−1(E)X_t^{-1}(E) em Ft,\mathcal{F}_t, sem necessitar de conjuntos nas σ\sigma-álgebras posteriores.

Por exemplo, o passeio aleatório considerado acima está adaptado à filtração natural definida por ele. De fato, qualquer processo é adaptado à sua filtração natural, por construção.

Esse conceito é útil na definição formal de Martingale, onde exigimos, para ser uma Martingale, um determinado processo {Xt}t\{X_t\}_t seja tal que

E[∣Xt∣]<∞eE[Xt+τ∣At]=Xt, ∀At∈Ft, ∀t<t+τ em I. \mathbb{E}[|X_t|] < \infty \quad \textrm{e} \quad \mathbb{E}[X_{t + \tau} | A_t] = X_t, \; \forall A_t \in \mathcal{F}_t, \;\forall t < t + \tau \text{ em } I.

No desenvolvimento da integral de Itô, veremos uma outra situação, em que exigiremos que um determinando processo {Ht}t\{H_t\}_t seja adaptado à filtração natural de outro processo, como um processo de Wiener {Wt}t.\{W_t\}_t. Dessa forma, teremos boas propriedades da integral de Itô ∫abHt dWt\int_a^b H_t \;\mathrm{d}W_t de {Ht}t\{H_t\}_t em relação a {Wt}t.\{W_t\}_t.

Filtração natural

Conforme feito no exemplo inicial, dado um processo discreto {Xn}n∈N\{X_n\}_{n\in \mathbb{N}} em um espaço de probabilidades (Ω,A,P),(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}), com valores em um espaço mensurável (Σ,E),(\Sigma, \mathcal{E}), definimos a filtração natural desse processo como sendo a filtração em que cada Fn\mathcal{F}_n é dado pela σ\sigma-álgebra gerada pelas variáveis aleatórias X1,…,Xn,X_1, \ldots, X_n, ou seja, a menor σ\sigma-álgebra em que X1,…,XnX_1, \ldots, X_n são mensuráveis (mas que Xn+1,…X_{n+1}, \ldots não precisam ser).

Uma tal σ\sigma álgebra precisa conter todos os conjuntos da forma Xj−1(Ej),X_j^{-1}(E_j), onde j=1,…,nj = 1, \ldots, n e Ej∈E.E_j\in \mathcal{E}.

Para n=1,n=1, essa σ\sigma-álgebra é exatamente a pré-imagem, por X1,X_1, de Σ\Sigma (a pré-imagem de uma σ\sigma-álgebra por uma função qualquer é necessariamente uma σ\sigma-álgebra, já que a operação inversa de função preserva todas as operações de conjuntos):

F1=σ(X1)=X1−1(E)={X1−1(E); ∀E∈E}. \mathcal{F}_1 = \sigma(X_1) = X_1^{-1}(\mathcal{E}) = \{X_1^{-1}(E); \;\forall E\in \mathcal{E}\}.

No caso geral n,n, escrevemos

Fn=σ(X1,…,Xn)=σ({X1−1(E1)∩…∩Xn−1(En); E1,…,En∈Σ}). \mathcal{F}_n = \sigma(X_1, \ldots, X_n) = \sigma( \{X_1^{-1}(E_1) \cap \ldots \cap X_n^{-1}(E_n); \; E_1, \ldots, E_n \in \Sigma\}).

Por construção, um processo está sempre adaptado à sua filtração natural.

(CC BY-NC-ND 4.0) Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International Ricardo M. S. Rosa
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