3.1. O método de Monte-Carlo no estudo de variáveis aleatórias

A distribuição de algumas variáveis aleatórias clássicas (normal, beta, exponencial, gama, chi, etc.) é bem conhecida, mas muitas variáveis aleatórias obtidas através de funções dessas variáveis aleatórias, ou de outros processos, são de mais difícil entendimento. Uma técnica útil nessa investigação é o método de Monte-Carlo. Ele consiste em considerar um número grande amostras, calcular o valor da variável nessas amostras e inferir a distribuição, ou alguma informação estatística, a partir dessa amostra. Dessa forma, podemos estimar o valor esperado, a variância e até mesmo a distribuição de probabilidades da variável aleatória em questão.

Estimando o valor esperado

Considere, por exemplo, uma variável aleatória com distribuição uniforme, XUnif(0,1)X \sim \mathrm{Unif}(0, 1) e seja Y=X2.Y = X^2. Nesse caso, podemos calcular o valor esperado de YY diretamente:

E[Y]=E[X2]=X2  dF(x)=01x2  dx=x3301=13. \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[X^2] = \int_{-\infty}^\infty X^2 \;\mathrm{d}F(x) = \int_0^1 x^2 \;\mathrm{d}x = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 = \frac{1}{3}.

Vamos agora ver como funciona o método de Monte-Carlo nesse caso. Calculamos um certo número nn de amostras X(ωj),X(\omega_j), j=1,,n,j = 1, \ldots, n, da distribuição uniforme e tomamos o valor esperado da amostra Yj=Y(ωj)=X(ωj)2Y_j = Y(\omega_j) = X(\omega_j)^2:

E[Yj]=E[X(ωj)2]=1nj=1nX(ωj)2. \mathbb{E}[Y_j] = \mathbb{E}[X(\omega_j)^2] = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X(\omega_j)^2.

A estimativa melhora com um número maior de amostras, conforme ilustrado nas simulações a seguir.

O Teorema Central do Limite e a distribuição das médias amostrais



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