3.1. O método de Monte-Carlo no estudo de variáveis aleatórias

A distribuição de algumas variáveis aleatórias clássicas (normal, beta, exponencial, gama, chi, etc.) é bem conhecida, mas muitas variáveis aleatórias obtidas através de funções dessas variáveis aleatórias, ou de outros processos, são de mais difícil entendimento. Uma técnica útil nessa investigação é o método de Monte-Carlo. Ele consiste em considerar um número grande amostras, calcular o valor da variável nessas amostras e inferir a distribuição, ou alguma informação estatística, a partir dessa amostra. Dessa forma, podemos estimar o valor esperado, a variância e até mesmo a distribuição de probabilidades da variável aleatória em questão.

Estimando o valor esperado

Considere, por exemplo, uma variável aleatória com distribuição uniforme, $X \sim \mathrm{Unif}(0, 1)$ e seja $Y = X^2.$ Nesse caso, podemos calcular o valor esperado de $Y$ diretamente:

Vamos agora ver como funciona o método de Monte-Carlo nesse caso. Calculamos um certo número $n$ de amostras $X(\omega_j),$ $j = 1, \ldots, n,$ da distribuição uniforme e tomamos o valor esperado da amostra $Y_j = Y(\omega_j) = X(\omega_j)^2$:

A estimativa melhora com um número maior de amostras, conforme ilustrado nas simulações a seguir.

O Teorema Central do Limite e a distribuição das médias amostrais