3.1. O método de Monte-Carlo no estudo de variáveis aleatórias

A distribuição de algumas variáveis aleatórias clássicas (normal, beta, exponencial, gama, chi, etc.) é bem conhecida, mas muitas variáveis aleatórias obtidas através de funções dessas variáveis aleatórias, ou de outros processos, são de mais difícil entendimento. Uma técnica útil nessa investigação é o método de Monte-Carlo. Ele consiste em considerar um número grande amostras, calcular o valor da variável nessas amostras e inferir a distribuição, ou alguma informação estatística, a partir dessa amostra. Dessa forma, podemos estimar o valor esperado, a variância e até mesmo a distribuição de probabilidades da variável aleatória em questão.

Estimando o valor esperado

Considere, por exemplo, uma variável aleatória com distribuição uniforme, \(X \sim \mathrm{Unif}(0, 1)\) e seja \(Y = X^2\). Nesse caso, podemos calcular o valor esperado de \(Y\) diretamente:

\[ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[X^2] = \int_{-\infty}^\infty X^2 \;\mathrm{d}F(x) = \int_0^1 x^2 \;\mathrm{d}x = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 = \frac{1}{3}. \]

Vamos agora ver como funciona o método de Monte-Carlo nesse caso. Calculamos um certo número \(n\) de amostras \(X(\omega_j)\), \(j = 1, \ldots, n\), da distribuição uniforme e tomamos o valor esperado da amostra \(Y_j = Y(\omega_j) = X(\omega_j)^2\):

\[ \mathbb{E}[Y_j] = \mathbb{E}[X(\omega_j)^2] = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X(\omega_j)^2. \]

A estimativa melhora com um número maior de amostras, conforme ilustrado nas simulações a seguir.

O Teorema Central do Limite e a distribuição das médias amostrais