8.1. Interpretação da equação

Neste capítulo, vamos considerar equações diferenciais estocásticas da forma

onde $T > 0,$ $\{W_t\}_{t\geq 0}$ é um processo de Wiener e $f:[0, T]\times \mathbb{R} \times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e $g:[0, T]\times \mathbb{R} \times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.$

Junte-se à essa equação uma condição inicial

onde $X_0$ é uma variável aleatória real.

Significado da equação

Os termos $\mathrm{d}X_t$ e $\mathrm{d}W_t$ não têm significado por si só. A equação conforme escrita acima é uma maneira de se escrever a equação integral correspondente:

Sob condições apropriadas em $f,$ $g$ e na solução $X_t,$ a primeira integral é uma integral de Riemann ou de Lebesgue de um processo definido por $H_t = f(t, X_t)$ e a segunda integral é uma integral de Itô de um processo definido por $G_t = g(t, X_t),$ em relação ao processo $\{W_t\}_{t\geq 0}.$ Buscamos condições que garantam a existência de um processo apropriado $\{X_t\}_{t \geq 0}$ que satisfaça essa equação integral.

Nomenclatura

O termo $f = f(t, x)$ é chamado de drift e $g = g(t, x),$ de difusão.

Uma notação comum é escrevê-los como $\mu$ e $\sigma.$ Para ver a razão disso, considere o caso com coeficientes determinísticos e condição inicial nula:

Essa equação é pra ser interpretada como a equação integral

Já vimos que

Assim, o valor esperado da solução é

Por sua vez, a variância é dada por

Usando a isometria de Itô e o fato de $\sigma$ ser determinístico, isso nos dá

Dessa forma, associamos $\mu$ e $\sigma$ diretamente ao valor esperado e ao desvio padrão, respectivamente, da solução $\{X_t\}_{t \geq 0}$ da equação.

Tipos de ruído

Uma distinção comum é se o termo $g(t, x)$ de ruído depende ou não de $x.$ Caso não dependa, dizemos que temos um ruído aditivo, ou seja, quando a equação tem a forma

Mais geralmente, quando $g(t, x)$ depende explicitamente de $x,$ dizemos que temo um ruído multiplicativo.