8.1. Interpretação da equação

Neste capítulo, vamos considerar equações diferenciais estocásticas da forma

\[ \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\mathrm{d}t + g(t, X_t)\mathrm{d}W_t, \qquad t \geq 0, \]

onde \(T > 0,\) \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) é um processo de Wiener e \(f:[0, T]\times \mathbb{R} \times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) e \(g:[0, T]\times \mathbb{R} \times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.\)

Junte-se à essa equação uma condição inicial

\[ \left.X_t\right|_{t = 0} = X_0, \]

onde \(X_0\) é uma variável aleatória real.

Significado da equação

Os termos \(\mathrm{d}X_t\) e \(\mathrm{d}W_t\) não têm significado por si só. A equação conforme escrita acima é uma maneira de se escrever a equação integral correspondente:

\[ X_t = X_0 + \int_0^t f(s, X_s)\mathrm{d}s + \int_0^t g(s, X_s)\mathrm{d}W_s. \]

Sob condições apropriadas em \(f,\) \(g\) e na solução \(X_t,\) a primeira integral é uma integral de Riemann ou de Lebesgue de um processo definido por \(H_t = f(t, X_t)\) e a segunda integral é uma integral de Itô de um processo definido por \(G_t = g(t, X_t),\) em relação ao processo \(\{W_t\}_{t\geq 0}.\) Buscamos condições que garantam a existência de um processo apropriado \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) que satisfaça essa equação integral.

Nomenclatura

O termo \(f = f(t, x)\) é chamado de drift e \(g = g(t, x),\) de difusão.

Uma notação comum é escrevê-los como \(\mu\) e \(\sigma.\) Para ver a razão disso, considere o caso com coeficientes determinísticos e condição inicial nula:

\[ \mathrm{d}X_t = \mu(t)\mathrm{d}t + \sigma(t)\mathrm{d}W_t, \quad \left. X_t \right|_{t = 0} = 0. \]

Essa equação é pra ser interpretada como a equação integral

\[ X_t = \int_0^t \mu(s)\mathrm{d}s + \int_0^t \sigma(s)\mathrm{d}W_s. \]

Já vimos que

\[ \mathbb{E}\left[\int_0^t \sigma(s)\mathrm{d}W_s\right] = 0. \]

Assim, o valor esperado da solução é

\[ \mathbb{E}[X_t] = \int_0^t \mu(s)\mathrm{d}s. \]

Por sua vez, a variância é dada por

\[ \mathrm{Var}(X_t) = \mathbb{E}[(X_t - \mathbb{E}[X_t])^2] = \mathbb{E}\left[\left(\int_0^t \sigma(s)\mathrm{d}W_s\right)^2\right]. \]

Usando a isometria de Itô e o fato de \(\sigma\) ser determinístico, isso nos dá

\[ \mathrm{Var}(X_t) = \int_0^t \sigma(s)^2\mathrm{d}W_s. \]

Dessa forma, associamos \(\mu\) e \(\sigma\) diretamente ao valor esperado e ao desvio padrão, respectivamente, da solução \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) da equação.

Tipos de ruído

Uma distinção comum é se o termo \(g(t, x)\) de ruído depende ou não de \(x.\) Caso não dependa, dizemos que temos um ruído aditivo, ou seja, quando a equação tem a forma

\[ \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\mathrm{d}t + g(t)\mathrm{d}W_t. \]

Mais geralmente, quando \(g(t, x)\) depende explicitamente de \(x,\) dizemos que temo um ruído multiplicativo.