5.3. Propriedades de processos de Wiener

Vejamos diversas propriedades de processos de Wiener.

Processo Gaussiano

Um processo de Wiener é um exemplo de processo Gaussiano. Para ver isso, dados \(t_1, \ldots, t_n \geq 0,\) podemos escrever cada \(W_{t_1}, \ldots, W_{t_n}\) como combinação linear das normais independentes \(W_{t_1} - W_{t_0},\) \(W_{t_2} - W_{t_1},\) ..., \(W_{t_n} - W_{t_{n-1}},\) onde \(t_0 = 0,\) i.e.

\[ W_{t_j} = W_{t_j} - W_{t_{j-1}} + \cdots + W_{t_1} - W_{t_0}. \]

Dessa forma, a distribuição conjunta de \(W_{t_1}, \ldots, W_{t_n}\) é dada por

\[ \mathbb{P}(W_{t_1} \leq x_1, \ldots, W_{t_n} \leq x_n) = \mathbb{P}(W_{t_1} - W_{t_0} \leq x_1, \ldots, W_{t_n} - W_{t_{n-1}} + \cdots + W_{t_1} - W_{t_0} \leq x_n) \]

Isso pode ser reescrito na forma

\[ \mathbb{P}(W_{t_1} \leq x_1, \ldots, W_{t_n} \leq x_n) = \mathbb{P}(W_{t_1} \leq x_1, \ldots, W_{t_n} - W_{t_{n-1}} \leq x_n - \cdots - x_1) = F(x_1, \ldots, x_n - \cdots - x_1), \]

onde \(F\) é a função de distribuição acumulada da normal multivariada associada às normais independentes \(W_{t_1} - W_{t_0}, \ldots, W_{t_n} - W_{t_{n-1}}.\) Portanto, \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) é um processo Gaussiano.

Observe que não basta que cada marginal \(W_{t_j}\) seja uma normal para que a vetor aleatório \((W_{t_1}, \ldots, W_{t_n})\) seja uma normal multivariada em \(\mathbb{R}^n.\) Mas no caso acima, temos que os passos \(W_{t_1} - W_{t_0}, \ldots, W_{t_n} - W_{t_{n-1}}\) são normais independentes, portanto o vetor aleatório

\[ (W_{t_1} - W_{t_0}, \ldots, W_{t_n} - W_{t_{n-1}}) \]

é uma normal multivariada. Além disso, o vetor aleatório

\[ (W_{t_1}, \ldots, W_{t_n}) \]

é uma transformação linear dessa normal multivariada,

\[ \left( \begin{array}{c} W_{t_1} \\ \vdots \\ W_{t_n} \end{array} \right) = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 1 & \dots & 1 & 1 \end{array} \right] \left( \begin{array}{c} W_{t_1} - W_{t_0} \\ \vdots \\ W_{t_n} - W_{t_{n-1}} \end{array} \right). \]

Portanto, esse vetor aleatório também é uma normal multivariada.

Esperança e variância

Como \(W_0 = 0\) e \(W_t - W_0 \sim \mathcal{N}(0, t),\) então

\[ \mathbb{E}[W_t] = \mathbb{E}[W_t - X_0] = 0 \]

e

\[ \mathrm{Var}(W_t) = \mathrm{Var}(W_t - W_0) = t. \]

Covariância

Para quaisquer \(t \geq s \geq 0,\) como os incrementos são independentes e, portanto, tem correlação nula, segue que

\[ \begin{align*} \mathrm{Cov}(W_t, W_s) & = \mathrm{Cov}(W_s + W_t - W_s, W_s) = \mathrm{Cov}(W_s, W_s) + \mathrm{Cov}(W_t - W_s, W_s) \\ & = \mathrm{Cov}(W_s - W_0, W_s - W_0) + \mathrm{Cov}(W_t - W_s, W_s - W_0) = \mathrm{Var}(W_s - W_0) = s, \quad \forall t \geq s \geq 0. \end{align*} \]

Observe que, se \(t = s > 0,\) então o segundo termo se anula pois \(W_t - W_s = 0.\) Já se \(t \geq s = 0,\) então todos os termos se anulam, já que \(W_s - W_0 = 0.\)

Por simetria, como \(\mathrm{Cov}(W_t, W_s) = \mathrm{Cov}(W_s, W_t),\) então, se, por outro lado, \(s \geq t \geq 0,\) obtemos

\[ \mathrm{Cov}(W_t, W_s) = t, \qquad \forall s \geq t \geq 0. \]

De qualquer forma, podemos escrever, para \(t, s \geq 0\) quaisquer,

\[ \mathrm{Cov}(W_t, W_s) = \min\{t, s\}. \]

Correlação

Como o desvio padrão de \(W_t\) é \(\sigma(W_t) = \sqrt{t},\) temos, da covariância obtida acima, que

\[ \mathrm{corr}(W_t, W_s) = \frac{\mathrm{Cov}(W_t, W_s)}{\sigma(W_t)\sigma(W_s)} = \frac{\min\{t, s\}}{\sqrt{t}\sqrt{s}} = \frac{1}{\max\{t, s\}}. \]

Não independência de incrementos em intervalos que se interceptam

Por definição, dois incrementos \(W_{t_3} - W_{t_2}\) e \(W_{t_1} - W_{t_0}\) são independentes quando \(t_3 > t_2 = t_1 > t_0.\) Isso se estende ao caso em que \(t_2 > t_1,\) pois basta acrescentar \(W_{t_2} - W_{t_1}\) que teremos três incrementos independentes \(W_{t_3} - W_{t_2},\) \(W_{t_2} - W_{t_1}\) e \(W_{t_1} - W_{t_0},\) e quaisquer dois deles também são independentes.

Contudo, os incrementos \(W_{t_3} - W_{t_1}\) e \(W_{t_2} - W_{t_0}\) não são independentes quando \(t_1 \leq t_2 < t_3 \leq t_4,\) porque os intervalos \([t_0, t_2]\) e \([t_1, t_3]\) tem interseção não trivial. De fato, nesse caso, temos

\[ \begin{align*} \mathbb{E}((W_{t_3} - W_{t_1})(W_{t_2} - W_{t_0})) & = \mathbb{E}(W_{t_3}W_{t_2} - W_{t_3}W_{t_0} - W_{t_1}W_{t_2} + W_{t_1}W_{t_0}) \\ & = \min\{t_3, t_2\} - \min\{t_3, t_0\} - \min\{t_1, t_2\} + \min\{t_1, t_0\} \\ & = t_2 - t_0 - t_1 + t_0 = t_2 - t_1 > 0, \end{align*} \]

que é exatamente o tamanho do intervalo de tempo em que os incrementos coincidem.

Novamente, vemos que, se \(t_1 = t_2,\) então essa correlação se anula.

Não é um processo estacionário

Um processo de Wiener não é estacionário, pois, em particular, os processos \(W_t\) não tem a mesma lei de probabilidades. E também não é fracamente estacionário, já que, apesar de \(\mathbb{E}[W_t] = 0\) ser constante, temos, para \(t, s\geq 0\) e \(\tau > 0,\) que

\[ \begin{align*} \mathbb{E}[W_{t + \tau}W_{s + \tau}] & = \mathbb{E}[(W_{t + \tau} - \mathbb{E}[W_{t + \tau}])(W_{s + \tau} - \mathbb{E}[W_{s + \tau}])] \\ & = \mathrm{Cov}(W_{t + \tau}, W_{s + \tau}) = \min\{t + \tau, s + \tau\} = \min\{t, s\} + \tau, \end{align*} \]

Ou seja, \(\mathbb{E}[W_{t + \tau}W_{s + \tau}]\) depende de \(\tau.\)

Condição para um processo Gaussiano ser um processo de Wiener

Vamos concluir afirmando que um processo Gaussiano \(\{W_t\}_{t\geq 0}\) com caminhos contínuous quase certamente e satisfazendo \(\mathbb{E}[W_t] = 0\) e \(\mathbb{E}[W_t W_s] = \min\{t, s\},\) para todo \(t, s \geq 0,\) é um processo de Wiener.

De fato, temos, por definição, \(W_0\) normal com

\[ \mathbb{E}[W_0] = 0, \qquad \mathbb{E}[W_0^2] = \min\{0, 0\} = 0, \]

de modo que

\[ W_0 = 0. \]

Para \(t, \tau \geq 0,\) temos o incremento \(W_{t+\tau} - W_t\) como sendo uma normal com esperança e variância dadas por

\[ \mathbb{E}[W_{t+\tau} - W_t] = \mathbb{E}[W_{t+\tau}] - \mathbb{E}[W_t] = 0 - 0 = 0 \]

e

\[ \mathbb{E}[(W_{t+\tau} - W_t)^2] = \mathbb{E}[W_{t+\tau}^2] - 2\mathbb{E}[W_{t+\tau}W_t] + \mathbb{E}[W_t^2] = t + \tau - 2t + t = \tau, \]

portanto

\[ W_{t+\tau} - W_t \sim \mathcal{N}(0, \tau). \]

Por hipótese, os caminhos são quase certamente contínuos. Por fim, para a independência dos incrementos, como os incrementos são normais, basta mostrar a independência dois a dois. Assim, temos, para \(0 \leq t_0 \leq t_1 \leq t_2 \leq t_3,\)

\[ \begin{align*} \mathbb{E}((W_{t_3} - W_{t_2})(W_{t_1} - W_{t_0})) & = \mathbb{E}(W_{t_3}W_{t_1} - W_{t_3}W_{t_0} - W_{t_2}W_{t_1} + W_{t_2}W_{t_0}) \\ & = \min\{t_3, t_1\} - \min\{t_3, t_0\} - \min\{t_2, t_1\} + \min\{t_2, t_0\} \\ & = t_1 - t_0 - t_1 + t_0 = 0. \end{align*} \]

Como as esperanças também são nulas, isso implica na covariância ser nula e, portanto, os incrementos são independentes.