9.4. Fórmula de Feynman-Kac e a equação retrógrada de Kolmogorov

Esta é uma fórmula útil para se calcular, por exemplo, esperanças de processos estocásticos. Veremos, em particular, como utilizar essa fórmula para estimar a convergência (fraca) de métodos numéricos para equações estocásticas.

Fórmula

Em muitos casos práticos, conhecemos o valor atual $X_\tau = \xi$ de um de um processo estocástico e queremos estimar o valor esperado $\mathbb{E}[X_T; X_\tau = \xi]$ em um tempo futuro $T > \tau,$ ou, mais geralmente, $\mathbb{E}[\Phi(X_T); X_\tau = \xi],$ para algum momento $\Phi.$ O objetivo é fazer isso através de uma função $u=u(t, x)$ que seja solução de uma equação a derivadas parciais (EDP) apropriada.

Observe que, pela fórmula de Itô,

Ao tomarmos o valor esperado, condicionada a $X_\tau = \xi,$ e considerando que a integral estocástica tem esperança zero, obtemos

A esperança no integrando acima é, em geral, de difícil cálculo. A ideia é considerar uma EDP em que esse termo se anule, ou seja, considerar $u(t, x)$ tal que

Para essa $u=u(t, x),$ obtemos

Observe que a equação para $u$ parece uma equação do calor mas está com o sinal "trocado". Isso implica em ela ser mal posta. Mas isso no modo clássico de resolvê-la para a frente. Ela está bem posta ao buscarmos resolvê-la para trâs no tempo. Mais precisamente, ao fazermos a mudança de variável $t \mapsto -t,$ a equação se torna uma equação parabólica clássica. Esse tipo de equação com sinal "trocado" aparece comumente em problemas de otimização. É o problema dual ao de evolução para frente.

Bom, mas o que isso significa no nosso caso? A ideia é que podemos impor uma condição final

para o momento desejado $\Phi,$ em seguida resolver "para trás no tempo" para obter $u(\tau, \xi)$ e encontrar o desejado valor esperado

Em resumo, considerando a equação diferencial estocástica

com condição inicial

dada em um instante $\tau\in\mathbb{R},$ podemos encontrar o momento

em um instante futuro $T > \tau,$ para alguma $\Phi$ dada, resolvendo a EDP

no intervalo $\tau \leq t \leq T,$ em $x\in \mathbb{R},$ dada a condição final

em $x\in\mathbb{R},$ e encontrando

Essa é a fórmula de Feynman-Kac.

Esta foi a visão de Mark Kac, um probabilista americano. Feynman, por sua vez, buscava o caminho contrário, ou seja, resolver equações da mecânica quântica, através de caminhos, com suas integrais de caminho (path integrals), com o agravante dessas equações serem complexas. A formulação acima, de Feynman-Kac, é feita rigorosa no contexto real.

Equação retrógrada de Kolmogorov

A fórmula de Feynman-Kac é baseada na equação

Essa equação está diretamente relacionada à equação retrógrada de Kolmogorov, dada por

com condição inicial

Observe a diferença de sinal. Essa equação foi obtida por Kolmogorov (posteriormente e de maneira independente) para a função $v=v(t,x)$ definida por (considerando $\tau = 0$)

Note que

e que

Pela EDP, vemos que

Ou seja, $v=v(t, x),$ em si, evolui para frente no tempo, mas representa uma evolução retrógrada. (Vale ressaltar que, em alguns textos, a equação denominada de equação retrógrada de Kolmogorov é aquela para $u,$ mas a maioria a considera como sendo a equação para $v.$) Ou seja, é apenas uma outra maneira de ver a equação de Feynman-Kac.