9.3. Distribuição assintótica estacionária dos processos de Ornstein-Uhlenbeck

Considere um processo de Ornstein-Uhlenbeck

\[ \mathrm{d}X_t = - \nu X_t \;\mathrm{d}t + \sigma \;\mathrm{d}W_t, \]

com \(\nu, \sigma > 0.\) A sua solução é

\[ X_t = e^{-\nu t}X_0 + \sigma \int_0^t e^{-\nu(t - s)}\;\mathrm{d}s. \]

Vimos, também, que

\[ \mathbb{E}[X_t] = e^{-\nu t}\mathbb{E}[X_0] \rightarrow 0 \]

e

\[ \mathrm{Var}(X_t) \rightarrow e^{-2\nu t}\;\mathrm{Var}(X_0) + \frac{\sigma^2}{2\nu}\left(1 - e^{-2\nu t}\right) \rightarrow \frac{\sigma^2}{2\nu}, \]

quando \(t \rightarrow \infty.\) Como \(X_t\) é um processo Gaussiano, vemos que, no limite \(t\rightarrow \infty,\)

\[ X_t \rightarrow X_\infty \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{\sigma^2}{2\nu}\right). \]

Isso pode ser obtido, também, através da equação de Fokker-Planck. De acordo com essa equação, a função densidade de probabilidade \(p=p(x)\) de uma distribuição estacionária desse processo é dada por

\[ \nu \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x p(x)) + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d}x^2}(x) = 0. \]

Integrando,

\[ \nu x p(x) + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}x}(x) = C, \]

para uma constante apropriada \(C.\) É natural procurarmos uma solução simétrica em relação à origem, já que a equação assim o é. Nesse caso, \(p'(0) = 0,\) o que nos dá

\[ C = 0. \]

Observe que, caso \(C > 0,\) então

\[ \frac{\sigma^2}{2}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}x}(x) = C - \nu x p(x) \geq C > 0, \]

para \(x < 0,\) visto que \(p \geq 0.\) Mas isso nos leva a uma contradição, pois teríamos \(p\rightarrow -\infty,\) quando \(x \rightarrow -\infty,\) contradizendo o fato de que \(p \geq 0.\) Da mesma forma, se \(C < 0,\) então

\[ \frac{\sigma^2}{2}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}x}(x) = C - \nu x p(x) \leq C < 0, \]

para \(x > 0.\) Novamente, \(p\rightarrow -\infty,\) quando \(x \rightarrow \infty,\) contradizendo o fato de que \(p\geq 0.\)

Portanto, a única solução possível deve satisfazer

\[ \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}x}(x) = - \frac{2 \nu x}{\sigma^2} p(x). \]

Essa equação é linear e também é separável. De qualquer forma, obtemos a solução

\[ p(x) = C_0 e^{-\frac{\nu x^2}{\sigma^2}}, \]

para alguma constante \(C_0.\)

Lembramos, agora, que \(p=p(x)\) deve ser uma função densidade de probabilidade, i.e.

\[ \int_{-\infty}^\infty p(x) \;\mathrm{d}x = 1. \]

Sob essas condições, devemos ter

\[ p(x) = \frac{\sqrt{\nu}}{\sqrt{\pi \sigma^2}} e^{- \nu x^2/\sigma^2}, \]

que é, de fato, a função densidade de probabilidade de uma distribuição \(\mathcal{N}\left(0, \frac{\sigma^2}{2\nu}\right).\)

Exercícios

1. Encontre a equação de Fokker-Plank para \(\nu\;\mathrm{d}X_t = - U'(x)\;\mathrm{d}t + \sigma\;\mathrm{d}W_t\) e mostre que \(e^{-2\nu U(x)/\sigma^2}\) é uma solução estacionária da equação (correspondendo a uma solução estacionária da equação diferencial estocástica com função densidade de probabilidade com constante de normalização \(\sqrt{2\pi \sigma^2}/2\nu\)).

2. Deduza a equação de Fokker-Plank para a densidade \(p=p(t, x, y)\) associada ao sistema

\[ \begin{cases} \mathrm{d}X_t = Y_t, \\ \mathrm{d}Y_t = - \nu Y_t \;\mathrm{d}t - U'(X_t) \;\mathrm{d}t + \sigma \;\mathrm{d}W_t \end{cases} \]

e mostre que \(e^{-(2\nu/\sigma^2)\left(y^2/2 + U(x)\right)}\) é uma solução estacionária da equação.

3. Dada uma densidade de distribuição \(q(x) = f(x)/Z\) onde \(f > 0\) é uma função integrável e \(Z = \int_{-\infty}^\infty f(x)\;\mathrm{d}x\) é uma constante de normalização, podemos escrever essa densidade na forma \(q(z) = e^{-U(x)}/Z,\) onde \(U(x) = - \ln f(x).\) Assim, vemos que \(q(x) = e^{-U(x)}/Z\) é uma solução estacionária da equação diferencial estocástica

\[ \mathrm{d}X_t = \nabla\ln f(x)\;\mathrm{d}t + \sqrt{2}\;\mathrm{d}W_t, \]

onde \(\nabla\ln f(x)\) é chamada de função score de Stein e que, nesse caso unidimensional, é simplesmente \(\nabla\ln f(x) = \mathrm{d}(\ln f(x))/\mathrm{d}x.\) Com isso em mente, simule numericamente essa equação de Fokker-Planck com condição inicial \(X_0 \sim \mathcal{N}(0, 1)\) até um instante \(t=T\) suficientemente grande, para gerar amostras aleatórias de uma mistura \((1 - \theta)\mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2) + \theta\mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\) de Gaussianas, com, por exemplo, \(\theta = 1/3\), \( \mu_1 = 3,\) \(\sigma = 1,\) \(\mu_2 = 7,\) \(\sigma_2 = 0.5.\) Faça um histograma normalizado das amostras obtidas para \(X_T,\) junto com a PDF da mistura.