9.3. Distribuição assintótica estacionária dos processos de Ornstein-Uhlenbeck

Considere um processo de Ornstein-Uhlenbeck

\[ \mathrm{d}X_t = - \nu X_t \;\mathrm{d}t + \sigma \;\mathrm{d}W_t, \]

com \(\nu, \sigma > 0.\) A sua solução é

\[ X_t = e^{-\nu t}X_0 + \sigma \int_0^t e^{-\nu(t - s)}\;\mathrm{d}s. \]

Vimos, também, que

\[ \mathbb{E}[X_t] = e^{-\nu t}\mathbb{E}[X_0] \rightarrow 0 \]

e

\[ \mathrm{Var}(X_t) \rightarrow e^{-2\nu t}\;\mathrm{Var}(X_0) + \frac{\sigma^2}{2\nu}\left(1 - e^{-2\nu t}\right) \rightarrow \frac{\sigma^2}{2\nu}, \]

quando \(t \rightarrow \infty.\) Como \(X_t\) é um processo Gaussiano, vemos que, no limite \(t\rightarrow \infty,\)

\[ X_t \rightarrow X_\infty \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{\sigma^2}{2\nu}\right). \]

Isso pode ser obtido, também, através da equação de Fokker-Planck. De acordo com essa equação, a função densidade de probabilidade \(p=p(x)\) de uma distribuição estacionária desse processo é dada por

\[ \nu \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x p(x)) + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\mathrm{d}^2 p}{\mathrm{d}x^2}(x) = 0. \]

Integrando,

\[ \nu x p(x) + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}x}(x) = C, \]

para uma constante apropriada \(C.\) É natural procurarmos uma solução simétrica em relação à origem, já que a equação assim o é. Nesse caso, \(p'(0) = 0,\) o que nos dá

\[ C = 0. \]

Observe que, caso \(C > 0,\) então

\[ \frac{\sigma^2}{2}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}x}(x) = C - \nu x p(x) \geq C > 0, \]

para \(x < 0,\) visto que \(p \geq 0.\) Mas isso nos leva a uma contradição, pois teríamos \(p\rightarrow -\infty,\) quando \(x \rightarrow -\infty,\) contradizendo o fato de que \(p \geq 0.\) Da mesma forma, se \(C < 0,\) então

\[ \frac{\sigma^2}{2}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}x}(x) = C - \nu x p(x) \leq C < 0, \]

para \(x > 0.\) Novamente, \(p\rightarrow -\infty,\) quando \(x \rightarrow \infty,\) contradizendo o fato de que \(p\geq 0.\)

Portanto, a única solução possível deve satisfazer

\[ \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}x}(x) = - \frac{2 \nu x}{\sigma^2} p(x). \]

Essa equação é linear e também é separável. De qualquer forma, obtemos a solução

\[ p(x) = C_0 e^{-\frac{\nu x^2}{\sigma^2}}, \]

para alguma constante \(C_0.\)

Lembramos, agora, que \(p=p(x)\) deve ser uma função densidade de probabilidade, i.e.

\[ \int_{-\infty}^\infty p(x) \;\mathrm{d}x = 1. \]

Sob essas condições, devemos ter

\[ p(x) = \frac{\sqrt{\nu}}{\sqrt{\pi \sigma^2}} e^{- \nu x^2/\sigma^2}, \]

que é, de fato, a função densidade de probabilidade de uma distribuição \(\mathcal{N}\left(0, \frac{\sigma^2}{2\nu}\right).\)