10.2. Simulações de processos de Wiener e browniano geométrico

Nas simulações numéricas de equações estocásticas, via método de Monte-Carlo (i.e. simulando vários caminhos amostrais), precisamos, em particular, simular processos de Wiener. O mesmo acontece em equações diferenciais aleatórias, quando os parâmetros são funções explícitas de um processo de Wiener.

A observação importante é que, a menos de erros de arredondamento para ponto flutuante e de erros na geração de números aleatórios (que na prática são pseudo aleatórios), um processo de Wiener $\{W_t\}_{t \geq 0}$ pode ser expresso de maneira exata, ao longo dos pontos de uma malha temporal.

O mesmo acontece ao utilizarmos um movimento browniano geométrico, uma ponte browniana ou qualquer outro processo para o qual conhecemos explicitamente a solução.

Simulando um processo de Wiener

Ao considerarmos uma malha $0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T,$ por exemplo, começamos com

que é exato, pois $W_0 = 0.$ No próximo ponto, temos

Considerando uma variável aleatória normal padrão $Z_{t_1} \sim \mathcal{N}(0, 1),$ podemos escrever

No ponto seguinte, temos, da mesma forma,

Considerando uma variável aleatória normal padrão $Z_{t_2} \sim \mathcal{N}(0, 1)$ independente de $Z_1,$ podemos escrever

E assim sucessivamente. Consideramos variáveis aleatórias $Z_{t_j}.$ $j = 1, \ldots, n,$ com $Z_{t_j}$ independente de $Z_{t_1}, \ldots, Z_{t_{j-1}},$ e obtemos

Essa é uma representação exata. As variáveis aleatórias $Z_{t_j}$ formam um processo discreto $\{Z_{t_j}\}_{j = 1}^n$ que é uma cadeia de Markov, por conta da independência do passado distante. Na verdade, ela independente até do instante imediatamente anterior.

Assim, ao definirmos tomarmos amostras $Z_{t_j}(\omega)$ dessas normais e definirmos a sequência

estamos, efetivamente, calculando uma discretização exata de um caminho amostral de um processo de Wiener. Da mesma forma que os pontos $\{\sin(j\pi/n)\}_{j=0, \ldots, n}$ formam uma discretização exata da função $\sin(x),$ no intervalo $[0, \pi].$

Os únicos erros possíveis são os erros de arredondamente em ponto flutuante, ao calcularmos $W_{t_{j-1}}^n(\omega) + \sqrt{t_j - t_{j-1}}Z_{t_j}$ e os erros na geração da sequência de números aleatórios $Z_{t_j}(\omega),$ visto que os números gerados são pseudo aleatórios e não são amostras de uma variável verdadeiramente normal.

De qualquer forma, ao analisarmos a convergência de métodos de aproximação de equações estocásticas e de equações aleatórias que envolvam um processo de Wiener, não precisamos considerar, em um primeiro momento, esses erros de arredontamento e de geração de números pseudo-aleatórios e podemos assumir que a sequência gerada $\{W_{t_j}^n(\omega)\}_{j = 0}^n$ é uma discretização exata do processo de Wiener usado na definição da equação em questão.

Mais ainda. Se tivermos uma sequência $\{W_{t_j}^n\}_{j = 0}^n$ e quisermos estender essa sequência a uma malha mais fina, podemos utilizar o procedimento feito na demonstração de existência de um processo de Wiener. Não precisamos refazer todo o processo. Basta introduzir novos pontos, de acordo com uma média ponderada entre as variáveis na malha mais grossa e acrescentar um múltiplo apropriado de uma normal padão associada ao ponto intermediário. As contas são facilitadas no caso de uma malha uniforme e de um refinamento dobrando o número de pontos, mas isso não é necessário. Qualquer refinamento pode ser considerado.

Simulando um movimento browniano geométrico

A solução $\{X_t\}_{t\geq 0}$ do movimento browniano geométrico, dado por

com uma condição inicial $X_t|_{t = 0} = X_0,$ é conhecida explicitamente, pela fórmula

Assim, uma vez de posse de uma amostra discreta exata $\{W_{t_j}^n\}_{j = 0}^n$ de um processo de Wiener em pontos de uma malha $0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T,$ podemos obter uma amostra discreta exata do movimento browniano através de

Mais precisamente, se $\{W_{t_j}(\omega)\}_j$ é uma amostra discreta de um determinado caminho amostral do processo de Wiener, então sorteando uma condição inicial $X_0(\omega),$ obtemos uma amostra discreta de um caminho amostral do movimento browniano geométrico, através de

Isso pode, também, ser feito recursivamente, na forma

onde