2.2. Variáveis aleatórias discretas

Uma variável aleatória discreta finita possui um conjunto finito $\{x_1, \ldots, x_J\}$ de valores possíveis, $K\in \mathbb{N},$ com probabilidades

$$\mathbb{P}(X = x_j) = p_j, \quad j = 1, \ldots, J.$$

O conjunto de probabilidades $\{p_j\}_j$ é chamada de função massa de probabilidade e, naturalmente, cada probabilidade deve ser não negativa e a soma (massa) total deve ser 1:

$$0 \leq p_j \leq 1, \qquad \sum_{j=1}^J p_j = 1.$$

A função distribuição acumulada é definida por

$$f(x) = \mathbb{P}(X \leq x) = \sum_{x_j \leq x} p_j, \qquad x\in \mathbb{R}.$$

e nos dá a probabilidade de termos uma realização menor ou igual a um dado valor $x.$

Vejamos alguns exemplos.

Variável aleatória uniforme

Quando o espaço de estados é finito, digamos $\Sigma = \{1, 2, \ldots, N\},$ onde $N\in \mathbb{N},$ uma variável aleatória uniforme em $\Sigma$ é a variável aleatória em que cada estado tem chances iguais de ser realizado. Ou seja, nesse caso de $N$ estados, temos

$$\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{N}, \quad \forall k = 1, 2, \ldots, N.$$

Nesse caso, podemos escrever

$$X \sim \textrm{Uniforme}(1, 2, \ldots, N),$$

onde $\textrm{Uniforme}(\Sigma) = \textrm{Uniforme}(\{1, 2, \ldots, N\})$ é a distribuição uniforme em $\Sigma = \{1, 2, \ldots, N\}.$

Teste de Bernoulli

Uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro $p,$ $0\leq p \leq 1,$ possui dois resultados possíveis, $0$ e $1,$ com probabilidades $p$ e $1-p,$ respectivamente. Ou seja, $J = 2,$ $x_1 = 0,$ $x_2 = 1,$ $p_1 = p$ e $p_2 = 1 - p.$ Pode ser exemplificado como o resultado do lançamento de uma moeda, com $1$ e $0$ representando "cara" e "coroa", respectivamente. O resultado de um exame de laboratório verificando a presença de um marcador para alguma doença pode ser "positivo" ou "negativo", podendo, também, ser modelado por uma variável de Bernoulli.

Denotamos a distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso $p$ (e.g. $\mathbb{P}(X = 1) = p$) por $\mathrm{Bernoulli}(p).$ Assim, uma variável aleatória de Bernouille é indicada por

$$X \sim \mathrm{Bernoulli}(p).$$

Número de sucessos e a distribuição binomial

Podemos, também, jogar uma moeda $n$ vezes e contarmos o número de vezes em que o resultado é "cara", por exemplo. A probabilidade de não termos nenhuma cara é $1/2^n,$ pois devemos ter exatamente $n$ coroas lançadas, sendo que cada uma tem probabilidade 1/2 de ocorrer. A probabilidade de termos exatamente uma cara é $n/2^n,$ pois a cara pode vir em qualquer um dos $n$ lançamentos. Mais geralmente, temos um número

$$\left(\begin{matrix} n \\ i \end{matrix}\right) = \frac{n!}{i!(n-i)!}$$

de combinações possíveis de exatamente $i$ resultados iguais (e.g. "caras"), em $n$ lançamentos. Assim, se $X$ é a variável aleatória contando o número de "caras" em $n$ lançamentos, então a probabilidade de termos $i$ caras é

$$\mathbb{P}(X = i) = \frac{1}{2^n} \left(\begin{matrix} n \\ i \end{matrix}\right), \quad 1 \leq i \leq n.$$

No caso de um dado viciado, ou, mais geralmente, de $n$ testes de Bernoulli com parâmetro $p,$ $0\leq p \leq 1,$ então a probabilidade de $i$ sucessos é

$$\mathbb{P}(X = i) = p^i(1-p)^{n-i} \left(\begin{matrix} n \\ i \end{matrix}\right), \quad 1 \leq i \leq n.$$

Denotamos essa distribuição binomial por $B(n, p).$ Assim,

$$X \sim B(n, p).$$

Tempo de espera e a distribuição geométrica

Baseado no teste de Bernoulli, podemos considerar a variável aleatória que nos dá as chances de termos sucesso após $n$ tentativas frustradas. Ou seja, em $n$ tentativas, temos insucesso nos primeiros $n-1$ testes e sucesso apenas no último teste. Se a chance de sucesso é $p$ e a de fracasso é $1-p,$ com $0 < p \leq 1,$ então temos probabilidade $(1-p)^{n-1}$ de insucessos nos $n$ primeiros testes e $p$ de sucesso no último teste, ou seja,

$$\mathbb{P}(X = n) = (1-p)^{n-1}p$$

Essa distribuição é chamada de distribuição geométrica. Note que

$$\sum_{n=1}^\infty (1-p)^{n-1}p = p + (1-p)p + (1-p)^2p + \ldots = p(1 + (1-p) + (1-p)^2 + \ldots) = p \frac{1}{p} = 1.$$

Observe que há uma questão de interpretação, aqui. A probabilidade $(1-p)^{n-1}p$ de termos sucesso apenas no $n$-ésimo é a mesma que a de termos apenas um sucesso em $n$ testes, independentemente de ser no último teste ou não.

Observe, ainda, que no caso da distribuição binomial discutida acima, fixamos o número $n$ de testes e analisamos a quantidade de sucessos nesses $n$ testes. Já na distribuição geométrica, podemos ter um número arbitrário de testes.

A distribuição geométrica é a única distribuição enumerável "sem memória". Ou seja, se $\mathbb{P}$ é uma probabilidade cujo espaço de eventos é $\Sigma = \mathbb{N}$ e é tal que

$$\mathbb{P}(X \geq m + n | X \geq m) = \mathbb{P}(X \geq n), \qquad \forall m, n \in \mathbb{N},$$

então $\mathbb{P}(X = n)$ é a distribuição geométrica

$$\mathbb{P}(X = n) = (1 - p)^{n-1}p,$$

onde

$$p = \mathbb{P}(X = 1).$$

A demonstração desse fato faz uso da fórmula para distribuição condicionada

$$\mathbb{P}(X > m + n | X > m) = \frac{\mathbb{P}(\{X > m + n\} \cap \{X > m\})}{\mathbb{P}(X > m)}.$$

Como $n \geq 1,$ temos $\{X > m + n\} \subset \{X > m\},$ de modo que

$$\mathbb{P}(X > n) = \mathbb{P}(X > m + n | X > m) = \frac{\mathbb{P}(X > m + n)}{\mathbb{P}(X > m)}.$$

Ou seja,

$$\mathbb{P}(X > m + n) = \mathbb{P}(X > n)\mathbb{P}(X > m).$$

Em particular, temos a recursão

$$\mathbb{P}(X > n + 1) = \mathbb{P}(X > n)\mathbb{P}(X > 1),$$

cuja solução é

$$\mathbb{P}(X > n) = \mathbb{P}(X > 1)^n.$$

Além disso, como $\Sigma = \mathbb{N}$ e definindo $p = \mathbb{P}(X = 1),$ temos

$$\mathbb{P}(X > 1) = 1 - \mathbb{P}(X = 1) = 1 - p.$$

Portanto,

$$\mathbb{P}(X > n) = (1 - p)^n.$$

Daí, tiramos que

$$\mathbb{P}(X = 1) = \mathbb{P}(X < 1) = 1 - \mathbb{P}(X \geq 2) = 1 - p$$

e, para $n = 2, \ldots,$

$$\mathbb{P}(X = n) = \mathbb{P}(X > n) - \mathbb{P}(X > n - 1) = (1 - p)^n - (1 - p)^{n - 1} = (1 - p)^{n - 1}(1 - p - 1) = (1 - p)^{n - 1}p.$$

Assim, obtemos a distribuição geométrica

$$\mathbb{P}(X = n) = (1 - p)^{n - 1}p, \qquad \forall n\in \mathbb{N}.$$