6.8. Fórmula de Itô

Uma outra propriedade fundamental da integral de Itô diz respeito a uma fórmula relacionada a mudanças de variáveis.

Considere um processo real \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) e uma função real contínua \(u:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.\) Podemos definir um outro processo \(\{Y_t\}_{t \geq 0}\) através de

\[ Y_t = u(X_t). \]

A questão é sobre a relação entre \(\mathrm{d}Y_t\) e \(\mathrm{d}X_t.\) Quando \(u\) e \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) são diferenciáveis, temos simplesmente

\[ \frac{\mathrm{d}Y_t}{\mathrm{d}t} = u'(X_t)\frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t}. \]

Mesmo quando os caminhos amostrais de \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) são apenas de variação limitada, ainda temos \(\{Y_t\}_{t \geq 0}\) de variação limitada e ainda temos que

\[ \mathrm{d}Y_t = u'(X_t)\mathrm{d}X_t, \]

no sentido de integral de Riemann-Stieltjes, i.e.

\[ \int_a^b g(t) \;\mathrm{d}Y_t = \int_a^b u'(X_t)\;\mathrm{d}X_t. \]

Mas e no caso em que \(X_t\) não é nem de variação limitada? Por exemplo, se quiseremos calcular \(X_t = \sin(W_t),\) para o processo de Wiener, ou qualquer outra \(X_t = u(W_t)\)? Podemos começar por aí e calcular \(dX_t\) para funções de processos de Wiener. Mas e se quiseremos, em cima disso, consider \(Y_t = v(X_t)\) e ainda \(Z_t = w(Y_t),\) etc.

Por conta disso, consideramos uma classe de processos que é, em um certo sentido, fechada para composições. E então calculamos a diferencial para processos nessa classe. Essa classe é a de processos de Itô, ou de difusão, ou seja, processos \(\{X_t\}_t\) satisfazendo uma equação da forma

\[ \mathrm{d}X_t = A_t \;\mathrm{d}t + B_t \;\mathrm{d}W_t, \]

para outros dados processos \(\{A_t\}_t\) e \(\{B_t\}_t\) adaptados a \(\{W_t\}_t.\)

Para esses processos, teremos uma correção na fórmula de mudança de variáveis, nos levando à fórmula de Itô, que, nesse caso autônomo, tem a forma:

\[ \mathrm{d}Y_t = u'(X_t) \;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} B_t^2 u''(X_t)\;\mathrm{d}t. \]

Essa mesma análise pode ser feita no caso em que \(u\) depende também da variável temporal, i.e. \(u:[0, \infty) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.\) Nesse caso, temos

\[ Y_t = u(t, X_t). \]

Denotamos o primeiro caso por autônomo e este por não autônomo. No caso não autônomo, a fórmula de Itô se torna

\[ \mathrm{d}Y_t = u_t(t, X_t)\;\mathrm{d}t + u_x(t, X_t)\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} u_{xx} B_t^2\;\mathrm{d}t. \]

Observe que, em ambos os casos, se \(B_t = 0,\) para todo \(t,\) então \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) se reduz a um processo com caminhos diferenciáveis (ou de variação limitada) e recuperamos a fórmula clássica.

Ideia do termo de correção

O motivo da correção é simples. A ideia fundamental é que \(\mathrm{d}W_t\) é de ordem \(\mathrm{d}t^{1/2}.\) Para obtermos uma expressão para \(\mathrm{d}Y_t\) que seja até ordem \(\mathrm{d}t,\) devemos manter o termo seguinte \(\mathrm{d}W_t^2 \sim \mathrm{d}t\) na expansão de Taylor, que no caso

\[ Y_t = u(W_t) \]

significa

\[ \mathrm{d}Y_t = u'(W_t)\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}u''(W_t)\;\mathrm{d}W_t^2 \sim u'(W_t)\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}u''(W_t)\;\mathrm{d}t. \]

No caso \(Y_t = u(X_t)\) para um processo de difusão, temos, formalmente,

\[ \begin{align*} \mathrm{d}Y_t & = u'(X_t)\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2}u''(X_t)\;\mathrm{d}X_t^2 \\ & = u'(X_t)\left(A_t \;\mathrm{d}t + B_t\;\mathrm{d}W_t\right) + \frac{1}{2}u''(X_t)\left(A_t \;\mathrm{d}t + B_t\;\mathrm{d}W_t\right)^2 \\ & = u'(X_t)A_t \;\mathrm{d}t + u'(X_t) B_t\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}u''(X_t)\left(A_t^2 \;\mathrm{d}t^2 + 2A_tB_t\;\mathrm{d}t\mathrm{d}W_t + B_t^2\;\mathrm{d}W_t^2\right) \\ & = u'(X_t)A_t \;\mathrm{d}t + u'(X_t) B_t\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}u''(X_t) B_t^2\;\mathrm{d}t. \end{align*} \]

Acima, usamos que \(\mathrm{d}t^2\) é de ordem quadrática e que \(\mathrm{d}t\mathrm{d}W_t\) é de ordem \(\mathrm{d}t^{3/2},\) portanto são de ordems superiores e desprezados na aproximação de ordem linear, enquanto que \(\mathrm{d}W_t^2 \sim \mathrm{d}t.\)

A mesma ideia funciona no caso não autônomo \(Y_t = u(t, X_t).\)

Mas essa ideia não constitui uma demonstração e ainda está muito vaga. Vamos tratar do detalhes, a seguir.

Fórmula de Itô no caso de um processo de Wiener

Para deixar as ideias claras, vamos considerar o caso mais simples em que \(X_t=W_t\) é o próprio processo de Wiener e \(u=u(x)\) é uma função duas vezes continuamente diferenciável definida para todo \(x\in\mathbb{R}.\) Estamos interessados em obter uma fórmula para \(\mathrm{d}Y_t,\) onde \(\{Y_t\}_{t\geq 0}\) é dado por

\[ Y_t = u(W_t). \]

Considere uma malha temporal \(0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T.\) Escrevemos

\[ Y_t = Y_0 + \sum_{j = 1}^n (Y_{t_j} - Y_{t_{j-1}}), \]

que é uma soma telescópica. Como \(u\) é duas vezes continuamente diferenciável, temos a fórmula de expansão de Taylor com resto

\[ \begin{align*} u(b) & = u(a) + \int_a^b u'(s) \;\mathrm{d}s \\ & = u(a) + \int_a^b \left(u'(a) + \int_a^s u''(\xi)\;\mathrm{d}\xi \right)\mathrm{d}s \\ & = u(a) + u'(a) (b - a) + \int_a^b \int_\xi^b u''(\xi);\mathrm{d}s \;\mathrm{d}\xi \\ & = u(a) + u'(a) (b - a) + \int_a^b u''(\xi)(b - \xi)\;\mathrm{d}\xi. \end{align*} \]

Assim, podemos escrever, fazendo \(a = W_{t_{j-1}}\) e \(b=W_{t_j}\) em cada termo,

\[ \begin{align*} Y_{t_j} - Y_{t_{j-1}} = u(W_{t_j}) - u(W_{t_{j-1}}) & = u'(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) + \int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} u''(\xi)(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi \\ & = u'(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \\ & \qquad + \frac{1}{2}u''(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \\ & \qquad + \int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} (u''(\xi) - u''(W_{t_{j-1}}))(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi. \end{align*} \]

Portanto,

\[ \begin{align*} Y_T - Y_0 & = \sum_{j=1}^n u'(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \\ & \qquad + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n u''(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \\ & \qquad + \sum_{j=1}^n \int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} (u''(\xi) - u''(W_{t_{j-1}}))(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi. \end{align*} \]

No limite de refinamento da malha, o primeiro termo converge para a integral de Itô de \(\{u'(W_t)\}_{t \geq 0},\) i.e.

\[ \sum_{j=1}^n u'(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \rightarrow \int_0^T u'(W_t)\;\mathrm{d}W_t. \]

No segundo termo, usamos que \(\mathbb{E}[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2] = (t_j - t_{j-1}).\) É possível mostrar que

\[ \frac{1}{2}\sum_{j=1}^n u''(W_{t_{j-1}}) (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow \frac{1}{2}\int_0^T u''(W_t) \;\mathrm{d}t, \]

em média quadrática.

O último termo converge para zero em média quadrática, graças à continuidade da segunda derivada de \(u = u(x),\)

\[ \sum_{j=1}^n \int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} (u''(\xi) - u''(W_{t_{j-1}}))(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi \rightarrow 0. \]

Logo,

\[ Y_T - Y_0 = \int_0^T u'(W_t)\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}\int_0^T u''(W_t) \;\mathrm{d}t. \]

Em forma diferencial, escrevemos que

\[ \mathrm{d}Y_t = u'(W_t)\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}u''(W_t)\;\mathrm{d}t, \]

que é um caso particular da fórmula de Itô mencionada acima. Veremos agora a fórmula de Itô para processos de Itô.

Vamos ver as convergências acima em mais detalhes.

Convergência do segundo termo

Nesse caso, não há nada de especial em ser a segunda derivada. Basta mostrar que

\[ \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow \frac{1}{2}\int_0^T H_t \;\mathrm{d}t, \]

para um processo qualquer \(\{H_t\}_t\) progessivamente mensurável e de quadrado integrável (como o é \(u''(W_t)\) quando \(u\) é suave e \(\{W_t\}_t\) é o processo de Wiener).

O primeiro passo é aproximar, no sentido de média quadrática, o processo \(\{H_t\}_t\) por processos escada \(\{H_t^m\}_t\) adaptados a \(\{W_t\}_t,\) conforme feito na parte de existência de integral de Itô. Cada \(H_t^m\) é constante em uma partição \(0 = a_0 < a_1 < \ldots < a_m = T.\) Em cada subintervalo \(A_k = [a_{k-1}, a_k),\) temos índices

\[ J_k = \{t_j \in A_k\} \]

da partição \(\{t_j\}_j\) usada no cálculo da integral. Assim, basta mostrar que

\[ \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow a_k - a_{k-1}. \]

Uma vez mostrado isso,

\[ \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}^m (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 = \sum_{k=1}^n H_{a_{k-1}} \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow \sum_{k=1}^n H_{a_{k-1}}^m (a_k - a_{k-1}) = \int_0^T H_t^m \;\mathrm{d}t. \]

Agora, passando ao limite em \(m\rightarrow \infty,\) obtemos

\[ \sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow \int_0^T H_t \;\mathrm{d}t. \]

Falta mostrar, então, que

\[ \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow a_k - a_{k-1}. \]

em média quadrática. Isso é feito diretamente. Defina \(\tau = a_k - a_{k-1}\) para facilitar a notação. Então

\[ \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 - \tau \right)^2 \right] = \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right)^2 \right] + 2\tau \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right) \right] + \tau^2 \]

Temos

\[ \begin{align*} \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right)^2 \right] & = \sum_{i, j} \mathbb{E}\left[(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})^2(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] \\ & = \sum_{i \neq j}\mathbb{E}\left[(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})^2\right] \mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] + \sum_j \mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^4\right] \\ & = \sum_{i \neq j}\mathbb{E}\left[(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})^2\right] \mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] + 3\sum_j \mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right]^2 \\ & = \sum_{i \neq j} (t_i - t_{i-1})(t_j - t_{j-1}) + 3\sum_j (t_j - t_{j-1})^2 \\ & = \sum_{i, j} (t_i - t_{i-1})(t_j - t_{j-1}) + 2\sum_j (t_j - t_{j-1})^2 \\ & = \left(\sum_i (t_i - t_{i-1})\right)\left(\sum_j (t_j - t_{j-1})\right) + 2\sum_j (t_j - t_{j-1})^2 \\ & = \tau^2 + 2\sum_j (t_j - t_{j-1})^2. \end{align*} \]

Também temos

\[ 2\tau \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right) \right] = 2\tau \sum_{j\in J_k}\mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \right] = 2\tau \sum_{j\in J_k} (t_j - t_{j-1}) = 2\tau^2. \]

Assim, os termos com \(\tau^2\) se cancelam e sobra

\[ \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 - \tau \right)^2 \right] = 2\sum_j (t_j - t_{j-1})^2 \leq 2\max_{j\in J_k}(t_j - t_{j-1})\sum_j(t_j - t_{j-1}) = 2\tau \max_{j\in J_k}(t_j - t_{j-1}) \rightarrow 0. \]

Isso completa a demonstração da convergência em média quadrática do segundo termo.

Convergência do terceiro termo

Por densidade, basta mostrar no caso em que \(u\) é três vezes continuamente diferenciável. Vamos assumir isso.

Quase todo caminho amostral de \(\{W_t\}_t\) é H\"older contínou com expoente \(\theta < 1/2\) e é limitado em \([0, T].\) Assim, fixado um caminho amostral, existe \(C>0\) tal que

\[ |W_{t+\tau}(\omega) - W_t(\omega)| \leq C\tau ^\theta \]

Em particular, como \(W_0 = 0,\)

\[ |W_{t}(\omega)| \leq CT^\theta, \]

para todo \(t\in [0, T].\) Além disso, assumindo \(u''\) continuamente diferenciável, dado \(\epsilon > 0,\) existe \(K > 0\) tal que

\[ w_1, w_2 \leq CT^\theta \Rightarrow |u(w_2) - u(w_1)| \leq K|w_2 - w_1|. \]

Assim,

\[ \left|\int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} (u''(\xi) - u''(W_{t_{j-1}}))(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi\right| \leq K |W_{t_j} - W_{t_{j-1}}|^3 \leq C^2K |t_j - t_{j-1}|^{3\theta}. \]

Escolhendo \(1/3 < \theta < 1/2,\) temos \(3\theta > 1,\) de modo que

\[ \sum_{j=1}^n \int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} (u''(\xi) - u''(W_{t_{j-1}}))(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi \leq C^2 K T \max_j |t_j - t_{j-1}|^{3\theta - 1} \rightarrow 0, \]

quando a malha é refinada. Ou seja, obtemos a convergência quase certamente, que implica na convergência em média quadrática.

Processo de Itô

Como dito acima, um processo de Itô é um processo \(\{X_t\}_{t \geq 0}\) satisfazendo uma equação estocástica da forma

\[ \mathrm{d}X_t = A_t \;\mathrm{d}t + B_t \;\mathrm{d}W_t, \]

onde \(\{W_t\}_{t \geq 0}\) é um processo de Wiener e \(\{A_t\}_{t \geq 0}\) e \(\{B_t\}_{t \geq 0}\) são não antecipativos em relação ao processo de Wiener.

Fórmula de Itô no caso autônomo

Considere, novamente, uma malha temporal \(0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T\) com \(\max_{j=1, \ldots, n}\{t_j - t_{j-1}\} \rightarrow 0.\) Escrevemos

\[ Y_t = Y_0 + \sum_{j = 1}^n (Y_{t_j} - Y_{t_{j-1}}). \]

Assumindo, agora, que \(u\) seja duas vezes continuamente diferenciável, podemos escrever

\[ \begin{align*} Y_{t_j} - Y_{t_{j-1}} = u(X_{t_j}) - u(X_{t_{j-1}}) & = u'(X_{t_{j-1}})(X_{t_j} - X_{t_{j-1}}) + \int_{X_{t_{j-1}}}^{X_{t_j}} u''(x)(X_{t_j} - x) \;\mathrm{d}x \\ & = u'(X_{t_{j-1}})(X_{t_j} - X_{t_{j-1}}) \\ & \qquad + \frac{1}{2}u''(X_{t_{j-1}})(X_{t_j} - X_{t_{j-1}})^2 \\ & \qquad + \int_{X_{t_{j-1}}}^{X_{t_j}} (u''(x) - u''(X_{t_{j-1}}))(X_{t_j} - x) \;\mathrm{d}x. \end{align*} \]

Assim,

\[ \begin{align*} Y_T - Y_0 & = \sum_{j=1}^n u'(X_{t_{j-1}})(X_{t_j} - X_{t_{j-1}}) \\ & \qquad + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n u''(X_{t_{j-1}})(X_{t_j} - X_{t_{j-1}})^2 \\ & \qquad + \sum_{j=1}^n \int_{X_{t_{j-1}}}^{X_{t_j}} (u''(x) - u''(X_{t_{j-1}}))(X_{t_j} - x) \;\mathrm{d}x. \end{align*} \]

No limite de refinamento da malha, o primeiro termo converge para a integral de Itô de \(\{u'(X_t)\}_{t \geq 0}\) com respeito \(\{X_t\}_{t \geq 0}.\) O último termo converge para zero, graças à continuidade da segunda derivada de \(u = u(x).\) Em relação ao segundo termo, temos

\[ \begin{align*} (X_{t_j} - X_{t_{j-1}})^2 & \approx \left(A_{t_{j-1}}(t_j - t_{j-1}) + B_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \right)^2 \\ & \approx A_{t_{j-1}}^2(t_j - t_{j-1})^2 + 2A_{t_{j-1}}B_{t_{j-1}}(t_j - t_{j-1})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) + B_{t_{j-1}}^2(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \end{align*} \]

Ao somarmos e tomarmos o limite, os dois primeiros termos se anulam, pois contém um \(\Delta t\) extra que converge para zero. Mais precisamente, no primeiro termo, vale, quase certamente,

\[ \left|\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n u''(X_{t_{j-1}}) A_{t_{j-1}}^2(t_j - t_{j-1})^2\right| \leq \frac{1}{2}\max |u''| \max_j|t_j - t_{j-1}| \sum_{j=1}^n A_{t_{j-1}}^2(t_j - t_{j-1}) \rightarrow 0 \times \int_0^T A_t^2 \;\mathrm{d}t = 0. \]

No segundo termo, em média quadrática, temos, como na isometria de Itô,

\[ \begin{align*} \mathbb{E}\left[\left|\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n u''(X_{t_{j-1}}) 2A_{t_{j-1}}B_{t_{j-1}}(t_j - t_{j-1})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right|^2 \right] & \leq \frac{1}{2}\max |u''| \max_j|t_j - t_{j-1}| \mathbb{E}\left[\left| 2A_{t_{j-1}}B_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right|^2 \right] \\ & \leq \frac{1}{2}\max |u''| \max_j|t_j - t_{j-1}| \mathbb{E}\left[\left| 4A_{t_{j-1}}^2B_{t_{j-1}}^2(t_j - t_{j-1})\right|^2 \right] \\ & \rightarrow 0 \times \int_0^T 4A_t^2 B_t^2 \;\mathrm{d}t = 0. \end{align*} \]

No último termo, usando que \(\mathbb{E}[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2] = (t_j - t_{j-1}),\) obtemos

\[ \frac{1}{2}\sum_{j=1}^n u''(X_{t_{j-1}}) B_{t_{j-1}}^2(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow \frac{1}{2}\int_0^T u''(X_t) B_t^2 \;\mathrm{d}t. \]

Informalmente, podemos escrever

\[ (\mathrm{d}X)^2 = A_t^2 \;(\mathrm{d}t)^2 + 2A_tB_t \;\mathrm{d}t\;\mathrm{d}W_t + B_t^2(\mathrm{d}W_t)^2 = B_t^2\;\mathrm{d}t, \]

com

\[ (\mathrm{d}t)^2 = 0, \quad \mathrm{d}t\;\mathrm{d}W_t = 0, \quad (\mathrm{d}W_t)^2 = \mathrm{d}t. \]

De qualquer forma, obtemos, no limite,

\[ Y_T = Y_0 + \int_0^T u'(X_t)\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2}\int_0^T u''(X_t) B_t \;\mathrm{d}t. \]

Ou seja, obtemos a fórmula de Itô no caso autônomo:

\[ \mathrm{d}Y_t = u'(X_t) \;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} B_t^2 u''(X_t)\;\mathrm{d}t. \]

Fórmula de Itô no caso não autônomo

Quando \(u = u(t, x)\) é duas vezes continuamente diferenciável e \(\{X_t\}_{t\geq 0}\) é um processo de Itô satisfazendo

\[ \mathrm{d}X_t = A_t \;\mathrm{d}t + B_t \;\mathrm{d}W_t, \]

então o processo \(\{Y_t\}_{t\geq 0}\) definido por \(Y_t = u(t, X_t)\) satisfaz a fórmula de Itô no caso não autônomo, a saber

\[ \mathrm{d}Y_t = u_t(t, X_t)\;\mathrm{d}t + u_x(t, X_t)\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} u_{xx}B_t^2\;\mathrm{d}t. \]

Para lembrar dessa fórmula, pense primeiramente em uma expansão de segunda ordem

\[ \mathrm{d}Y_t = u_t\;\mathrm{d}t + u_x\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} u_{tt}\;(\mathrm{d}t)^2 + u_{tx} \;\mathrm{d}t \;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} u_{xx}\;(\mathrm{d}X_t)^2. \]

Em seguida, eleva-se ao quadrado a equação para \(\{X_t\}_{t \geq 0}\):

\[ (\mathrm{d}X_t)^2 = \left(A_t \;\mathrm{d}t + B_t \;\mathrm{d}W_t\right)^2 = A_t^2\;(\mathrm{d}t)^2 + 2A_tB_t \;\mathrm{d}t\;\mathrm{d}W_t + B_t^2\;(\mathrm{d}W_t)^2. \]

Substituindo \((\mathrm{d}X_t)^2\) na expansão de segunda ordem de \(\mathrm{d}Y_t,\) obtemos

\[ \begin{align*} \mathrm{d}Y_t & = u_t\;\mathrm{d}t + u_x\;\mathrm{d}X_t \\ & \qquad + \frac{1}{2} u_{tt}\;(\mathrm{d}t)^2 \\ & \qquad + u_{tx} \;\mathrm{d}t \left(A_t \;\mathrm{d}t + B_t \;\mathrm{d}W_t\right) \\ & \qquad + \frac{1}{2} u_{xx}\left(A_t^2\;(\mathrm{d}t)^2 + 2A_tB_t \;\mathrm{d}t\;\mathrm{d}W_t + B_t^2\;(\mathrm{d}W_t)^2\right). \end{align*} \]

Usando que, sob uma integração simples,

\[ \begin{align*} (\mathrm{d}t)^2 & = 0, \\ \mathrm{d}t\;\mathrm{d}W_t & = 0, \\ (\mathrm{d}W_t)^2 & = \mathrm{d}t, \end{align*} \]

chega-se à fórmula de Itô

\[ \mathrm{d}Y_t = u_t\;\mathrm{d}t + u_x\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} u_{xx} B_t^2 \;\mathrm{d}t. \]

Exercícios

1. Mostre que

\[ \mathrm{d}(W_t^2) = 2W_t\;\mathrm{d}W_t + \;\mathrm{d}t. \]

2. Mostre que

\[ \mathrm{d}(tW_t) = W_t\;\mathrm{d}t + t\;\mathrm{d}W_t. \]

3. Mostre a "regra do produto" para o produto entre uma função determinística \(f=f(t)\) e um processo de Itô \(\{X_t\}_t\):

\[ \mathrm{d}(f(t)X_t) = f'(t)X_t\;\mathrm{d}t + f(t)\;\mathrm{d}X_t. \]