6.8. Fórmula de Itô

Uma outra propriedade fundamental da integral de Itô diz respeito a uma fórmula relacionada a mudanças de variáveis.

Considere um processo real $\{X_t\}_{t \geq 0}$ e uma função real contínua $u:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.$ Podemos definir um outro processo $\{Y_t\}_{t \geq 0}$ através de

$$Y_t = u(X_t).$$

A questão é sobre a relação entre $\mathrm{d}Y_t$ e $\mathrm{d}X_t.$ Quando $u$ e $\{X_t\}_{t \geq 0}$ são diferenciáveis, temos simplesmente

$$\frac{\mathrm{d}Y_t}{\mathrm{d}t} = u'(X_t)\frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t}.$$

Mesmo quando os caminhos amostrais de $\{X_t\}_{t \geq 0}$ são apenas de variação limitada, ainda temos $\{Y_t\}_{t \geq 0}$ de variação limitada e ainda temos que

$$\mathrm{d}Y_t = u'(X_t)\mathrm{d}X_t,$$

no sentido de integral de Riemann-Stieltjes, i.e.

$$\int_a^b g(t) \;\mathrm{d}Y_t = \int_a^b u'(X_t)\;\mathrm{d}X_t.$$

Mas e no caso em que $X_t$ não é nem de variação limitada? Por exemplo, se quiseremos calcular $X_t = \sin(W_t),$ para o processo de Wiener, ou qualquer outra $X_t = u(W_t)$? Podemos começar por aí e calcular $dX_t$ para funções de processos de Wiener. Mas e se quiseremos, em cima disso, consider $Y_t = v(X_t)$ e ainda $Z_t = w(Y_t),$ etc.

Por conta disso, consideramos uma classe de processos que é, em um certo sentido, fechada para composições. E então calculamos a diferencial para processos nessa classe. Essa classe é a de processos de Itô, ou de difusão, ou seja, processos $\{X_t\}_t$ satisfazendo uma equação da forma

$$\mathrm{d}X_t = A_t \;\mathrm{d}t + B_t \;\mathrm{d}W_t,$$

para outros dados processos $\{A_t\}_t$ e $\{B_t\}_t$ adaptados a $\{W_t\}_t.$

Para esses processos, teremos uma correção na fórmula de mudança de variáveis, nos levando à fórmula de Itô, que, nesse caso autônomo, tem a forma:

$$\mathrm{d}Y_t = u'(X_t) \;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} B_t^2 u''(X_t)\;\mathrm{d}t.$$

Essa mesma análise pode ser feita no caso em que $u$ depende também da variável temporal, i.e. $u:[0, \infty) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.$ Nesse caso, temos

$$Y_t = u(t, X_t).$$

Denotamos o primeiro caso por autônomo e este por não autônomo. No caso não autônomo, a fórmula de Itô se torna

$$\mathrm{d}Y_t = u_t(t, X_t)\;\mathrm{d}t + u_x(t, X_t)\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} u_{xx} B_t^2\;\mathrm{d}t.$$

Observe que, em ambos os casos, se $B_t = 0,$ para todo $t,$ então $\{X_t\}_{t \geq 0}$ se reduz a um processo com caminhos diferenciáveis (ou de variação limitada) e recuperamos a fórmula clássica.

Ideia do termo de correção

O motivo da correção é simples. A ideia fundamental é que $\mathrm{d}W_t$ é de ordem $\mathrm{d}t^{1/2}.$ Para obtermos uma expressão para $\mathrm{d}Y_t$ que seja até ordem $\mathrm{d}t,$ devemos manter o termo seguinte $\mathrm{d}W_t^2 \sim \mathrm{d}t$ na expansão de Taylor, que no caso

$$Y_t = u(W_t)$$

significa

$$\mathrm{d}Y_t = u'(W_t)\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}u''(W_t)\;\mathrm{d}W_t^2 \sim u'(W_t)\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}u''(W_t)\;\mathrm{d}t.$$

No caso $Y_t = u(X_t)$ para um processo de difusão, temos, formalmente,

$$\begin{align*} \mathrm{d}Y_t & = u'(X_t)\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2}u''(X_t)\;\mathrm{d}X_t^2 \\ & = u'(X_t)\left(A_t \;\mathrm{d}t + B_t\;\mathrm{d}W_t\right) + \frac{1}{2}u''(X_t)\left(A_t \;\mathrm{d}t + B_t\;\mathrm{d}W_t\right)^2 \\ & = u'(X_t)A_t \;\mathrm{d}t + u'(X_t) B_t\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}u''(X_t)\left(A_t^2 \;\mathrm{d}t^2 + 2A_tB_t\;\mathrm{d}t\mathrm{d}W_t + B_t^2\;\mathrm{d}W_t^2\right) \\ & = u'(X_t)A_t \;\mathrm{d}t + u'(X_t) B_t\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}u''(X_t) B_t^2\;\mathrm{d}t. \end{align*}$$

Acima, usamos que $\mathrm{d}t^2$ é de ordem quadrática e que $\mathrm{d}t\mathrm{d}W_t$ é de ordem $\mathrm{d}t^{3/2},$ portanto são de ordems superiores e desprezados na aproximação de ordem linear, enquanto que $\mathrm{d}W_t^2 \sim \mathrm{d}t.$

A mesma ideia funciona no caso não autônomo $Y_t = u(t, X_t).$

Mas essa ideia não constitui uma demonstração e ainda está muito vaga. Vamos tratar do detalhes, a seguir.

Fórmula de Itô no caso de um processo de Wiener

Para deixar as ideias claras, vamos considerar o caso mais simples em que $X_t=W_t$ é o próprio processo de Wiener e $u=u(x)$ é uma função duas vezes continuamente diferenciável definida para todo $x\in\mathbb{R}.$ Estamos interessados em obter uma fórmula para $\mathrm{d}Y_t,$ onde $\{Y_t\}_{t\geq 0}$ é dado por

$$Y_t = u(W_t).$$

Considere uma malha temporal $0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T.$ Escrevemos

$$Y_t = Y_0 + \sum_{j = 1}^n (Y_{t_j} - Y_{t_{j-1}}),$$

que é uma soma telescópica. Como $u$ é duas vezes continuamente diferenciável, temos a fórmula de expansão de Taylor com resto

$$\begin{align*} u(b) & = u(a) + \int_a^b u'(s) \;\mathrm{d}s \\ & = u(a) + \int_a^b \left(u'(a) + \int_a^s u''(\xi)\;\mathrm{d}\xi \right)\mathrm{d}s \\ & = u(a) + u'(a) (b - a) + \int_a^b \int_\xi^b u''(\xi);\mathrm{d}s \;\mathrm{d}\xi \\ & = u(a) + u'(a) (b - a) + \int_a^b u''(\xi)(b - \xi)\;\mathrm{d}\xi. \end{align*}$$

Assim, podemos escrever, fazendo $a = W_{t_{j-1}}$ e $b=W_{t_j}$ em cada termo,

$$\begin{align*} Y_{t_j} - Y_{t_{j-1}} = u(W_{t_j}) - u(W_{t_{j-1}}) & = u'(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) + \int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} u''(\xi)(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi \\ & = u'(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \\ & \qquad + \frac{1}{2}u''(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \\ & \qquad + \int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} (u''(\xi) - u''(W_{t_{j-1}}))(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi. \end{align*}$$

Portanto,

$$\begin{align*} Y_T - Y_0 & = \sum_{j=1}^n u'(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \\ & \qquad + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n u''(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \\ & \qquad + \sum_{j=1}^n \int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} (u''(\xi) - u''(W_{t_{j-1}}))(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi. \end{align*}$$

No limite de refinamento da malha, o primeiro termo converge para a integral de Itô de $\{u'(W_t)\}_{t \geq 0},$ i.e.

$$\sum_{j=1}^n u'(W_{t_{j-1}})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \rightarrow \int_0^T u'(W_t)\;\mathrm{d}W_t.$$

No segundo termo, usamos que $\mathbb{E}[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2] = (t_j - t_{j-1}).$ É possível mostrar que

$$\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n u''(W_{t_{j-1}}) (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow \frac{1}{2}\int_0^T u''(W_t) \;\mathrm{d}t,$$

em média quadrática.

O último termo converge para zero em média quadrática, graças à continuidade da segunda derivada de $u = u(x),$

$$\sum_{j=1}^n \int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} (u''(\xi) - u''(W_{t_{j-1}}))(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi \rightarrow 0.$$

Logo,

$$Y_T - Y_0 = \int_0^T u'(W_t)\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}\int_0^T u''(W_t) \;\mathrm{d}t.$$

Em forma diferencial, escrevemos que

$$\mathrm{d}Y_t = u'(W_t)\;\mathrm{d}W_t + \frac{1}{2}u''(W_t)\;\mathrm{d}t,$$

que é um caso particular da fórmula de Itô mencionada acima. Veremos agora a fórmula de Itô para processos de Itô.

Vamos ver as convergências acima em mais detalhes.

Convergência do segundo termo

Nesse caso, não há nada de especial em ser a segunda derivada. Basta mostrar que

$$\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow \frac{1}{2}\int_0^T H_t \;\mathrm{d}t,$$

para um processo qualquer $\{H_t\}_t$ progessivamente mensurável e de quadrado integrável (como o é $u''(W_t)$ quando $u$ é suave e $\{W_t\}_t$ é o processo de Wiener).

O primeiro passo é aproximar, no sentido de média quadrática, o processo $\{H_t\}_t$ por processos escada $\{H_t^m\}_t$ adaptados a $\{W_t\}_t,$ conforme feito na parte de existência de integral de Itô. Cada $H_t^m$ é constante em uma partição $0 = a_0 < a_1 < \ldots < a_m = T.$ Em cada subintervalo $A_k = [a_{k-1}, a_k),$ temos índices

$$J_k = \{t_j \in A_k\}$$

da partição $\{t_j\}_j$ usada no cálculo da integral. Assim, basta mostrar que

$$\sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow a_k - a_{k-1}.$$

Uma vez mostrado isso,

$$\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}}^m (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 = \sum_{k=1}^n H_{a_{k-1}} \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow \sum_{k=1}^n H_{a_{k-1}}^m (a_k - a_{k-1}) = \int_0^T H_t^m \;\mathrm{d}t.$$

Agora, passando ao limite em $m\rightarrow \infty,$ obtemos

$$\sum_{j=1}^n H_{t_{j-1}} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow \int_0^T H_t \;\mathrm{d}t.$$

Falta mostrar, então, que

$$\sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow a_k - a_{k-1}.$$

em média quadrática. Isso é feito diretamente. Defina $\tau = a_k - a_{k-1}$ para facilitar a notação. Então

$$\mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 - \tau \right)^2 \right] = \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right)^2 \right] + 2\tau \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right) \right] + \tau^2$$

Temos

$$\begin{align*} \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right)^2 \right] & = \sum_{i, j} \mathbb{E}\left[(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})^2(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] \\ & = \sum_{i \neq j}\mathbb{E}\left[(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})^2\right] \mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] + \sum_j \mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^4\right] \\ & = \sum_{i \neq j}\mathbb{E}\left[(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})^2\right] \mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right] + 3\sum_j \mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2\right]^2 \\ & = \sum_{i \neq j} (t_i - t_{i-1})(t_j - t_{j-1}) + 3\sum_j (t_j - t_{j-1})^2 \\ & = \sum_{i, j} (t_i - t_{i-1})(t_j - t_{j-1}) + 2\sum_j (t_j - t_{j-1})^2 \\ & = \left(\sum_i (t_i - t_{i-1})\right)\left(\sum_j (t_j - t_{j-1})\right) + 2\sum_j (t_j - t_{j-1})^2 \\ & = \tau^2 + 2\sum_j (t_j - t_{j-1})^2. \end{align*}$$

Também temos

$$2\tau \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right) \right] = 2\tau \sum_{j\in J_k}\mathbb{E}\left[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \right] = 2\tau \sum_{j\in J_k} (t_j - t_{j-1}) = 2\tau^2.$$

Assim, os termos com $\tau^2$ se cancelam e sobra

$$\mathbb{E}\left[ \left( \sum_{j\in J_k} (W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 - \tau \right)^2 \right] = 2\sum_j (t_j - t_{j-1})^2 \leq 2\max_{j\in J_k}(t_j - t_{j-1})\sum_j(t_j - t_{j-1}) = 2\tau \max_{j\in J_k}(t_j - t_{j-1}) \rightarrow 0.$$

Isso completa a demonstração da convergência em média quadrática do segundo termo.

Convergência do terceiro termo

Por densidade, basta mostrar no caso em que $u$ é três vezes continuamente diferenciável. Vamos assumir isso.

Quase todo caminho amostral de $\{W_t\}_t$ é H\"older contínou com expoente $\theta < 1/2$ e é limitado em $[0, T].$ Assim, fixado um caminho amostral, existe $C>0$ tal que

$$|W_{t+\tau}(\omega) - W_t(\omega)| \leq C\tau ^\theta$$

Em particular, como $W_0 = 0,$

$$|W_{t}(\omega)| \leq CT^\theta,$$

para todo $t\in [0, T].$ Além disso, assumindo $u''$ continuamente diferenciável, dado $\epsilon > 0,$ existe $K > 0$ tal que

$$w_1, w_2 \leq CT^\theta \Rightarrow |u(w_2) - u(w_1)| \leq K|w_2 - w_1|.$$

Assim,

$$\left|\int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} (u''(\xi) - u''(W_{t_{j-1}}))(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi\right| \leq K |W_{t_j} - W_{t_{j-1}}|^3 \leq C^2K |t_j - t_{j-1}|^{3\theta}.$$

Escolhendo $1/3 < \theta < 1/2,$ temos $3\theta > 1,$ de modo que

$$\sum_{j=1}^n \int_{W_{t_{j-1}}}^{W_{t_j}} (u''(\xi) - u''(W_{t_{j-1}}))(W_{t_j} - \xi) \;\mathrm{d}\xi \leq C^2 K T \max_j |t_j - t_{j-1}|^{3\theta - 1} \rightarrow 0,$$

quando a malha é refinada. Ou seja, obtemos a convergência quase certamente, que implica na convergência em média quadrática.

Processo de Itô

Como dito acima, um processo de Itô é um processo $\{X_t\}_{t \geq 0}$ satisfazendo uma equação estocástica da forma

$$\mathrm{d}X_t = A_t \;\mathrm{d}t + B_t \;\mathrm{d}W_t,$$

onde $\{W_t\}_{t \geq 0}$ é um processo de Wiener e $\{A_t\}_{t \geq 0}$ e $\{B_t\}_{t \geq 0}$ são não antecipativos em relação ao processo de Wiener.

Fórmula de Itô no caso autônomo

Considere, novamente, uma malha temporal $0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T$ com $\max_{j=1, \ldots, n}\{t_j - t_{j-1}\} \rightarrow 0.$ Escrevemos

$$Y_t = Y_0 + \sum_{j = 1}^n (Y_{t_j} - Y_{t_{j-1}}).$$

Assumindo, agora, que $u$ seja duas vezes continuamente diferenciável, podemos escrever

$$\begin{align*} Y_{t_j} - Y_{t_{j-1}} = u(X_{t_j}) - u(X_{t_{j-1}}) & = u'(X_{t_{j-1}})(X_{t_j} - X_{t_{j-1}}) + \int_{X_{t_{j-1}}}^{X_{t_j}} u''(x)(X_{t_j} - x) \;\mathrm{d}x \\ & = u'(X_{t_{j-1}})(X_{t_j} - X_{t_{j-1}}) \\ & \qquad + \frac{1}{2}u''(X_{t_{j-1}})(X_{t_j} - X_{t_{j-1}})^2 \\ & \qquad + \int_{X_{t_{j-1}}}^{X_{t_j}} (u''(x) - u''(X_{t_{j-1}}))(X_{t_j} - x) \;\mathrm{d}x. \end{align*}$$

Assim,

$$\begin{align*} Y_T - Y_0 & = \sum_{j=1}^n u'(X_{t_{j-1}})(X_{t_j} - X_{t_{j-1}}) \\ & \qquad + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n u''(X_{t_{j-1}})(X_{t_j} - X_{t_{j-1}})^2 \\ & \qquad + \sum_{j=1}^n \int_{X_{t_{j-1}}}^{X_{t_j}} (u''(x) - u''(X_{t_{j-1}}))(X_{t_j} - x) \;\mathrm{d}x. \end{align*}$$

No limite de refinamento da malha, o primeiro termo converge para a integral de Itô de $\{u'(X_t)\}_{t \geq 0}$ com respeito $\{X_t\}_{t \geq 0}.$ O último termo converge para zero, graças à continuidade da segunda derivada de $u = u(x).$ Em relação ao segundo termo, temos

$$\begin{align*} (X_{t_j} - X_{t_{j-1}})^2 & \approx \left(A_{t_{j-1}}(t_j - t_{j-1}) + B_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) \right)^2 \\ & \approx A_{t_{j-1}}^2(t_j - t_{j-1})^2 + 2A_{t_{j-1}}B_{t_{j-1}}(t_j - t_{j-1})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}}) + B_{t_{j-1}}^2(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \end{align*}$$

Ao somarmos e tomarmos o limite, os dois primeiros termos se anulam, pois contém um $\Delta t$ extra que converge para zero. Mais precisamente, no primeiro termo, vale, quase certamente,

$$\left|\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n u''(X_{t_{j-1}}) A_{t_{j-1}}^2(t_j - t_{j-1})^2\right| \leq \frac{1}{2}\max |u''| \max_j|t_j - t_{j-1}| \sum_{j=1}^n A_{t_{j-1}}^2(t_j - t_{j-1}) \rightarrow 0 \times \int_0^T A_t^2 \;\mathrm{d}t = 0.$$

No segundo termo, em média quadrática, temos, como na isometria de Itô,

$$\begin{align*} \mathbb{E}\left[\left|\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n u''(X_{t_{j-1}}) 2A_{t_{j-1}}B_{t_{j-1}}(t_j - t_{j-1})(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right|^2 \right] & \leq \frac{1}{2}\max |u''| \max_j|t_j - t_{j-1}| \mathbb{E}\left[\left| 2\sum_{j=1}^n A_{t_{j-1}}B_{t_{j-1}}(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})\right|^2 \right] \\ & \rightarrow 2\max |u''| \times 0 \times \int_0^T \mathbb{E}[A_t^2 B_t^2] \;\mathrm{d}t = 0. \end{align*}$$

No último termo, usando que $\mathbb{E}[(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2] = (t_j - t_{j-1}),$ obtemos

$$\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n u''(X_{t_{j-1}}) B_{t_{j-1}}^2(W_{t_j} - W_{t_{j-1}})^2 \rightarrow \frac{1}{2}\int_0^T u''(X_t) B_t^2 \;\mathrm{d}t.$$

Informalmente, podemos escrever

$$(\mathrm{d}X)^2 = A_t^2 \;(\mathrm{d}t)^2 + 2A_tB_t \;\mathrm{d}t\;\mathrm{d}W_t + B_t^2(\mathrm{d}W_t)^2 = B_t^2\;\mathrm{d}t,$$

com

$$(\mathrm{d}t)^2 = 0, \quad \mathrm{d}t\;\mathrm{d}W_t = 0, \quad (\mathrm{d}W_t)^2 = \mathrm{d}t.$$

De qualquer forma, obtemos, no limite,

$$Y_T = Y_0 + \int_0^T u'(X_t)\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2}\int_0^T u''(X_t) B_t \;\mathrm{d}t.$$

Ou seja, obtemos a fórmula de Itô no caso autônomo:

$$\mathrm{d}Y_t = u'(X_t) \;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} B_t^2 u''(X_t)\;\mathrm{d}t.$$

Fórmula de Itô no caso não autônomo

Quando $u = u(t, x)$ é duas vezes continuamente diferenciável e $\{X_t\}_{t\geq 0}$ é um processo de Itô satisfazendo

$$\mathrm{d}X_t = A_t \;\mathrm{d}t + B_t \;\mathrm{d}W_t,$$

então o processo $\{Y_t\}_{t\geq 0}$ definido por $Y_t = u(t, X_t)$ satisfaz a fórmula de Itô no caso não autônomo, a saber

$$\mathrm{d}Y_t = u_t(t, X_t)\;\mathrm{d}t + u_x(t, X_t)\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} u_{xx}B_t^2\;\mathrm{d}t.$$

Para lembrar dessa fórmula, pense primeiramente em uma expansão de segunda ordem

$$\mathrm{d}Y_t = u_t\;\mathrm{d}t + u_x\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} u_{tt}\;(\mathrm{d}t)^2 + u_{tx} \;\mathrm{d}t \;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} u_{xx}\;(\mathrm{d}X_t)^2.$$

Em seguida, eleva-se ao quadrado a equação para $\{X_t\}_{t \geq 0}$:

$$(\mathrm{d}X_t)^2 = \left(A_t \;\mathrm{d}t + B_t \;\mathrm{d}W_t\right)^2 = A_t^2\;(\mathrm{d}t)^2 + 2A_tB_t \;\mathrm{d}t\;\mathrm{d}W_t + B_t^2\;(\mathrm{d}W_t)^2.$$

Substituindo $(\mathrm{d}X_t)^2$ na expansão de segunda ordem de $\mathrm{d}Y_t,$ obtemos

$$\begin{align*} \mathrm{d}Y_t & = u_t\;\mathrm{d}t + u_x\;\mathrm{d}X_t \\ & \qquad + \frac{1}{2} u_{tt}\;(\mathrm{d}t)^2 \\ & \qquad + u_{tx} \;\mathrm{d}t \left(A_t \;\mathrm{d}t + B_t \;\mathrm{d}W_t\right) \\ & \qquad + \frac{1}{2} u_{xx}\left(A_t^2\;(\mathrm{d}t)^2 + 2A_tB_t \;\mathrm{d}t\;\mathrm{d}W_t + B_t^2\;(\mathrm{d}W_t)^2\right). \end{align*}$$

Usando que, sob uma integração simples,

$$\begin{align*} (\mathrm{d}t)^2 & = 0, \\ \mathrm{d}t\;\mathrm{d}W_t & = 0, \\ (\mathrm{d}W_t)^2 & = \mathrm{d}t, \end{align*}$$

chega-se à fórmula de Itô

$$\mathrm{d}Y_t = u_t\;\mathrm{d}t + u_x\;\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} u_{xx} B_t^2 \;\mathrm{d}t.$$

Exercícios

1. Mostre que

$$\mathrm{d}(W_t^2) = 2W_t\;\mathrm{d}W_t + \;\mathrm{d}t.$$

2. Mostre que

$$\mathrm{d}(tW_t) = W_t\;\mathrm{d}t + t\;\mathrm{d}W_t.$$

3. Mostre a "regra do produto" para o produto entre uma função determinística $f=f(t)$ e um processo de Itô $\{X_t\}_t$:

$$\mathrm{d}(f(t)X_t) = f'(t)X_t\;\mathrm{d}t + f(t)\;\mathrm{d}X_t.$$

4. Considere dois processos de Wiener independentes $\{W_t^1\}_{t\geq 0}$ e $\{W_t^2\}_{t\geq 0}$ e considere uma função suave $g=g(x_1, x_2),$ de $\mathbb{R}^2$ em $\mathbb{R}.$ Obtenha a fórmula de Itô para o processo $X_t = g(W_t^1, W_t^2),$ ou seja, mostre que

$$\mathrm{d}X_t = A_t\;\mathrm{d}W_t^1 + B_t\;\mathrm{d}W_t^1 + C_t\;\mathrm{d}t$$

para processos apropriados $\{A_t\}_{t\geq 0},$ $\{B_t\}_{t\geq 0}$ e $\{C_t\}_{t\geq 0}.$

5. (Regra de Itô para o produto) Considere dois processos de Itô $\{X_t\}_{t\geq 0}$ e $\{Y_t\}_{t\geq 0}$ satisfazendo

$$\mathrm{d}X_t = A_t \;\mathrm{d}t + B_t\;\mathrm{d}W_t \quad \textrm{e} \quad \mathrm{d}Y_t = C_t \;\mathrm{d}t + D_t\;\mathrm{d}W_t,$$

respectivamente, em relação a um mesmo processo de Wiener $\{W_t\}_{t\geq 0}.$ Argumente que

$$\mathrm{d}(X_tY_t) = Y_t\;\mathrm{d}X_t + X_t\;\mathrm{d}Y_t + B_t D_t\;\mathrm{d}t.$$