8.10. O processo de Ornstein-Uhlenbeck como aproximação de um ruído branco

O "ruído branco", como modelado pela "derivada" de um processo de Wiener, em um sentido apropriado de distribuições, é um processo comumente encontrado em diversos modelos. Em várias situações, no entanto, o ruído é "colorido", com algum decaimento característico do espectro de amplitudes.

Aqui, exploramos o processo de Ornstein-Uhlenbeck (OU) como aproximação de um ruído branco. Isso é obtido controlando-se uma escala temporal τ.\tau. Mais precisamente, consideramos um processo {Ot}t\{O_t\}_t satisfazendo a equação diferencial estocástica

τdOt=−Otdt+ςdWt, \tau \mathrm{d}O_t = - O_t\mathrm{d}t + \varsigma \mathrm{d}W_t,

onde {Wt}t.\{W_t\}_t. Isso nos dá um processo de Ornstein-Uhlenbeck com termo de deriva ν=1/τ\nu = 1/\tau e difusão σ=ς/τ.\sigma = \varsigma/\tau. Esse processo tem média e covariância dadas por

E[Ot]=E[O0]e−t/τ,Cov(Ot,Ot+s)=e−(2t+s)/τVar(O0)+ς22τe−s/τ(1−e−2νt) \mathbb{E}[O_t] = \mathbb{E}[O_0] e^{-t/\tau}, \quad \mathrm{Cov}(O_{t}, O_{t+s}) = e^{-(2t + s)/\tau}\mathrm{Var}(O_0) + \frac{\varsigma^2}{2\tau}e^{- s/\tau}\left( 1 - e^{-2\nu t}\right)

Assintoticamente em t→∞,t\rightarrow \infty, temos

E[Ot]→0Cov(Ot,Ot+s)→ς22τe−s/τ. \mathbb{E}[O_t] \rightarrow 0 \quad \mathrm{Cov}(O_{t}, O_{t+s}) \rightarrow \frac{\varsigma^2}{2\tau}e^{- s/\tau}.

Pensando como uma família de processo Ot=Otτ,ς,O_t = O_t^{\tau, \varsigma}, temos, no limite em que

τ→0,comς→1, \tau \rightarrow 0, \quad \textrm{com} \quad \varsigma \rightarrow 1,

que esses processos se aproximam de um ruído branco, que é uma distribuição delta de Dirac, com espectro constante (veja Seção 5.4. Relação com ruído branco). Em termos dos parâmetros usuais de deriva e de difusão do processo de Ornstein-Uhlenbeck, as condições acima são equivalentes a

ν→∞,σ→∞,σν→1, \nu \rightarrow \infty, \quad \sigma \rightarrow \infty, \quad \frac{\sigma}{\nu} \rightarrow 1,

Para vermos que, de fato, esses processos de OUOU se aproximam de um ruído branco, podemos considerar a função de correlação

g(s)=Cov(Ot+s,Ot)=ς22τe−∣s∣τ, g(s) = \mathrm{Cov}(O_{t+s},O_t) = \frac{\varsigma^2}{2\tau} e^{-\frac{\displaystyle |s|}{\displaystyle \tau}},

e mostrar que, para uma função teste φ\varphi suave e de suporte compacto na reta,

∫−∞∞g(s)φ(s) ds=ς22τ∫−∞∞g(s)e−∣s∣τ ds→g(0), \int_{-\infty}^\infty g(s)\varphi(s)\;\mathrm{d}s = \frac{\varsigma^2}{2\tau} \int_{-\infty}^\infty g(s) e^{-\frac{\displaystyle |s|}{\displaystyle \tau}} \;\mathrm{d}s \rightarrow g(0),

visto que a função

g(s)ς2=12τe−∣s∣τ \frac{g(s)}{\varsigma^2} = \frac{1}{2\tau}e^{-\frac{\displaystyle |s|}{\displaystyle \tau}}

é uma aproximação da distribuição delta de Dirac (verifique isso provando que ∫−∞∞g(s)/ς2 ds=1\int_{-\infty}^\infty g(s)/\varsigma^2 \;\mathrm{d}s = 1, independentemente de τ,ς>0\tau, \varsigma > 0, e, em seguida, provando o limite acima!).

Ilustramos alguns caminhos amostrais variando os parâmetros.

E os espectros correspondentes dos caminhos amostrais. (Para uma análise mais apropriadada do espectro, deveríamos, na verdade, considerar vários caminhos amostrais.)

Cor do processo de Ornstein-Uhlenbeck

Considerando a correlação (assintótica)

Cov(Ot,Ot+s)→f(s)=σ22νe−ν∣s∣, \mathrm{Cov}(O_{t}, O_{t+s}) \rightarrow f(s) = \frac{\sigma^2}{2\nu}e^{-\nu |s|},

vemos que

f^(ω)=12π∫−∞∞f(s)e−iωs ds=σ22ν12π∫−∞∞e−ν∣s∣e−iωs ds=σ22ν12π(1ν−iω−1ν+iω)=σ22ν1πνν2+ω2. \hat f(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(s) e^{-i\omega s} \;\mathrm{d}s = \frac{\sigma^2}{2\nu}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-\nu |s|} e^{-i\omega s} \;\mathrm{d}s = \frac{\sigma^2}{2\nu}\frac{1}{2\pi}\left( \frac{1}{\nu - i\omega} - \frac{1}{\nu + i\omega}\right) = \frac{\sigma^2}{2\nu}\frac{1}{\pi}\frac{\nu}{\nu^2 + \omega^2}.

Portanto,

f^(ω)∼1ω2,ω→±∞. \hat f(\omega) \sim \frac{1}{\omega^2}, \quad \omega \rightarrow \pm \infty.
(CC BY-NC-ND 4.0) Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International Ricardo M. S. Rosa
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