8.10. O processo de Ornstein-Uhlenbeck como aproximação de um ruído branco

O "ruído branco", como modelado pela "derivada" de um processo de Wiener, em um sentido apropriado de distribuições, é um processo comumente encontrado em diversos modelos. Em várias situações, no entanto, o ruído é "colorido", com algum decaimento característico do espectro de amplitudes.

Aqui, exploramos o processo de Ornstein-Uhlenbeck (OU) como aproximação de um ruído branco. Isso é obtido controlando-se uma escala temporal \(\tau.\) Mais precisamente, consideramos um processo \(\{O_t\}_t\) satisfazendo a equação diferencial estocástica

\[ \tau \mathrm{d}O_t = - \mathrm{d}t + \varsigma \mathrm{d}W_t, \]

onde \(\{W_t\}_t.\) Isso nos dá um processo de Ornstein-Uhlenbeck com termo de deriva \(\nu = 1/\tau\) e difusão \(\sigma = \varsigma/\tau.\) Esse processo tem média e covariância dadas por

\[ \mathbb{E}[O_t] = \mathbb{E}[O_0] e^{-t/\tau}, \quad \mathrm{Cov}(O_{t}, O_{t+s}) = e^{-(2t + s)/\tau}\mathrm{Var}(O_0) + \frac{\varsigma^2}{2\tau}e^{- s/\tau}\left( 1 - e^{-2\nu t}\right) \]

Assintoticamente em \(t\rightarrow \infty,\) temos

\[ \mathbb{E}[O_t] \rightarrow 0 \quad \mathrm{Cov}(O_{t}, O_{t+s}) \rightarrow \frac{\varsigma^2}{2\tau}e^{- s/\tau}. \]

Pensando como uma família de processo \(O_t = O_t^{\tau, \varsigma},\) temos, no limite em que

\[ \tau \rightarrow 0, \quad \textrm{com} \quad \varsigma \rightarrow 1, \]

que esses processos se aproximam de um ruído branco, que é uma distribuição delta de Dirac, com espectro constante (veja Seção 5.4. Relação com ruído branco).

Em termos dos parâmetros usuais de deriva e de difusão do processo de Ornstein-Uhlenbeck, as condições acima são equivalentes a

\[ \nu \rightarrow \infty, \quad \frac{\sigma}{\nu} \rightarrow 1, \]

De fato, considerando a função de correlação

\[ g(s) = \mathrm{Cov}(O_{t+s},O_t) = \frac{\varsigma^2}{2\tau} e^{-\frac{\displaystyle |s|}{\displaystyle \tau}}, \]

temos, para uma função teste \(\varphi\) suave e de suporte compacto na reta,

\[ \int_{-\infty}^\infty g(s)\varphi(s)\;\mathrm{d}s = \frac{\varsigma^2}{2\tau} \int_{-\infty}^\infty g(s) e^{-\frac{\displaystyle |s|}{\displaystyle \tau}} \;\mathrm{d}s \rightarrow g(0), \]

visto que a função

\[ \frac{g(s)}{\varsigma^2} = \frac{1}{2\tau}e^{-\frac{\displaystyle |s|}{\displaystyle \tau}} \]

é uma aproximação da distribuição delta de Dirac (verifique isso provando o limite acima!).

Ilustramos alguns caminhos amostrais variando os parâmetros.

E os espectros correspondentes dos caminhos amostrais. (Para uma análise mais apropriadada do espectro, deveríamos, na verdade, considerar vários caminhos amostrais.)

Cor do processo de Ornstein-Uhlenbeck

Considerando a correlação (assintótica)

\[ \mathrm{Cov}(O_{t}, O_{t+s}) \rightarrow f(s) = \frac{\sigma^2}{2\nu}e^{-\nu |s|}, \]

vemos que

\[ \hat f(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(s) e^{-i\omega s} \;\mathrm{d}s = \frac{\sigma^2}{2\nu}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-\nu |s|} e^{-i\omega s} \;\mathrm{d}s = \frac{\sigma^2}{2\nu}\frac{1}{2\pi}\left( \frac{1}{\nu - i\omega} - \frac{1}{\nu + i\omega}\right) = \frac{\sigma^2}{2\nu}\frac{1}{\pi}\frac{\nu}{\nu^2 + \omega^2}. \]

Portanto,

\[ \hat f(\omega) \sim \frac{1}{\omega^2}, \quad \omega \rightarrow \pm \infty. \]