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Equações Diferenciais Estocásticas e Aleatórias

Aspectos Teóricos e Numéricos

Ricardo M. S. Rosa

1. Introdução

1.1. Apresentação

1.2. Equações diferenciais aleatórias e estocásticas

1.3. Movimento Browniano

1.4. O modelo de Einstein para o movimento Browniano

1.5. Do passeio aleatório ao movimento Browniano

1.6. O modelo de Bachelier para o mercado de opções

1.7. Aspectos numéricos

1.8. Simulações numéricas de modelos de crescimento natural

2. Variáveis Aleatórias

2.1. Conceitos essenciais

2.2. Variáveis aleatórias discretas

2.3. Variáveis aleatórias contínuas

2.4. Média, variância e outros momentos

2.5. Probabilidade condicionada

2.6. Desigualdades fundamentais

2.7. Variáveis aleatórias multivariadas

2.8. Transformações de variáveis aleatórias

2.9. Tipos de convergências

2.10. Lema de Borel-Cantelli

2.11. Teorema Central do Limite

3. O método de Monte-Carlo

3.1. O método de Monte-Carlo no estudo de variáveis aleatórias

3.2. Histograma - estimando a distribuição de probabilidades

3.3. Gerando números aleatórios no computador

4. Processos Estocásticos

4.1. Conceitos essenciais

4.2. Processos em tempos discretos

4.3. Processos em tempos contínuos

4.4. Classes de processos

4.5. Filtração

4.6. Processos de Markov

4.7. Teorema de Continuidade de Kolmogorov

5. Processos de Wiener

5.1. Definição

5.2. Existência de processos de Wiener

5.3. Propriedades de processos de Wiener

5.4. Relação com ruído branco

5.5. Simetrias de processos de Wiener

5.6. Não diferenciabilidade quase sempre dos caminhos amostrais

5.7. Variação ilimitada dos caminhos amostrais

6. Integração estocástica

6.1. Integrais de Riemann

6.2. Integrais de Riemann-Stieltjes

6.3. Integrais via dualidade

6.4. Limites de somatórios à la Riemann-Stieltjes

6.5. Integral de Itô de processos uniformemente contínuos em média quadrática

6.6. Integral de Itô de processos L²

6.7. Propriedades da integral de Itô

6.8. Fórmula de Itô

6.9. Integral de Stratonovich

7. Equações diferenciais aleatórias

7.1. Existência e unicidade de soluções

7.2. Exemplos básicos

7.3. Equação logística aleatória

8. Equações diferenciais estocásticas

8.1. Interpretação da equação

8.2. Existência de soluções locais em casos particulares

8.3. Existência de soluções globais

8.4. Unicidade de soluções

8.5. Limitação e continuidade das soluções

8.6. Resolução de equações lineares

8.7. Movimento Browniano geométrico e o preço de ações

8.8. Ponte Browniana

8.9. A equação de Langevin e o processo de Ornstein-Uhlenbeck

8.10. O processo de Ornstein-Uhlenbeck como aproximação de um ruído branco

8.11. Estabilidade assintótica

8.12. Relações entre equações estocásticas e equações aleatórias

9. Evolução da função densidade de probabilidade

9.1. Equação do transporte no caso de equações diferenciais ordinárias

9.2. Equação de Fokker-Planck no caso de equações estocásticas

9.3. Distribuição assintótica estacionária dos processos de Ornstein-Uhlenbeck

9.4. Fórmula de Feynman-Kac e a equação retrógrada de Kolmogorov

10. Métodos numéricos

10.1. Convergências forte e fraca

10.2. Simulações de processos de Wiener e browniano geométrico

10.3. Convergência forte do método de Euler-Maruyama

10.4. Não convergência do método de Euler-Maruyama sem condição Lipschitz global

10.5. Simulações ilustrando ordem de convergência do método de Euler-Maruyama

10.6. Método de Heun

10.7. Simulações ilustrando ordem de convergência do método de Heun para equações diferenciais aleatórias

10.8. O método de Milstein

10.9. Simulações Milstein

10.10. Convergência fraca do método de Euler-Maruyama

10.11. O ambiente SciML da linguagem Julia

11. Sistemas de equações aleatórias

12. Sistemas de equações estocásticas

12.1. Reações nucleares

12.2. Modelo SIR estocástico

12.3. Modelo SIR estocástico estruturado em rede

Apêndice

Teorema Fundamental de Kolmogorov

Teorema de Extensão de Kolmogorov

10.11. O ambiente SciML da linguagem Julia ← → 12.2. Modelo SIR estocástico

12.1. Reações nucleares

10.11. O ambiente SciML da linguagem Julia ← → 12.2. Modelo SIR estocástico

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