9.2. Simulações de processos de Wiener e browniano geométrico

Nas simulações numéricas de equações estocásticas, via método de Monte-Carlo (i.e. simulando vários caminhos amostrais), precisamos, em particular, simular processos de Wiener. O mesmo acontece em equações diferenciais aleatórias, quando os parâmetros são funções explícitas de um processo de Wiener.

A observação importante é que, a menos de erros de arredondamento para ponto flutuante e de erros na geração de números aleatórios (que na prática são pseudo aleatórios), um processo de Wiener \(\{W_t\}_{t \geq 0}\) pode ser expresso de maneira exata, ao longo dos pontos de uma malha temporal.

O mesmo acontece ao utilizarmos um movimento browniano geométrico, uma ponte browniana ou qualquer outro processo para o qual conhecemos explicitamente a solução.

Simulando um processo de Wiener

Ao considerarmos uma malha \(0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T\), por exemplo, começamos com

\[ W_0^n = 0, \]

que é exato, pois \(W_0 = 0\). No próximo ponto, temos

\[ W_{t_1} = W_{t_1} - W_0 \sim \mathcal{N}(0, t_1) = \sqrt{t_1} \mathcal{N}(0, 1). \]

Considerando uma variável aleatória normal padrão \(Z_{t_1} \sim \mathcal{N}(0, 1)\), podemos escrever

\[ W_{t_1} = W_{t_1} + \sqrt{t_1} Z_1. \]

No ponto seguinte, temos, da mesma forma,

\[ W_{t_2} - W_{t_1} \sim \mathcal{N}(0, t_2 - t_1) = \sqrt{t_2 - t_1}\mathcal{N}(0, 1). \]

Considerando uma variável aleatória normal padrão \(Z_{t_2} \sim \mathcal{N}(0, 1)\) independente de \(Z_1\), podemos escrever

\[ W_{t_2} = W_{t_1} + \sqrt{t_2 - t_1}Z_{t_2}. \]

E assim sucessivamente. Consideramos variáveis aleatórias \(Z_{t_j}\). \(j = 1, \ldots, n\), com \(Z_{t_j}\) independente de \(Z_{t_1}, \ldots, Z_{t_{j-1}}\), e obtemos

\[ W_{t_j} = W_{t_{j-1}} + \sqrt{t_j - t_{j-1}}Z_{t_j}, \quad j = 1, \ldots, n. \]

Essa é uma representação exata. As variáveis aleatórias \(Z_{t_j}\) formam um processo discreto \(\{Z_{t_j}\}_{j = 1}^n\) que é uma cadeia de Markov, por conta da independência do passado distante. Na verdade, ela independente até do instante imediatamente anterior.

Assim, ao definirmos tomarmos amostras \(Z_{t_j}(\omega)\) dessas normais e definirmos a sequência

\[ W_0^n(\omega) = 0, \quad W_{t_j}^n(\omega) = W_{t_{j-1}}^n(\omega) + \sqrt{t_j - t_{j-1}}Z_{t_j}(\omega), \quad j = 1, \ldots, n, \]

estamos, efetivamente, calculando uma discretização exata de um caminho amostral de um processo de Wiener. Da mesma forma que os pontos \(\{\sin(j\pi/n)\}_{j=0, \ldots, n}\) formam uma discretização exata da função \(\sin(x)\), no intervalo \([0, \pi]\).

Os únicos erros possíveis são os erros de arredondamente em ponto flutuante, ao calcularmos \(W_{t_{j-1}}^n(\omega) + \sqrt{t_j - t_{j-1}}Z_{t_j}\) e os erros na geração da sequência de números aleatórios \(Z_{t_j}(\omega)\), visto que os números gerados são pseudo aleatórios e não são amostras de uma variável verdadeiramente normal.

De qualquer forma, ao analisarmos a convergência de métodos de aproximação de equações estocásticas e de equações aleatórias que envolvam um processo de Wiener, não precisamos considerar, em um primeiro momento, esses erros de arredontamento e de geração de números pseudo-aleatórios e podemos assumir que a sequência gerada \(\{W_{t_j}^n(\omega)\}_{j = 0}^n\) é uma discretização exata do processo de Wiener usado na definição da equação em questão.

Mais ainda. Se tivermos uma sequência \(\{W_{t_j}^n\}_{j = 0}^n\) e quisermos estender essa sequência a uma malha mais fina, podemos utilizar o procedimento feito na demonstração de existência de um processo de Wiener. Não precisamos refazer todo o processo. Basta introduzir novos pontos, de acordo com uma média ponderada entre as variáveis na malha mais grossa e acrescentar um múltiplo apropriado de uma normal padão associada ao ponto intermediário. As contas são facilitadas no caso de uma malha uniforme e de um refinamento dobrando o número de pontos, mas isso não é necessário. Qualquer refinamento pode ser considerado.

Simulando um movimento browniano geométrico

A solução \(\{X_t\}_{t\geq 0}\) do movimento browniano geométrico, dado por

\[ \mathrm{d}X_t = \mu X_t \;\mathrm{d}t + \sigma X_t \;\mathrm{d}W_t, \]

com uma condição inicial \(X_t|_{t = 0} = X_0\), é conhecida explicitamente, pela fórmula

\[ X_t = X_0 e^{\displaystyle \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t}. \]

Assim, uma vez de posse de uma amostra discreta exata \(\{W_{t_j}^n\}_{j = 0}^n\) de um processo de Wiener em pontos de uma malha \(0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = T\), podemos obter uma amostra discreta exata do movimento browniano através de

\[ X_{t_j}^n = X_0 e^{\displaystyle \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t_j + \sigma W_{t_j}}. \]

Mais precisamente, se \(\{W_{t_j}(\omega)\}_j\) é uma amostra discreta de um determinado caminho amostral do processo de Wiener, então sorteando uma condição inicial \(X_0(\omega)\), obtemos uma amostra discreta de um caminho amostral do movimento browniano geométrico, através de

\[ X_{t_j}^n(\omega) = X_0(\omega) e^{\displaystyle \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t_j + \sigma W_{t_j}(\omega)}. \]

Isso pode, também, ser feito recursivamente, na forma

\[ X_{t_j}^n(\omega) = X_{t_{j-1}}^n(\omega) e^{\displaystyle \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)(t_j-t_{j-1}) + \sigma \Delta W_j(\omega)}, \]

onde

\[ \Delta W_j = W_{t_j} - W_{t_{j-1}}. \]