9.6. Método de Heun

Este método melhora a ordem de convergência para \(p = 2\), no caso determinístico. Em casos especiais de ruídos suaves (e.g. processos de transporte com funções suaves) essa ordem \(p = 2\) também ocorre em equações aleatórias (veja Neckel & Rupp (2013), Seções 7.3.2 e 7.3.4). Quando o ruído não tem regularidade suficiente, a ordem de convergência para equações aleatórias é menor. No caso estocástico, porém, o método não converge (veja Higham & Kloeden (2021), Seção 17.3).

Método de Heun no caso determinístico

No caso de uma equação diferencial ordinária

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(t, x), \]

o método de Heun é um método explícito dado iterativamente por

\[ x_j = x_{j-1} + \frac{1}{2}\left( f(t_{j-1}, x_{j-1}) + f(t_j, x_{j-1} + \Delta t f(t_{j-1}, x_{j-1}))\right)\Delta t. \]

Ele pode ser visto como uma modificação do método do trapézio, que é um método implícito, tomando a derivada como uma média entre as derivadas no ponto anterior e no seguinte, i.e.

\[ x_j = x_{j-1} + \frac{f(t_{j-1}, x_{j-1}) + f(t_j, x_j)}{2}\Delta t, \]

ao substituírmos \(x_j\) no termo \(f(t_j, x_j)\) à direita pelo passo do método de Euler, \(x_j \approx x_{j-1} + \Delta t f(t_{j-1}, x_{j-1}).\) Nesse sentido, ele pode ser visto, também, como um método de previsão-correção, onde a previsão é dada pelo método de Euler.

Não convergência do método de Heun no caso estocástico

No caso estocástico, como aproximação de uma equação

\[ \mathrm{d}X_t = f(t, X_t)\;\mathrm{d}t + g(t, X_t)\;\mathrm{d}W_t, \]

o método de Heun toma a forma

\[ \begin{align*} X_j = & X_{j-1} + \frac{1}{2} \left( f(t_{j-1}, X_{j-1}) + f(t_j, X_{j-1} + f(t_{j-1}, X_{j-1})\Delta t + g(t_{j-1}, X_{j-1}))\Delta W_{j-1} \right)\Delta t \\ & + \frac{1}{2} \left( g(t_{j-1}, X_{j-1}) + g(t_j, X_{j-1} + f(t_{j-1}, X_{j-1})\Delta t + g(t_{j-1}, X_{j-1})\Delta W_{j-1}) \right)\Delta W_{j-1}. \end{align*} \]

Para ver que esse método pode não convergir, vamos considerar uma equação em particular, a saber

\[ \mathrm{d}X_t = 2X_t\;\mathrm{d}W_t, \quad X_0 = 1, \]

cuja solução é

\[ X_t = e^{-2t + 2W_t}. \]

Além disso, podemos escrever

\[ X_t = 1 + \int_0^t 2X_s\;\mathrm{d}W_s. \]

É fácil ver, desta última expressão, que

\[ \mathbb{E}[X_t] = 1, \]

já que a integral estocástica tem esperança nula.

Já a aproximação pelo método de Heun, considerando que \(f(t, x) = 0\) e \(g(t, x) = 2x\), nos dá

\[ \begin{align*} X_j & = X_{j-1} + \frac{1}{2} \left( 2X_{j-1} + 2(X_{j-1} + 2X_{j-1}\Delta W_{j-1}) \right)\Delta W_{j-1} \\ & = X_{j-1} + 2X_{j-1} \Delta W_{j-1} + 2X_{j-1}(\Delta W_{j-1})^2 \\ & = X_{j-1}\left(1 + 2\Delta W_{j-1} + 2\Delta W_{j-1}^2\right). \end{align*} \]

Isso nos dá

\[ X_j = \prod_{i = 0}^{j-1}\left(1 + 2\Delta W_i + 2\Delta W_i^2\right). \]

Os fatores do produto são independentes entre si, de modo que

\[ \mathbb{E}[X_j] = \prod_{i = 0}^{j-1}\mathbb{E}\left[\left(1 + 2\Delta W_i + 2\Delta W_i^2\right)\right] = \prod_{i = 0}^{j-1}\left(1 + 2\Delta t\right) = \left(1 + 2\Delta t\right)^j. \]

Assintoticamente, temos

\[ \mathbb{E}[X_j] \sim e^{2j\Delta t} = e^{2t_j} \]

portanto longe de convergir para \(\mathbb{E}[X_t] = 1.\) Isso mostra que o método de Heun, até mesmo para uma simples equação estocástica linear, não converge nem fracamente para a solução exata.